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  • 2021-06-24 发布

2020届高三普通高等学校招生全国1卷高考模拟大联考数学(理科)试题 Word版含解析

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- 1 - 2020 年普通高等学校招生全国Ⅰ卷高考模拟大联考数学(理 科) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 , ,则 ( ) A. (-1,1) B. [-1,1) C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 化简集合 ,利用集合的交集定义计算得出答案. 【详解】因为 .所以 . 故选:B 【点睛】本题考查集合的交并补运算,考查一元二次不等式的解法,考查学生的计算能力, 属于基础题. 2. 已知复数 z= ,则 =( ) A. ﹣1 B. ﹣i C. 1 D. i 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数的运算法则化简后,根据共轭复数概念得出结果. 【详解】 , ∴ , 故选:D. 【点睛】本题考查复数的四则运算,虚数单位的幂的运算的周期性,共轭复数的概念,属基 { }2 5 0| 4A x x x= − − ≤ { }| 1B x x= < A B = 51, 4  −   5 ,14  −   A { }2 5| 4 5 0 | 1 4A x x x x x = − − ≤ = − ≤ ≤   { }| 1 1A B x x∩ = − ≤ < 51 1 − + i i z ( ) ( )( ) 25 2 2 11 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 ii i i i iz ii i i i i −− − − += = = = = − = −+ + − + − z i= - 2 - 础题. 3. 若抛物线 x2=ay 的准线与抛物线 y=﹣x2﹣2x+1 相切,则 a=( ) A. 8 B. ﹣8 C. ﹣4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 求 出 抛 物 线 x2 = ay 的 准 线 为 , 根 据 抛 物 线 x2 = ay 的 准 线 与 抛 物 线 相切可得 ,得出答案. 【详解】抛物线 抛物线 x2=ay 的准线为 则 与抛物线 y=﹣x2﹣2x+1 相切, 所以 ,所以 故选:B 【点睛】本题考查抛物线的准线方程,考查抛物线的切线,属于基础题. 4. 函数 的部分图象大致为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 4 ay = − ( )22 2 1 1 2y x x x= − − + = − + + 24 ay = − = ( )22 2 1 1 2y x x x= − − + = − + + 4 ay = − 4 ay = − 24 ay = − = 8a = − ( ) cosxf x e x= − - 3 - 【分析】 先判断函数的单调性,结合函数的特值可得结果. 【详解】由 ,则 当 时, ,则 , 所以函数 在 上单调递增,排除选项 A,C 又 ,排除除选项 B 故选: 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断,结合函数单调性以及特值是解决本题的关 键.比较基础. 5. 执行如图所示的程序框图,则输出的 ( ) A. 5 B. 3 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 执行程序框图,依此写出每次循环时的 的值并判断,直到当 时,退出循环,输出 的值. 【详解】第一次循环: , , ,不满足 执行循环; ( ) cosxf x e x= − ( ) sinxf x e x′ = + 0x > e 1x > ( ) sin 0xf x e x′ = + > ( )f x ( )0, ∞+ 2 2cos 02 2f e e π ππ π− −   − = − − = >       D k = ,k S 0S < k 6 1 5S = − = 1 1 2k = + = 0S > 0S < - 4 - 第二次循环: , , ,不满足 执行循环; 第三次循环: , , ,不满足 执行循环; 第四次循环: , , ,退出循环,此时输出 . 故选: A 【点睛】本题主要考查直到型循环结构的计算结构的输出,对于这类问题,通常是利用程序 框图给出的算法计算出每一步的结果并判断即可,属于基础题. 6. 连续掷三次骰子,先后得到的点数分别为 x,y,z,那么点 到原点 O 的距离不超 过 3 的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据空间中两点间的距离公式结合古典概型的概率公式,即可得出答案. 【详解】点 到原点 O 的距离不超过 3,则 ,即 连续掷三次骰子,得到的点的坐标共有 个 其中 满足条件 则点 到原点 O 的距离不超过 3 的概率为 故选:B 【点睛】本题主要考查了古典概型概率公式的应用,涉及了空间中两点间距离公式的应用, 属于中档题. 7. 函数 f(x)=2sin2(ωx﹣ )>(ω>0)的最小正周期为 π.则 f(x)在 上的最 小值是( ) A. 1+ B. C. 2 D. 1﹣ 【答案】D 【解析】 【分析】 5 2 3S = − = 2 1 3k = + = 0S > 0S < 3 3 0S = − = 3 1 4k = + = 0S = 0S < 0 4 4S = − = − 4 1 5k = + = 0S < 5k = ( , , )P x y z 4 27 7 216 11 72 1 6 ( , , )P x y z 2 2 2 3x y z+ + ≤ 2 2 2 9x y z+ + ≤ 6 6 6 216× × = (1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,2,1),(2,1,2) ( , , )P x y z 7 216P = 6 π 3,4 4 π π     3 2 1 2 3 2 - 5 - 由函数的最小正周期得到 的值,再根据 的取值范围求出 的取值范围,结合余弦函 数的性质得到函数的最小值; 【详解】解:因为 ,且 的最小正周期为 ,所以 解得 ,所以 因为 所以 ,所以 所以 故选:D 【点睛】本题考查三角函数的性质的应用,属于基础题. 8. 中医药,是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称,反映了中华民族对生 命、健康和疾病的认识,具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系.是中华民 族的瑰宝.某科研机构研究发现,某品种中医药的药物成分甲的含最 x(单位:克)与药物功 效 y(单位:药物单位)之间满足 y=15x﹣2x2.检测这种药品一个批次的 6 个样本,得到成 分甲的含量的平均值为 5 克.标准差为 克.则估计这批中医药的药物功效的平均值为( ) A. 14 药物单位 B. 15.5 药物单位 C. 15 药物单位 D. 16 药物单位 【答案】C 【解析】 【分析】 设 6 个样本中药物成份甲的含量分别为 ,根据平均值和标准差列出方程, 再代入平均数的计算公式,即可求解. 【详解】设 6 个样本中药物成份甲的含量分别为 , 因为成分甲的含量的平均值为 5 克,所以 , ω x 2 3x π− ( ) 22sin 1 cos 26 3f x x x π πω ω   = − = − −       ( )f x π 2 2 ππ ω= 1ω = ( ) 1 cos 2 3f x x π = − −   3,4 4x π π ∈   72 ,3 6 6x π π π − ∈   3cos 2 1,3 2x π   − ∈ −      ( )min 31 2f x = − 5 1 2 3 4 5 6, , , , ,x x x x x x 1 2 3 4 5 6, , , , ,x x x x x x 1 2 3 4 5 6 30x x x x x x+ + + + + = - 6 - 标准差为 克,所以 ,可得 , 又由 ,所以 , 所以这批中医药的药物功效的平均值为 . 故选:C. 【点睛】本题主要考查了统计知识的应用,其中解答中熟记平均数和方差、标准差的计算公 式,准确计算是解答的关键,着重考查推理与运算能力. 9. 在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边.已知 且 b= ,则 a+c=( ) A. 4 B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 利用余弦定理角化边可得 ,再根据余弦定理可得 ,根据三角形面积公 式可得 ,再根据余弦定理可求得结果. 【详解】因为 ,所以 ,化简得 , 所以 ,因为 ,所以 , 所以 ,所以 ,所以 , 又 ,所以 ,所以 , 所以 . 故选:D. 5 6 2 1 1 ( 5) 56 i i x = − =∑ 6 2 1 180i i x = =∑ 215 2y x x= − 6 6 6 2 1 1 1 15 2 90i i i i i i y x x = = = = − =∑ ∑ ∑ 6 1 1 156 i i y = × =∑ cos 3 3,cos 2 4 = =− ABC B b SC a c 3 3 3 3 3 2 2 2a c b ac+ − = 3B π= 3ac = cos cos 2 B b C a c = − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a c b bac a b c a c ab + − =+ − − 2 2 2a c b ac+ − = 2 2 2 1cos 2 2 a c bB ac + −= = 0 B π< < 3B π= 1 sin2ABCS ac B= = 3 3 4 3 3 3 2 2ac = 3ac = 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 23 ( ) 2a c ac ac= + − − 2( ) 3 3 12a c ac+ = + = 2 3a c+ = - 7 - 【点睛】本题考查了三角形的面积公式、余弦定理,属于基础题. 10. 设 A 为双曲线 (a>0,b>0)的一条渐近线上一点,且 A 在第四象限,O 为 坐标原点,若向量 =(1,1), 且 ,则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】 由 已 知 可 设 , 其 中 , 由 且 , 可 得 , ,建立关于 的方程,解之,再由双曲线离心率的公式可得选项. 【详解】由已知可得 A 为直线 上一点,且 A 在第四象限,故可设 ,其中 , ,其中 , , , , , ,即 , , . 2 2 2 2 1x y a b − = m 10,OA = 2OA m⋅ = −  10 5 10 3 10 5 2 5 , bA t ta  −   0t > 10,OA = 2OA m⋅ = −  2 2 2 10at c = 2at b a = − ,a b by xa = − , bA t ta  −   0t > 2 2 2 2 10b cOA t t ta a = + = =  2 2c a b= + 2 2 2 10at c ∴ = 2,bOA m t ta ⋅ = − = −    2at b a ∴ = − 0, 0t b a> ∴ > > 22 2 2 10 2a at c b a  = =  −  2 2 2 2 2 2 10 4 2 a a a b b ab a =+ − + 2 23 10 3 0a ab b∴ − + = ( 3 )(3 ) 0a b a b− − = 0b a> > 3b a∴ = - 8 - 所以该双曲线的离心率为 , 故选:A. 【点睛】本题考查求双曲线的离心率的问题,关键在于由已知条件得出关于 的方程,属 于中档题. 11. 三棱锥 S﹣ABC 的各顶点均在球 O 的球面上,SC 为该球的直径,AC=BC=2,∠ACB=120°, 且三棱锥 S﹣ABC 的体积为 2,则球 O 的半径为( ) A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 作出示意图,求得 的面积,并计算出三棱锥 的高 ,利用正弦定理计算圆 的直径 ,然后利用勾股定理求出 ,即可求解球的直径,得到答案. 【详解】如图所示, 因为 , 可得 面积为 , 设 的外接圆为圆 ,连接 ,则 平面 , 作圆 的直径 ,连接 , 因为 分别为 的中点,则 ,所以 平面 , 所以三棱锥 的体积为 ,解得 , 由正弦定理,可得 , , 设球的半径为 ,则 ,解得 . 故选:A. 的 2 2 2 2 2 2 21 10c c a b b a a a a += = = + = , ,a b c 7 5 5 2 ABC S ABC− SD E CD SC 2, 120AC BC ACB= = ∠ =  ABC 1 1 3sin 2 2 32 2 4ABCS AC BC ACB∆ = ⋅ ∠ = × × × = ABC E OE OE ⊥ ABC E CD SD ,O E ,SC CD / /SD OE SD ⊥ ABC S ABC− 1 3 23S ABCV SD− = × × = 2 3SD = 4sin sin30 AC ACCD ABC = = =∠  2 2 2 7SC CD SD= + = R 2 2 7R SC= = 7R = - 9 - 【点睛】本题主要考查了球的体积的计算公式及应用,其中解答中作出示意图,根据组合体 的结构特征,找出线面垂直关系,求得三棱锥的高是解答的关键,着重考查推理与运算能力, 属于中档试题. 12. 已知函数 与 的图象上存在两对关于直线 对 称的点,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意 与 的图象在 存在两对关于 对称的点,即可知 的反函 数与 在 有两交点,构造新函数 ,通过导数研究函数的单调性 进而根据函数值的对称性确定参数范围即可 【详解】∵ 与 的图象在 存在两对关于 对称的点 2 1( ) ,f x x ax x ee   = − ∈     ( ) xg x e= y x= a 1 ,e ee  −   11, e e  −   11,e e  −     11,e e  +   ( )f x ( )g x 1 ,x ee  ∈   y x= ( )g x ( )f x 1 ,x ee  ∈   ln( ) xh x x x = − ( )f x ( )g x 1 ,x ee  ∈   y x= - 10 - 由 ,得 ,且 与 关于 对称 ∴ 在 上有两解,即 在 上有两解 令 ,则 ∵ 上单调递增,且 ∴当 时 , 单调递减;当 时, , 单调递增 ∴ , ∴要使 在 上有两解,即有 的取值范围是 故选:C 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性求参数范围,首先将问题转化为函数的反函 数与一个函数有两个交点,再构造函数通过导数研究新函数的单调性进而求参数范围 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中的横线 上. 13. 函数 f(x)= ,则 f(f( ))=_____. 在 ( ) xg x e= lnx y= xe ln x y x= 2ln x x ax= − 1 ,x ee  ∈   ln xa x x = − 1 ,x ee  ∈   ln( ) xh x x x = − ( ) 2 2 ln 1x xh x x + −′ = ( ) 2 ln 1k x x x= + − 1 ,x ee  ∈   ( )1 0k = 1 ,1x e      ∈ ( ) 0h x′ < ( )h x [ ]1.x e∈ ( ) 0h x′ > ( )h x ( ) ( )min 1 1h x h= = max 1 1 1 1( ) max , ( ) max ,h x h h e e e ee e e e     = = + − = +         ln xa x x = − 1 ,x ee  ∈   a 1(1, ]e e − 2 2 , 0 1 , 0 x x x nx x  +  >  1 e - 11 - 【答案】﹣1 【解析】 【分析】 先计算出 ,再计算 得值,由此得出结果. 【详解】依题意得 . 故答案为: 【点睛】本题主要考查分段函数求值,考查对数运算,考查运算求解能力,属于基础题. 14. 已知向量 若 与 平行,则 m=_____. 【答案】4 【解析】 【分析】 根据向量平行的坐标表示直接列式求解. 【详解】由题意可知若 和 平行, 则 ,解得: 故答案为:4 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示,属于基础题型. 15. (3x﹣ )4 的展开式中的常数项为_____. 【答案】216 【解析】 【分析】 利用二项式的通项公式 即可得出. 【详解】 令 ,解得 常数项为 故答案为:216 【点睛】本题考查了二项式的通项展开式、常数项的求法,考查了数学运算能力,属于基础 1 1ef   = −   ( )1f − 1 ( 1) 1ef f f    = − = −     1− a (3, ),b (6,8)= = m a b a b 3 8 6m× = 4m = 2 x 4 4 4 2 1 4 4 2(3 ) ( ) 3 ( 2)− − − + = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⋅r r r r r r r rT C x C xx 4 4 4 2 1 4 4 2(3 ) ( ) 3 ( 2)− − − + = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⋅r r r r r r r rT C x C xx 4 2 0r− = 2r = 2 4 2 2 3 4 3 ( 2) =216−= ⋅ ⋅ −T C - 12 - 题目. 16. 在直四棱柱 中,侧棱长为 6,底面是边长为 8 的菱形,且 ,点 在边 上,且满足 ,动点 在该四棱柱的表面上运动, 并且总保持 ,则动点 的轨迹围成的图形的面积为______;当 与平面 所成角最大时,异面直线 与 所成角的余弦值为_______. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 首先 可证 ,在 上 取 ,使 得 ,连 接 , 则 ,可 得 .记 与 的交点为 ,以 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 ,在 上取一点 ,由 ,求出 点的位置,从而得到动点 轨迹, 即可求出动点 的轨迹围成的图形的面积,显然当 与 重合时, 与平面 所成 角最大,利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值; 【详解】解:如图,在直四棱柱 中,因为底面是菱形,侧棱垂直底面, 所以 平面 ,所以 . 在 上取 ,使得 ,连接 ,则 ,所以 . 记 与 的交点为 ,以 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 , 则 , , . 在 上取一点 ,记为 ,于是 , . 由 ,得 ,即 , 所以 的边为点 的运动轨迹. 由题意得 , , 动点 的轨迹围成的图形的面积为 . 1 1 1 1ABCD A B C D− 120ABC∠ =  E BC 3BE EC= M 1ME BD⊥ M MC ABCD 1MC AC 15 3 2 51 17 1BD AC⊥ AB F 3BF FA= EF //EF AC 1 ⊥BD EF AC BD O O O xyz− 1BB G 1 0BD EG⋅ =  G M M M G MC ABCD 1 1 1 1ABCD A B C D− AC ⊥ 1 1BDD B 1BD AC⊥ AB F 3BF FA= EF //EF AC 1 ⊥BD EF AC BD O O O xyz− ( )4,0,0B ( )1 4,0,6D − ( )1,3 3,0E 1BB G ( )4,0,G t ( )1 8,0,6BD = − ( )3, 3 3,EG t= − 1 24 6 0BD EG t⋅ = − + =  4t = 12BG GB= EFG M 2 2 2 13FG BF BG= + = 3 3 8 3 6 34 4EF AC= = × = M ( ) ( )2 21 6 3 2 13 3 3 15 32 × × − = - 13 - 显然当 与 重合时, 与平面 所成角最大. 因为 , ,所以 , , 因为直线 的一个方向向量为 ,所以 , 即异面直线 与 所成角的余弦值为 . 故答案为: ; . 【点睛】本题考查空间中点、线、面的位置关系,利用空间向量法解决立体几何问题,考查 直观想象与数学运算的核心素养,属于难题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤.17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22,23 题为选考题,考 生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17. 已知数列 的前 项和为 ,且 . (1)求 的通项公式; (2)若 ,求数列 的前 项和 . M G MC ABCD ( )4,0,4M ( )1 0,4 3,6C ( )1 4,4 3,2MC = − ( ) ( )22 2 1 4 4 3 2 2 17MC = − + + = AC ( )0,1,0n = 1 1 1 4 3 2 51cos , 172 17 MC nMC n MC n = = =      1MC AC 2 51 17 15 3 2 51 17 { }na n nS 2 1n nS = + { }na ( )2 1n nb n a= − { }nb n nT - 14 - 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【分析】 (1)令 可求得 的值,令 可得出 ,然后对 的值是否满足 在 时的表达式进行验证,由此可得出数列 的通项公式; (2)求得数列 通项公式,然后利用错位相减法可求得 . 【详解】(1)当 时, ; 当 时, . 不适合 . 综上所述, ; (2)由(1)可得 . 当 时, ; 当 时, , 得 , 上式 下式得 , , 满足 , 因此, . 【点睛】本题考查利用 求 ,同时也考查了错位相减法,考查计算能力,属于中等题. 18. 在一次庙会上,有个“套圈游戏”,规则如下:每人 3 个竹环,向 A,B 两个目标投掷,先 的 1 3, 1 2 , 2n n na n− ==  ≥ ( )2 3 2 5n nT n= − ⋅ + 1n = 1a 2n ≥ 1n n na S S −= − 1a na 2n ≥ { }na { }nb nT 1n = 1 1 1 2 1 3a S= = + = 2n ≥ ( ) ( )1 1 1 2 1 2 1 2n n n n n na S S − − −= − = + − + = 1 3a = 12n na -= 1 3, 1 2 , 2n n na n− ==  ≥ ( ) ( ) 1 3, 12 1 2 1 2 , 2n n n nb n a n n− == − =  − ⋅ ≥ 1n = 1 3=T 2n ≥ ( )1 2 3 13 3 2 5 2 7 2 2 1 2n nT n −= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + − ⋅ ( ) ( )1 2 3 12 3 2 3 2 5 2 2 3 2 2 1 2n n nT n n−= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + − ⋅ + − ⋅ − ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 8 1 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 1 21 2 n n n n nT n n − − − − = + ⋅ + ⋅ + + ⋅ − − ⋅ = + − − ⋅− ( )5 3 2 2nn= − + − ⋅ ( )2 3 2 5n nT n∴ = − ⋅ + 1 3=T ( )2 3 2 5n nT n= − ⋅ + ( )2 3 2 5n nT n= − ⋅ + nS na - 15 - 向目标 A 掷一次,套中得 1 分,没有套中不得分,再向目标 B 连续掷两次,每套中一次得 2 分,没套中不得分,根据最终得分发放奖品.已知小华每投掷一次,套中目标 A 的概率为 , 套中目标 B 的概率为 ,假设小华每次投掷的结果相互独立. (1)求小华恰好套中一次的概率; (2)求小华总分 X 的分布列及数学期望. 【答案】(1) ;(2)分布列见解析, . 【解析】 【分析】 (1)分为套中目标 A 和套中目标 B 两种情形,结合相互独立事件同时发生的概率计算公式即 可得结果; (2) 的可能取值为 0,1,2,3,4,5 求出相对应的概率,再计算期望即可. 【详解】(1)设“小华恰好套中一次”为事件 A, 则 . (2) 的可能取值为 0,1,2,3,4,5, ; ; ; ; ; ; ∴ 的分布列为: 0 1 2 3 4 5 . 【点睛】本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列、数学期 望,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 4 5 3 4 1 8 ( ) 19 5E X = X ( ) 4 1 1 1 3 1 125 4 4 5 4 4 8P A = × × + × × × = X ( ) 1 1 1 10 5 4 4 80P X = = × × = ( ) 4 1 1 11 5 4 4 20P X = = × × = ( ) 1 3 1 32 2 5 4 4 40P X = = × × × = ( ) 4 3 1 33 2 5 4 4 10P X = = × × × = ( ) 1 3 3 94 5 4 4 80P X = = × × = ( ) 4 3 3 95 5 4 4 20P X = = × × = X X P 1 80 1 20 3 40 3 10 9 80 9 20 ( ) 1 1 3 3 9 9 190 1 2 3 4 580 20 40 10 80 20 5E X = × + × + × + × + × + × = - 16 - 19. 已知 分别是椭圆 的左、右焦点,P 是 椭圆 C 上的一点,当 PF1⊥F1F2 时,|PF2|=2|PF1|. (1)求椭圆 C 的标准方程: (2)过点 Q(﹣4,0)的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点,点 M 关于 x 轴的对称点为点 M′, 证明:直线 NM′过定点. 【答案】(1) ;(2)直线 过定点 . 【解析】 【分析】 (1)由椭圆的定义和已知条件得 ,又由 可得出点 P 的坐标,代入椭圆的标准方程中可解出 ,从而得出椭圆的标准方程; (2)设出直线 l 的方程,点 M、N 的坐标,直线 l 的方程与椭圆的方程联立可得点 M、N 的 坐标的关系,再表示出直线 的方程,将点 M、N 的坐标的关系代入可得直线 NM′所过的 定点. 【详解】(1)由 得 , , 由椭圆的定义得 , , , ,所以点 P 的坐标为 , 将点 P 的坐标代入椭圆的方程中有 , 又 , , 解得 或 , 当 , ,故舍去; 当 , , 1 2( 3,0), ( 3,0)F F− 2 2 2 2: 1 ( 0)x yC a ba b + = > > 2 2 19 6 x y+ = NM ′ 9 ,04  −   1 1 1 22 2 , 3PF PF a PF a+ = = 1 1 2PF F F⊥ ,a b NM ′ 1 2( 3,0), ( 3,0)F F− 3c = 2 2 2 2( 3) 3a b b∴ = + = + 1 2 2PF PF a+ = 2 12PF PF= 1 1 1 22 2 , 3PF PF a PF a∴ + = = 1 1 2PF F F⊥ 23, 3 a − ±   2 2 2 2 2 ( 3) 3 1 a a b  ± −  + = 2 2 2 23, 3a b b a= + = − 2 2 2 2 2 ( 3) 3 13 a a a  ± −  ∴ + =− 2 9a = 2 9 5a = 2 9 5a = 2 2 63 05b a= − = − < 2 9a = 2 2 3 9 3 6b a= − = − = - 17 - 所以椭圆的标准方程为: . (2)由题意可知,直线 l 的斜率必然存在,故设直线 l 的方程为 ,设 ,则 , 联立方程组 ,得 , , 解得 , , , 又 , ,设直线 的方程为 , , 2 2 19 6 x y+ = ( 4)y k x= + ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y ( )1 1,M x y′ − 2 2 19 6 ( 4) x y y k x  + =  = + ( )2 2 2 23 2 24 48 18 0k x k x k+ + + − = ( ) ( )( )22 2 2 224 4 3 2 48 18 168 144 0k k k k∆ = − + − = − + > 2 6 7k < 2 1 2 2 24 3 2 kx x k + = − + 2 1 2 2 48 18 3 2 kx x k −⋅ = + ( )2 2,N x y ( )1 1,M x y′ − NM ′ ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 y y y yy y x x x xx x x x − − +− = − = −− − 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 y y y y y y y x y x y x y xy x x y xx x x x x x x x x x + + + + −∴ = − + = − +− − − − − 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 y y y x y xxx x x x + += −− − ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 4 4 4 4k x k x k x x k x xxx x x x + + + + ⋅ + + ⋅= −− − ( ) ( )1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 8 2 4k x x k kx x k x xxx x x x + + + += −− − 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 24 48 18 248 2 43 2 3 2 3 2 k k kk k k kk k kxx x x x    −⋅ − + + ⋅ −   + + +   = −− − ( )( ) ( )( )2 2 2 1 2 1 16 36 3 2 3 2 k kx x x k x x k = + − + − + ( )( )2 2 1 16 9 43 2 k x x x k  = + − +   - 18 - 当 时, ,所以直线 过定点 . 【点睛】本题考查椭圆的定义和简单的几何性质,求椭圆的标准方程,以及直线与椭圆的位 置关系中直线过定点的问题,关键在于将目标条件转化到直线与椭圆的交点的坐标上去,属 于较难题. 20. 某人设计了一个工作台,如图所示,工作台的下半部分是个正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1, 其底面边长为 4,高为 1,工作台的上半部分是一个底面半径为 的圆柱体的四分之一. (1)当圆弧 E2F2(包括端点)上的点 P 与 B1 的最短距离为 5 时,证明:DB1⊥平面 D2EF. (2)若 D1D2=3.当点 P 在圆弧 E2E2(包括端点)上移动时,求二面角 P﹣A1C1﹣B1 的正切 值的取值范围. 【答案】(1)见解析,(2) 【解析】 【分析】 (1)以 为原点,以 的方向分别为 轴, 轴, 轴的正方向建立空间直角 坐标系 ,可得 ,从而可证 DB1⊥平面 D2EF; (2)设 ,则 ,所以 ,求出平面 的法 向量 ,而平面 的一个法向量 ,设二面角 的 9 4x = − 0y = NM ′ 9 ,04  −   2 2 3 2 6 2 3[ , ]2 7 +− − D 2, ,DA DC DD   x y z D xyz− 1 1 20, 0DB EF DB ED⋅ = ⋅ =    ( , ,4)P a b 2 2 2, 0, 0a b a b+ = ≥ ≥ [ 2,2]a b+ ∈ 1 1PAC 4(1,1, )3 a bn − −= 1 1 1A B C (0,0,1)m = 1 1 1P AC B− − - 19 - 大小为 ,则先求出 ,从而可得 ,再由 可得 的范 围. 【详解】(1)证明:作 平面 于 ,则 在圆弧 上, 因为 ,所以当 取最小值时, 最小, 由圆的对称性可知, 的最小值为 , 所以 , 如图,以 为原点,以 方向分别为 轴, 轴, 轴的正方向建立空间直角坐标系 , 则 , , 因为 , 所以 , 因为 平面 , 平面 , , 所以 DB1⊥平面 D2EF, 的 θ cosθ 3 2tan 4a b θ = + − [ 2,2]a b+ ∈ tanθ PH ⊥ 1111 DCBA H H EF 2 2 1 1PB PH HB= + 1HB 1PB 1HB 4 2 2 3 2− = 2 2 1 1 4 2PH PB HB= − = D 2, ,DA DC DD   x y z D xyz− 2 1(0,0,0), (0,0,1 4 2), ( 2,0,1), (0, 2,1), (4,4,1)D D E F B+ 1 2(4,4,1), ( 2, 2,0), ( 2,0,4 2)DB EF ED= = − = −   1 1 24 2 4 2 0 0, 4 2 0 4 2 0DB EF DB ED⋅ = − + + = ⋅ = − + + =    1 1 2,DB EF DB ED⊥ ⊥ EF ⊂ 2D EF 2ED ⊂ 2D EF 2ED EF E= - 20 - (2)解:若 D1D2=3,由(1)知 , 设 ,因为 , 设 所以 , , 设平面 的法向量为 , 则 , 令 ,则 , 取平面 的一个法向量 , 设二面角 的大小为 , 显然是钝角, 则 , ( ) ( ) ( )1 1 14,0,1 , 0,4,1 , 4,4,1A C B ( , ,4)P a b 2 2 2, 0, 0a b a b+ = ≥ ≥ 2 cos , 2 sin , [0, ]2a b πθ θ θ= = ∈ 2sin( ) [ 2,2]4a b πθ+ = + ∈ 1 1 1( 4,4,0), ( 4, ,3)AC A P a b= − = − 1 1PAC 1 1 1( , , )n x y z= 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 0 ( 4) 3 0 n AC x y n A P a x by z  ⋅ = − + = ⋅ = − + + =   1 1x = 4(1,1, )3 a bn − −= 1 1 1A B C (0,0,1)m = 1 1 1P AC B− − θ θ 2 4 3cos cos , 42 ( )3 a b m n m n a bm n θ + − ⋅ = − = − = + −+       - 21 - , 则 , 所以二面角 的正切值的取值范围为 , 【点睛】此题考查了利用空间向量证明线面垂直,求二面角,考查了空间想象能力和推理计 算能力,属于较难题. 21. 设函数 f(x)=xlnx,g(x)=aex(a∈R). (1)若曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线也与曲线 y=g(x)相切,求 a 的值. (2)若函数 G(x)=f(x)﹣g(x)存在两个极值点. ①求 a 的取值范围; ②当 ae2≥2 时,证明:G(x)<0. 【答案】(1) ;(2)① ;②证明详见解析. 【解析】 【分析】 (1)首先求切线方程,设切点 ,利用导数的几何意义列式求解; (2)①由条件转化为 与 有两个交点,利用函数的导数求解; ②首先由已知条件 ,转化为 ,再通过构造函数 ,利用导数证明 恒成立. 【详解】(1) , , , 则切线方程为 设切线与 相切于点 , 则 ,解得: , , ; 2 20 , sin 0,sin 1 co 2 42 ( ) s 3 a b θ π θ θ θ≤ ≤ ∴ > + −+ = − = 3 2 3 2 6 2 3tan [ , ]4 2 7a b θ += ∈ − −+ − 1 1 1P AC B− − 3 2 6 2 3[ , ]2 7 +− − 2 1a e = 10 a e < < ( )0 0,P x y y a= ln 1 x xy e += 2 2a e ≥ ( ) 2 2ln lnx xG x x x ae x x ee = − ≤ − ( ) 2 2ln xx x eeF x x − = ( ) 0F x < ( ) ln 1f x x′ = + ( )1 1f ′ = ( )1 0f = 1y x= − ( )y g x= ( )0 0,P x y 0 0 0 0 0 1 1 x x ae y ae y x  =  =  = − 0 2x = 0 1y = 2 1a e = - 22 - (2)① , , , 当 时, , 若函数 有两个极值点,即 与 有两个交点, 设 , ,设 , ,即函数 在 上单调递减,且 , 在区间 ,在区间 , 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减, 并且 ,当 时, ,当 时, , 若 与 有两个交点时, ; ② ,当 , , 令 , , 显然 时, , 在 上单调递增, 当 时, , 当 时, , 令 , , , 在 上单调递增,又 , ( ) ln xG x x x ae= − 0x > ( ) ln 1 xG x x ae′ = + − ( ) 0G x′ = ln 1 ex xa += ( )G x y a= ln 1 x xy e += ( ) ( )ln 1 0x xh x xe += > ( ) 1 ln 1 x xxh x e − − ′ = ( ) 1 ln 1t x xx = − − ( ) 2 1 1 0t x x x ′ = − − < ( )t x ( )0, ∞+ ( )1 0t = ∴ ( )0,1 ( ) 0h x′ > ( )1,+∞ ( ) 0h x′ < ( )h x∴ ( )0,1 ( )1,+∞ ( ) 11h e = x → +∞ ( ) 0h x → 0x → ( )h x → −∞ y a= ( )y h x= 10 a e < < ( ) ( ) ( ) ln xG x f x g x x x ae= − = − 2 2 22ae a e ≥ ⇔ ≥ ( ) 2 2ln lnx xG x x x ae x x ee = − ≤ − ( ) 2 2 2ln 2ln x xx x e eeF x xx x e − = = − ⋅ ( ) ( ) 2 2 2 2 11 2 1 2xx x e xx e eF x x x e x x e −⋅ −′ = − ⋅ = − ⋅ 0 1x< < ( ) 0F x′ > ( )F x∴ ( )0,1 ( )0,1x∈ ( ) ( ) 21 0F x F e < = − < 1x > ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 11 2 2 1 x xe x x e xF x x x e x e x − − −  ′ = − ⋅ = − −  ( ) 2 2 1 xe xH x e x = − − 1x > ( ) ( )22 2 1 0 1 xeH x e x ′ = + > − ( )H x∴ ( )1,+∞ ( )2 0H = - 23 - 时, ,当 时, , 当 时, ,当 时, , 在 上单调递增,在 上单调递减, 当 时, , 综上所述, , 所以 . 【点睛】本题考查导数的几何意义,根据极值点的个数求参数的取值范围,以及证明不等式, 重点考查转化与化归的思想,逻辑推理,计算能力,属于难题,本题的难点是第三问,需构 造函数 ,函数的变形求解. (二)选考题:共 10 分.请考生从第 22,23 两题中任选一题作答.如果多做,则按 所做的第一个题目计分. 选修 4-4:坐标系与参数方程 22. 在直角坐标系 xOy 中,P(0,1),曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数).以坐 标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 . (1)求曲线 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程; (2)曲线 C1 与 C2 交于 M,N 两点,求||PM|﹣|PN||. 【答案】(1) , ,(2) 【解析】 【分析】 (1)把曲线 C1 的参数方程消去参数 t 可得普通方程,曲线 C2 的极坐标方程为 两 边同乘以 ,把互化公式代入可得直角坐标方程; (2)把曲线 C 化成标准参数方程,代入曲线 C2 的直角坐标方程,得到关于 t 的二次方程,然 ( )1,2x∈ ( ) 0H x < ( )2,x∈ +∞ ( ) 0H x > ∴ ( )1,2x∈ ( ) 0F x′ > ( )2,x∈ +∞ ( ) 0F x′ < ( )F x∴ ( )1,2 ( )2,+∞ 1x > ( ) ( )2 ln 2 1 0F x F≤ = − < ( ) ( ) 0G x F x≤ < ( ) 0G x < ( ) 2 2 2ln 2ln x xx x e eeF x xx x e − = = − ⋅ 31 2 3 2 x t y t  = −  = 4cosρ θ= 1 0x y+ − = 2 2 4 0x y x+ − = 14 4cosρ θ= ρ - 24 - 后利用 t 的几何意义求解||PM|﹣|PN|| 【详解】解:(1)曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数), 消去参数 t 得普通方程为 , 曲线 C2 的极坐标方程为 ,两边同乘以 , 得 ,所以其直角坐标方程为 (2)曲线 C1 过点 P(0,1),则其参数方程为 , 将其代入方程 得, , 化简得 , 设上式方程的根为 ,所以 , 所以 【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程,极坐标方程化为直角坐标方程,参数 几何意 义,考查了计算能力,属于中档题. 选修 4-5:不等式选讲 23. 已知 a>0,b>0,a+b=3. (1)求 的最小值; (2)证明: 【答案】(1) ;(2)证明见解析 【解析】 【分析】 的 31 2 3 2 x t y t  = −  = 1 0x y+ − = 4cosρ θ= ρ 2 4 cosρ ρ θ= 2 2 4 0x y x+ − = 2 2 21 2 x t y t  = −  = + 2 2 4 0x y x+ − = 2 22 2 2( ) (1 ) 4 ( ) 02 2 2t t t− + + − × − = ( )22 3 2 1 0 3 2 4 14 0t t+ + = ∆ = − = >, 1 2,t t 1 2 1 23 2, 1t t t t+ = − = 2 2 1 2 1 2 1 2( ) 4 ( 3 2) 4 1 14PM PN t t t t t t− = − = + − = − − × = 1 1+2+a b 9 2 +a b b a ab 4 5 - 25 - (1 )由所给等式得 ,再利用基本不等式即可求得最小值;(2 )利用 即可逐步证明. 【详解】(1) , ,且 , ,当且仅当 即 时等号成立, 的最小值为 . (2)因为 a>0,b>0,所以要证 ,需证 , 因为 , 所以 ,当且仅当 时等号成立. 【点睛】本题考查条件等式求最值、基本不等式的应用,属于中档题. ( )2 15 a b+ + = ( )2 2 2 2 a ba b ++ ≥ 3a b+ = ( )2 15 a b+ +∴ = 2 0 0a b+ > >, ∴ ( )1 1 1 1 1 1 2+ + 2 22 5 2 5 2 b aa ba b a b a b +   = + + = + +   + + +    1 2 42 25 2 5 b a a b  +≥ + ⋅ =  +  2=2 b a a b + + 1 5 2 2a b= =, ∴ 1 1+2+a b 4 5 9 2 +a b b a ab 2 2 9 2a b+ ≥ ( )2 2 2 2 3 9 2 2 2 a ba b ++ ≥ = = 9 2 +a b b a ab 3 2a b= =