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- 2021-06-24 发布
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- 1 -
2020 年普通高等学校招生全国Ⅰ卷高考模拟大联考数学(理
科)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项
中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 , ,则 ( )
A. (-1,1) B. [-1,1) C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
化简集合 ,利用集合的交集定义计算得出答案.
【详解】因为 .所以 .
故选:B
【点睛】本题考查集合的交并补运算,考查一元二次不等式的解法,考查学生的计算能力,
属于基础题.
2. 已知复数 z= ,则 =( )
A. ﹣1 B. ﹣i C. 1 D. i
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则化简后,根据共轭复数概念得出结果.
【详解】 ,
∴ ,
故选:D.
【点睛】本题考查复数的四则运算,虚数单位的幂的运算的周期性,共轭复数的概念,属基
{ }2 5 0| 4A x x x= − − ≤ { }| 1B x x= < A B =
51, 4
−
5 ,14
−
A
{ }2 5| 4 5 0 | 1 4A x x x x x = − − ≤ = − ≤ ≤
{ }| 1 1A B x x∩ = − ≤ <
51
1
−
+
i
i z
( )
( )( )
25 2
2
11 1 1 2 2
1 1 1 1 1 2
ii i i i iz ii i i i i
−− − − += = = = = − = −+ + − + −
z i=
- 2 -
础题.
3. 若抛物线 x2=ay 的准线与抛物线 y=﹣x2﹣2x+1 相切,则 a=( )
A. 8 B. ﹣8 C. ﹣4 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
求 出 抛 物 线 x2 = ay 的 准 线 为 , 根 据 抛 物 线 x2 = ay 的 准 线 与 抛 物 线
相切可得 ,得出答案.
【详解】抛物线
抛物线 x2=ay 的准线为
则 与抛物线 y=﹣x2﹣2x+1 相切,
所以 ,所以
故选:B
【点睛】本题考查抛物线的准线方程,考查抛物线的切线,属于基础题.
4. 函数 的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
4
ay = −
( )22 2 1 1 2y x x x= − − + = − + + 24
ay = − =
( )22 2 1 1 2y x x x= − − + = − + +
4
ay = −
4
ay = −
24
ay = − = 8a = −
( ) cosxf x e x= −
- 3 -
【分析】
先判断函数的单调性,结合函数的特值可得结果.
【详解】由 ,则
当 时, ,则 ,
所以函数 在 上单调递增,排除选项 A,C
又 ,排除除选项 B
故选:
【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断,结合函数单调性以及特值是解决本题的关
键.比较基础.
5. 执行如图所示的程序框图,则输出的 ( )
A. 5 B. 3 C. 6 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
执行程序框图,依此写出每次循环时的 的值并判断,直到当 时,退出循环,输出
的值.
【详解】第一次循环: , , ,不满足 执行循环;
( ) cosxf x e x= − ( ) sinxf x e x′ = +
0x > e 1x > ( ) sin 0xf x e x′ = + >
( )f x ( )0, ∞+
2 2cos 02 2f e e
π ππ π− − − = − − = >
D
k =
,k S 0S < k
6 1 5S = − = 1 1 2k = + = 0S > 0S <
- 4 -
第二次循环: , , ,不满足 执行循环;
第三次循环: , , ,不满足 执行循环;
第四次循环: , , ,退出循环,此时输出 .
故选: A
【点睛】本题主要考查直到型循环结构的计算结构的输出,对于这类问题,通常是利用程序
框图给出的算法计算出每一步的结果并判断即可,属于基础题.
6. 连续掷三次骰子,先后得到的点数分别为 x,y,z,那么点 到原点 O 的距离不超
过 3 的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据空间中两点间的距离公式结合古典概型的概率公式,即可得出答案.
【详解】点 到原点 O 的距离不超过 3,则 ,即
连续掷三次骰子,得到的点的坐标共有 个
其中 满足条件
则点 到原点 O 的距离不超过 3 的概率为
故选:B
【点睛】本题主要考查了古典概型概率公式的应用,涉及了空间中两点间距离公式的应用,
属于中档题.
7. 函数 f(x)=2sin2(ωx﹣ )>(ω>0)的最小正周期为 π.则 f(x)在 上的最
小值是( )
A. 1+ B. C. 2 D. 1﹣
【答案】D
【解析】
【分析】
5 2 3S = − = 2 1 3k = + = 0S > 0S <
3 3 0S = − = 3 1 4k = + = 0S = 0S <
0 4 4S = − = − 4 1 5k = + = 0S < 5k =
( , , )P x y z
4
27
7
216
11
72
1
6
( , , )P x y z 2 2 2 3x y z+ + ≤ 2 2 2 9x y z+ + ≤
6 6 6 216× × =
(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,2,1),(2,1,2)
( , , )P x y z 7
216P =
6
π 3,4 4
π π
3
2
1
2
3
2
- 5 -
由函数的最小正周期得到 的值,再根据 的取值范围求出 的取值范围,结合余弦函
数的性质得到函数的最小值;
【详解】解:因为 ,且 的最小正周期为
,所以 解得 ,所以
因为
所以 ,所以
所以
故选:D
【点睛】本题考查三角函数的性质的应用,属于基础题.
8. 中医药,是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称,反映了中华民族对生
命、健康和疾病的认识,具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系.是中华民
族的瑰宝.某科研机构研究发现,某品种中医药的药物成分甲的含最 x(单位:克)与药物功
效 y(单位:药物单位)之间满足 y=15x﹣2x2.检测这种药品一个批次的 6 个样本,得到成
分甲的含量的平均值为 5 克.标准差为 克.则估计这批中医药的药物功效的平均值为( )
A. 14 药物单位 B. 15.5 药物单位
C. 15 药物单位 D. 16 药物单位
【答案】C
【解析】
【分析】
设 6 个样本中药物成份甲的含量分别为 ,根据平均值和标准差列出方程,
再代入平均数的计算公式,即可求解.
【详解】设 6 个样本中药物成份甲的含量分别为 ,
因为成分甲的含量的平均值为 5 克,所以 ,
ω x 2 3x
π−
( ) 22sin 1 cos 26 3f x x x
π πω ω = − = − −
( )f x
π 2
2
ππ ω= 1ω = ( ) 1 cos 2 3f x x
π = − −
3,4 4x
π π ∈
72 ,3 6 6x
π π π − ∈
3cos 2 1,3 2x
π − ∈ −
( )min
31 2f x = −
5
1 2 3 4 5 6, , , , ,x x x x x x
1 2 3 4 5 6, , , , ,x x x x x x
1 2 3 4 5 6 30x x x x x x+ + + + + =
- 6 -
标准差为 克,所以 ,可得 ,
又由 ,所以 ,
所以这批中医药的药物功效的平均值为 .
故选:C.
【点睛】本题主要考查了统计知识的应用,其中解答中熟记平均数和方差、标准差的计算公
式,准确计算是解答的关键,着重考查推理与运算能力.
9. 在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边.已知 且
b= ,则 a+c=( )
A. 4 B. 3 C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用余弦定理角化边可得 ,再根据余弦定理可得 ,根据三角形面积公
式可得 ,再根据余弦定理可求得结果.
【详解】因为 ,所以 ,化简得 ,
所以 ,因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,所以 ,
又 ,所以 ,所以 ,
所以 .
故选:D.
5
6
2
1
1 ( 5) 56 i
i
x
=
− =∑ 6
2
1
180i
i
x
=
=∑
215 2y x x= −
6 6 6
2
1 1 1
15 2 90i i i
i i i
y x x
= = =
= − =∑ ∑ ∑
6
1
1 156 i
i
y
=
× =∑
cos 3 3,cos 2 4
= =− ABC
B b SC a c
3
3 3 3 3
2 2 2a c b ac+ − =
3B
π=
3ac =
cos
cos 2
B b
C a c
= −
2 2 2
2 2 2
2
2
2
a c b
bac
a b c a c
ab
+ −
=+ − −
2 2 2a c b ac+ − =
2 2 2 1cos 2 2
a c bB ac
+ −= = 0 B π< <
3B
π=
1 sin2ABCS ac B= =
3 3
4
3 3 3
2 2ac = 3ac =
2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 23 ( ) 2a c ac ac= + − − 2( ) 3 3 12a c ac+ = + =
2 3a c+ =
- 7 -
【点睛】本题考查了三角形的面积公式、余弦定理,属于基础题.
10. 设 A 为双曲线 (a>0,b>0)的一条渐近线上一点,且 A 在第四象限,O 为
坐标原点,若向量 =(1,1), 且 ,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】
由 已 知 可 设 , 其 中 , 由 且 , 可 得 ,
,建立关于 的方程,解之,再由双曲线离心率的公式可得选项.
【详解】由已知可得 A 为直线 上一点,且 A 在第四象限,故可设 ,其中
,
,其中 ,
,
,
, ,
,即 ,
,
.
2 2
2 2 1x y
a b
− =
m 10,OA = 2OA m⋅ = −
10 5 10
3 10 5
2 5
, bA t ta
− 0t > 10,OA = 2OA m⋅ = −
2
2
2
10at c
=
2at b a
= − ,a b
by xa
= − , bA t ta
−
0t >
2
2 2
2 10b cOA t t ta a
= + = =
2 2c a b= +
2
2
2
10at c
∴ =
2,bOA m t ta
⋅ = − = −
2at b a
∴ = −
0, 0t b a> ∴ > >
22
2
2
10 2a at c b a
= = −
2 2
2 2 2 2
10 4
2
a a
a b b ab a
=+ − +
2 23 10 3 0a ab b∴ − + = ( 3 )(3 ) 0a b a b− − =
0b a> >
3b a∴ =
- 8 -
所以该双曲线的离心率为 ,
故选:A.
【点睛】本题考查求双曲线的离心率的问题,关键在于由已知条件得出关于 的方程,属
于中档题.
11. 三棱锥 S﹣ABC 的各顶点均在球 O 的球面上,SC 为该球的直径,AC=BC=2,∠ACB=120°,
且三棱锥 S﹣ABC 的体积为 2,则球 O 的半径为( )
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
作出示意图,求得 的面积,并计算出三棱锥 的高 ,利用正弦定理计算圆
的直径 ,然后利用勾股定理求出 ,即可求解球的直径,得到答案.
【详解】如图所示, 因为 ,
可得 面积为 ,
设 的外接圆为圆 ,连接 ,则 平面 ,
作圆 的直径 ,连接 ,
因为 分别为 的中点,则 ,所以 平面 ,
所以三棱锥 的体积为 ,解得 ,
由正弦定理,可得 , ,
设球的半径为 ,则 ,解得 .
故选:A.
的
2 2 2 2
2 2 21 10c c a b b
a a a a
+= = = + =
, ,a b c
7 5 5
2
ABC S ABC− SD
E CD SC
2, 120AC BC ACB= = ∠ =
ABC
1 1 3sin 2 2 32 2 4ABCS AC BC ACB∆ = ⋅ ∠ = × × × =
ABC E OE OE ⊥ ABC
E CD SD
,O E ,SC CD / /SD OE SD ⊥ ABC
S ABC− 1 3 23S ABCV SD− = × × = 2 3SD =
4sin sin30
AC ACCD ABC
= = =∠
2 2 2 7SC CD SD= + =
R 2 2 7R SC= = 7R =
- 9 -
【点睛】本题主要考查了球的体积的计算公式及应用,其中解答中作出示意图,根据组合体
的结构特征,找出线面垂直关系,求得三棱锥的高是解答的关键,着重考查推理与运算能力,
属于中档试题.
12. 已知函数 与 的图象上存在两对关于直线 对
称的点,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意 与 的图象在 存在两对关于 对称的点,即可知 的反函
数与 在 有两交点,构造新函数 ,通过导数研究函数的单调性
进而根据函数值的对称性确定参数范围即可
【详解】∵ 与 的图象在 存在两对关于 对称的点
2 1( ) ,f x x ax x ee
= − ∈
( ) xg x e= y x=
a
1 ,e ee
−
11, e e
−
11,e e
−
11,e e
+
( )f x ( )g x 1 ,x ee
∈
y x= ( )g x
( )f x 1 ,x ee
∈
ln( ) xh x x x
= −
( )f x ( )g x 1 ,x ee
∈
y x=
- 10 -
由 ,得 ,且 与 关于 对称
∴ 在 上有两解,即 在 上有两解
令 ,则
∵ 上单调递增,且
∴当 时 , 单调递减;当 时, , 单调递增
∴ ,
∴要使 在 上有两解,即有 的取值范围是
故选:C
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性求参数范围,首先将问题转化为函数的反函
数与一个函数有两个交点,再构造函数通过导数研究新函数的单调性进而求参数范围
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中的横线
上.
13. 函数 f(x)= ,则 f(f( ))=_____.
在
( ) xg x e= lnx y= xe ln x y x=
2ln x x ax= − 1 ,x ee
∈
ln xa x x
= − 1 ,x ee
∈
ln( ) xh x x x
= − ( ) 2
2
ln 1x xh x x
+ −′ =
( ) 2 ln 1k x x x= + − 1 ,x ee
∈
( )1 0k =
1 ,1x e
∈ ( ) 0h x′ < ( )h x [ ]1.x e∈ ( ) 0h x′ > ( )h x
( ) ( )min 1 1h x h= = max
1 1 1 1( ) max , ( ) max ,h x h h e e e ee e e e
= = + − = +
ln xa x x
= − 1 ,x ee
∈ a 1(1, ]e e
−
2 2 , 0
1 , 0
x x x
nx x
+
>
1
e
- 11 -
【答案】﹣1
【解析】
【分析】
先计算出 ,再计算 得值,由此得出结果.
【详解】依题意得 .
故答案为:
【点睛】本题主要考查分段函数求值,考查对数运算,考查运算求解能力,属于基础题.
14. 已知向量 若 与 平行,则 m=_____.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据向量平行的坐标表示直接列式求解.
【详解】由题意可知若 和 平行,
则 ,解得:
故答案为:4
【点睛】本题考查向量平行的坐标表示,属于基础题型.
15. (3x﹣ )4 的展开式中的常数项为_____.
【答案】216
【解析】
【分析】
利用二项式的通项公式 即可得出.
【详解】
令 ,解得
常数项为
故答案为:216
【点睛】本题考查了二项式的通项展开式、常数项的求法,考查了数学运算能力,属于基础
1 1ef = −
( )1f −
1 ( 1) 1ef f f
= − = −
1−
a (3, ),b (6,8)= = m a b
a b
3 8 6m× = 4m =
2
x
4 4 4 2
1 4 4
2(3 ) ( ) 3 ( 2)− − −
+ = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⋅r r r r r r r
rT C x C xx
4 4 4 2
1 4 4
2(3 ) ( ) 3 ( 2)− − −
+ = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⋅r r r r r r r
rT C x C xx
4 2 0r− = 2r =
2 4 2 2
3 4 3 ( 2) =216−= ⋅ ⋅ −T C
- 12 -
题目.
16. 在直四棱柱 中,侧棱长为 6,底面是边长为 8 的菱形,且
,点 在边 上,且满足 ,动点 在该四棱柱的表面上运动,
并且总保持 ,则动点 的轨迹围成的图形的面积为______;当 与平面
所成角最大时,异面直线 与 所成角的余弦值为_______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
首先 可证 ,在 上 取 ,使 得 ,连 接 , 则 ,可 得
.记 与 的交点为 ,以 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
,在 上取一点 ,由 ,求出 点的位置,从而得到动点 轨迹,
即可求出动点 的轨迹围成的图形的面积,显然当 与 重合时, 与平面 所成
角最大,利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值;
【详解】解:如图,在直四棱柱 中,因为底面是菱形,侧棱垂直底面,
所以 平面 ,所以 .
在 上取 ,使得 ,连接 ,则 ,所以 .
记 与 的交点为 ,以 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 ,
则 , , .
在 上取一点 ,记为 ,于是 , .
由 ,得 ,即 ,
所以 的边为点 的运动轨迹.
由题意得 , ,
动点 的轨迹围成的图形的面积为 .
1 1 1 1ABCD A B C D−
120ABC∠ = E BC 3BE EC= M
1ME BD⊥ M MC
ABCD 1MC AC
15 3 2 51
17
1BD AC⊥ AB F 3BF FA= EF //EF AC
1
⊥BD EF AC BD O O
O xyz− 1BB G 1 0BD EG⋅ = G M
M M G MC ABCD
1 1 1 1ABCD A B C D−
AC ⊥ 1 1BDD B 1BD AC⊥
AB F 3BF FA= EF //EF AC 1
⊥BD EF
AC BD O O O xyz−
( )4,0,0B ( )1 4,0,6D − ( )1,3 3,0E
1BB G ( )4,0,G t ( )1 8,0,6BD = − ( )3, 3 3,EG t= −
1 24 6 0BD EG t⋅ = − + = 4t = 12BG GB=
EFG M
2 2 2 13FG BF BG= + = 3 3 8 3 6 34 4EF AC= = × =
M ( ) ( )2 21 6 3 2 13 3 3 15 32
× × − =
- 13 -
显然当 与 重合时, 与平面 所成角最大.
因为 , ,所以 ,
,
因为直线 的一个方向向量为 ,所以 ,
即异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故答案为: ; .
【点睛】本题考查空间中点、线、面的位置关系,利用空间向量法解决立体几何问题,考查
直观想象与数学运算的核心素养,属于难题.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤.17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22,23 题为选考题,考
生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分.
17. 已知数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求 的通项公式;
(2)若 ,求数列 的前 项和 .
M G MC ABCD
( )4,0,4M ( )1 0,4 3,6C ( )1 4,4 3,2MC = −
( ) ( )22 2
1 4 4 3 2 2 17MC = − + + =
AC ( )0,1,0n = 1
1
1
4 3 2 51cos , 172 17
MC nMC n
MC n
= = =
1MC AC 2 51
17
15 3 2 51
17
{ }na n nS 2 1n
nS = +
{ }na
( )2 1n nb n a= − { }nb n nT
- 14 -
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
【分析】
(1)令 可求得 的值,令 可得出 ,然后对 的值是否满足 在
时的表达式进行验证,由此可得出数列 的通项公式;
(2)求得数列 通项公式,然后利用错位相减法可求得 .
【详解】(1)当 时, ;
当 时, .
不适合 .
综上所述, ;
(2)由(1)可得 .
当 时, ;
当 时, ,
得 ,
上式 下式得
,
, 满足 ,
因此, .
【点睛】本题考查利用 求 ,同时也考查了错位相减法,考查计算能力,属于中等题.
18. 在一次庙会上,有个“套圈游戏”,规则如下:每人 3 个竹环,向 A,B 两个目标投掷,先
的
1
3, 1
2 , 2n n
na n−
== ≥
( )2 3 2 5n
nT n= − ⋅ +
1n = 1a 2n ≥ 1n n na S S −= − 1a na
2n ≥ { }na
{ }nb nT
1n = 1
1 1 2 1 3a S= = + =
2n ≥ ( ) ( )1 1
1 2 1 2 1 2n n n
n n na S S − −
−= − = + − + =
1 3a = 12n
na -=
1
3, 1
2 , 2n n
na n−
== ≥
( ) ( ) 1
3, 12 1 2 1 2 , 2n n n
nb n a n n−
== − = − ⋅ ≥
1n = 1 3=T
2n ≥ ( )1 2 3 13 3 2 5 2 7 2 2 1 2n
nT n −= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + − ⋅
( ) ( )1 2 3 12 3 2 3 2 5 2 2 3 2 2 1 2n n
nT n n−= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + − ⋅ + − ⋅
−
( ) ( ) ( )
2
2 3 1 8 1 2
3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 1 21 2
n
n n n
nT n n
−
−
−
− = + ⋅ + ⋅ + + ⋅ − − ⋅ = + − − ⋅−
( )5 3 2 2nn= − + − ⋅
( )2 3 2 5n
nT n∴ = − ⋅ + 1 3=T ( )2 3 2 5n
nT n= − ⋅ +
( )2 3 2 5n
nT n= − ⋅ +
nS na
- 15 -
向目标 A 掷一次,套中得 1 分,没有套中不得分,再向目标 B 连续掷两次,每套中一次得 2
分,没套中不得分,根据最终得分发放奖品.已知小华每投掷一次,套中目标 A 的概率为 ,
套中目标 B 的概率为 ,假设小华每次投掷的结果相互独立.
(1)求小华恰好套中一次的概率;
(2)求小华总分 X 的分布列及数学期望.
【答案】(1) ;(2)分布列见解析, .
【解析】
【分析】
(1)分为套中目标 A 和套中目标 B 两种情形,结合相互独立事件同时发生的概率计算公式即
可得结果;
(2) 的可能取值为 0,1,2,3,4,5 求出相对应的概率,再计算期望即可.
【详解】(1)设“小华恰好套中一次”为事件 A,
则 .
(2) 的可能取值为 0,1,2,3,4,5,
; ;
; ;
; ;
∴ 的分布列为:
0 1 2 3 4 5
.
【点睛】本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列、数学期
望,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
4
5
3
4
1
8
( ) 19
5E X =
X
( ) 4 1 1 1 3 1 125 4 4 5 4 4 8P A = × × + × × × =
X
( ) 1 1 1 10 5 4 4 80P X = = × × = ( ) 4 1 1 11 5 4 4 20P X = = × × =
( ) 1 3 1 32 2 5 4 4 40P X = = × × × = ( ) 4 3 1 33 2 5 4 4 10P X = = × × × =
( ) 1 3 3 94 5 4 4 80P X = = × × = ( ) 4 3 3 95 5 4 4 20P X = = × × =
X
X
P
1
80
1
20
3
40
3
10
9
80
9
20
( ) 1 1 3 3 9 9 190 1 2 3 4 580 20 40 10 80 20 5E X = × + × + × + × + × + × =
- 16 -
19. 已知 分别是椭圆 的左、右焦点,P 是
椭圆 C 上的一点,当 PF1⊥F1F2 时,|PF2|=2|PF1|.
(1)求椭圆 C 的标准方程:
(2)过点 Q(﹣4,0)的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点,点 M 关于 x 轴的对称点为点 M′,
证明:直线 NM′过定点.
【答案】(1) ;(2)直线 过定点 .
【解析】
【分析】
(1)由椭圆的定义和已知条件得 ,又由 可得出点 P
的坐标,代入椭圆的标准方程中可解出 ,从而得出椭圆的标准方程;
(2)设出直线 l 的方程,点 M、N 的坐标,直线 l 的方程与椭圆的方程联立可得点 M、N 的
坐标的关系,再表示出直线 的方程,将点 M、N 的坐标的关系代入可得直线 NM′所过的
定点.
【详解】(1)由 得 , ,
由椭圆的定义得 , , ,
,所以点 P 的坐标为 ,
将点 P 的坐标代入椭圆的方程中有 ,
又 , ,
解得 或 ,
当 , ,故舍去;
当 , ,
1 2( 3,0), ( 3,0)F F−
2 2
2 2: 1 ( 0)x yC a ba b
+ = > >
2 2
19 6
x y+ = NM ′ 9 ,04
−
1 1 1
22 2 , 3PF PF a PF a+ = = 1 1 2PF F F⊥
,a b
NM ′
1 2( 3,0), ( 3,0)F F− 3c = 2 2 2 2( 3) 3a b b∴ = + = +
1 2 2PF PF a+ = 2 12PF PF= 1 1 1
22 2 , 3PF PF a PF a∴ + = =
1 1 2PF F F⊥
23, 3 a − ±
2
2
2 2
2
( 3) 3 1
a
a b
± − + =
2 2 2 23, 3a b b a= + = −
2
2
2 2
2
( 3) 3 13
a
a a
± − ∴ + =−
2 9a = 2 9
5a =
2 9
5a = 2 2 63 05b a= − = − <
2 9a = 2 2 3 9 3 6b a= − = − =
- 17 -
所以椭圆的标准方程为: .
(2)由题意可知,直线 l 的斜率必然存在,故设直线 l 的方程为 ,设
,则 ,
联立方程组 ,得 ,
,
解得 , , ,
又 , ,设直线 的方程为
,
,
2 2
19 6
x y+ =
( 4)y k x= +
( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y ( )1 1,M x y′ −
2 2
19 6
( 4)
x y
y k x
+ =
= +
( )2 2 2 23 2 24 48 18 0k x k x k+ + + − =
( ) ( )( )22 2 2 224 4 3 2 48 18 168 144 0k k k k∆ = − + − = − + >
2 6
7k < 2
1 2 2
24
3 2
kx x k
+ = − +
2
1 2 2
48 18
3 2
kx x k
−⋅ = +
( )2 2,N x y ( )1 1,M x y′ − NM ′
( ) ( ) ( )2 1 2 1
2 2 2
2 1 2 1
y y y yy y x x x xx x x x
− − +− = − = −− −
2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1
2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
y y y y y y y x y x y x y xy x x y xx x x x x x x x x x
+ + + + −∴ = − + = − +− − − − −
2 1 1 2 2 1
2 1 2 1
y y y x y xxx x x x
+ += −− −
( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 2 1
2 1 2 1
4 4 4 4k x k x k x x k x xxx x x x
+ + + + ⋅ + + ⋅= −− −
( ) ( )1 2 1 2 1 2
2 1 2 1
8 2 4k x x k kx x k x xxx x x x
+ + + += −− −
2 2 2
2 2 2
2 1 2 1
24 48 18 248 2 43 2 3 2 3 2
k k kk k k kk k kxx x x x
−⋅ − + + ⋅ − + + + = −− −
( )( ) ( )( )2 2
2 1 2 1
16 36
3 2 3 2
k kx
x x k x x k
= +
− + − +
( )( )2
2 1
16 9
43 2
k x
x x k
= + − +
- 18 -
当 时, ,所以直线 过定点 .
【点睛】本题考查椭圆的定义和简单的几何性质,求椭圆的标准方程,以及直线与椭圆的位
置关系中直线过定点的问题,关键在于将目标条件转化到直线与椭圆的交点的坐标上去,属
于较难题.
20. 某人设计了一个工作台,如图所示,工作台的下半部分是个正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1,
其底面边长为 4,高为 1,工作台的上半部分是一个底面半径为 的圆柱体的四分之一.
(1)当圆弧 E2F2(包括端点)上的点 P 与 B1 的最短距离为 5 时,证明:DB1⊥平面
D2EF.
(2)若 D1D2=3.当点 P 在圆弧 E2E2(包括端点)上移动时,求二面角 P﹣A1C1﹣B1 的正切
值的取值范围.
【答案】(1)见解析,(2)
【解析】
【分析】
(1)以 为原点,以 的方向分别为 轴, 轴, 轴的正方向建立空间直角
坐标系 ,可得 ,从而可证 DB1⊥平面 D2EF;
(2)设 ,则 ,所以 ,求出平面 的法
向量 ,而平面 的一个法向量 ,设二面角 的
9
4x = − 0y = NM ′ 9 ,04
−
2
2
3 2 6 2 3[ , ]2 7
+− −
D 2, ,DA DC DD x y z
D xyz−
1 1 20, 0DB EF DB ED⋅ = ⋅ =
( , ,4)P a b 2 2 2, 0, 0a b a b+ = ≥ ≥ [ 2,2]a b+ ∈ 1 1PAC
4(1,1, )3
a bn
− −=
1 1 1A B C (0,0,1)m =
1 1 1P AC B− −
- 19 -
大小为 ,则先求出 ,从而可得 ,再由 可得 的范
围.
【详解】(1)证明:作 平面 于 ,则 在圆弧 上,
因为 ,所以当 取最小值时, 最小,
由圆的对称性可知, 的最小值为 ,
所以 ,
如图,以 为原点,以 方向分别为 轴, 轴,
轴的正方向建立空间直角坐标系 ,
则 ,
,
因为 ,
所以 ,
因为 平面 , 平面 , ,
所以 DB1⊥平面 D2EF,
的
θ cosθ 3 2tan 4a b
θ = + − [ 2,2]a b+ ∈ tanθ
PH ⊥ 1111 DCBA H H EF
2 2
1 1PB PH HB= + 1HB 1PB
1HB 4 2 2 3 2− =
2 2
1 1 4 2PH PB HB= − =
D 2, ,DA DC DD x y
z D xyz−
2 1(0,0,0), (0,0,1 4 2), ( 2,0,1), (0, 2,1), (4,4,1)D D E F B+
1 2(4,4,1), ( 2, 2,0), ( 2,0,4 2)DB EF ED= = − = −
1 1 24 2 4 2 0 0, 4 2 0 4 2 0DB EF DB ED⋅ = − + + = ⋅ = − + + =
1 1 2,DB EF DB ED⊥ ⊥
EF ⊂ 2D EF 2ED ⊂ 2D EF 2ED EF E=
- 20 -
(2)解:若 D1D2=3,由(1)知 ,
设 ,因为 ,
设
所以 ,
,
设平面 的法向量为 ,
则 ,
令 ,则 ,
取平面 的一个法向量 ,
设二面角 的大小为 , 显然是钝角,
则 ,
( ) ( ) ( )1 1 14,0,1 , 0,4,1 , 4,4,1A C B
( , ,4)P a b 2 2 2, 0, 0a b a b+ = ≥ ≥
2 cos , 2 sin , [0, ]2a b
πθ θ θ= = ∈
2sin( ) [ 2,2]4a b
πθ+ = + ∈
1 1 1( 4,4,0), ( 4, ,3)AC A P a b= − = −
1 1PAC 1 1 1( , , )n x y z=
1 1 1 1
1 1 1 1
4 4 0
( 4) 3 0
n AC x y
n A P a x by z
⋅ = − + = ⋅ = − + + =
1 1x = 4(1,1, )3
a bn
− −=
1 1 1A B C (0,0,1)m =
1 1 1P AC B− − θ θ
2
4
3cos cos ,
42 ( )3
a b
m n
m n
a bm n
θ
+ −
⋅
= − = − =
+ −+
- 21 -
,
则 ,
所以二面角 的正切值的取值范围为 ,
【点睛】此题考查了利用空间向量证明线面垂直,求二面角,考查了空间想象能力和推理计
算能力,属于较难题.
21. 设函数 f(x)=xlnx,g(x)=aex(a∈R).
(1)若曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线也与曲线 y=g(x)相切,求 a 的值.
(2)若函数 G(x)=f(x)﹣g(x)存在两个极值点.
①求 a 的取值范围;
②当 ae2≥2 时,证明:G(x)<0.
【答案】(1) ;(2)① ;②证明详见解析.
【解析】
【分析】
(1)首先求切线方程,设切点 ,利用导数的几何意义列式求解;
(2)①由条件转化为 与 有两个交点,利用函数的导数求解;
②首先由已知条件 ,转化为 ,再通过构造函数
,利用导数证明 恒成立.
【详解】(1) , , ,
则切线方程为
设切线与 相切于点 ,
则 ,解得: , , ;
2
20 , sin 0,sin 1 co 2
42 ( )
s
3
a b
θ π θ θ θ≤ ≤ ∴ >
+ −+
= − =
3 2 3 2 6 2 3tan [ , ]4 2 7a b
θ += ∈ − −+ −
1 1 1P AC B− − 3 2 6 2 3[ , ]2 7
+− −
2
1a e
= 10 a e
< <
( )0 0,P x y
y a= ln 1
x
xy e
+=
2
2a e
≥ ( ) 2
2ln lnx xG x x x ae x x ee
= − ≤ −
( ) 2
2ln xx x eeF x x
−
= ( ) 0F x <
( ) ln 1f x x′ = + ( )1 1f ′ = ( )1 0f =
1y x= −
( )y g x= ( )0 0,P x y
0
0
0
0 0
1
1
x
x
ae
y ae
y x
=
=
= −
0 2x = 0 1y =
2
1a e
=
- 22 -
(2)① , ,
,
当 时, ,
若函数 有两个极值点,即 与 有两个交点,
设 ,
,设 ,
,即函数 在 上单调递减,且 ,
在区间 ,在区间 ,
在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,
并且 ,当 时, ,当 时, ,
若 与 有两个交点时, ;
② ,当 ,
,
令 ,
,
显然 时, , 在 上单调递增,
当 时, ,
当 时, ,
令 , , ,
在 上单调递增,又 ,
( ) ln xG x x x ae= − 0x >
( ) ln 1 xG x x ae′ = + −
( ) 0G x′ = ln 1
ex
xa
+=
( )G x y a= ln 1
x
xy e
+=
( ) ( )ln 1 0x
xh x xe
+= >
( )
1 ln 1
x
xxh x e
− −
′ = ( ) 1 ln 1t x xx
= − −
( ) 2
1 1 0t x x x
′ = − − < ( )t x ( )0, ∞+ ( )1 0t =
∴ ( )0,1 ( ) 0h x′ > ( )1,+∞ ( ) 0h x′ <
( )h x∴ ( )0,1 ( )1,+∞
( ) 11h e
= x → +∞ ( ) 0h x → 0x → ( )h x → −∞
y a= ( )y h x= 10 a e
< <
( ) ( ) ( ) ln xG x f x g x x x ae= − = − 2
2
22ae a e
≥ ⇔ ≥
( ) 2
2ln lnx xG x x x ae x x ee
= − ≤ −
( ) 2
2
2ln 2ln
x
xx x e eeF x xx x e
−
= = − ⋅
( ) ( )
2 2 2 2
11 2 1 2xx x e xx e eF x x x e x x e
−⋅ −′ = − ⋅ = − ⋅
0 1x< < ( ) 0F x′ > ( )F x∴ ( )0,1
( )0,1x∈ ( ) ( ) 21 0F x F e
< = − <
1x > ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 11 2 2
1
x xe x x e xF x x x e x e x
− − − ′ = − ⋅ = − −
( ) 2
2
1
xe xH x e x
= − − 1x > ( ) ( )22
2 1 0
1
xeH x e x
′ = + >
−
( )H x∴ ( )1,+∞ ( )2 0H =
- 23 -
时, ,当 时, ,
当 时, ,当 时, ,
在 上单调递增,在 上单调递减,
当 时, ,
综上所述, ,
所以 .
【点睛】本题考查导数的几何意义,根据极值点的个数求参数的取值范围,以及证明不等式,
重点考查转化与化归的思想,逻辑推理,计算能力,属于难题,本题的难点是第三问,需构
造函数 ,函数的变形求解.
(二)选考题:共 10 分.请考生从第 22,23 两题中任选一题作答.如果多做,则按
所做的第一个题目计分.
选修 4-4:坐标系与参数方程
22. 在直角坐标系 xOy 中,P(0,1),曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数).以坐
标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为
.
(1)求曲线 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程;
(2)曲线 C1 与 C2 交于 M,N 两点,求||PM|﹣|PN||.
【答案】(1) , ,(2)
【解析】
【分析】
(1)把曲线 C1 的参数方程消去参数 t 可得普通方程,曲线 C2 的极坐标方程为 两
边同乘以 ,把互化公式代入可得直角坐标方程;
(2)把曲线 C 化成标准参数方程,代入曲线 C2 的直角坐标方程,得到关于 t 的二次方程,然
( )1,2x∈ ( ) 0H x < ( )2,x∈ +∞ ( ) 0H x >
∴ ( )1,2x∈ ( ) 0F x′ > ( )2,x∈ +∞ ( ) 0F x′ <
( )F x∴ ( )1,2 ( )2,+∞
1x > ( ) ( )2 ln 2 1 0F x F≤ = − <
( ) ( ) 0G x F x≤ <
( ) 0G x <
( ) 2
2
2ln 2ln
x
xx x e eeF x xx x e
−
= = − ⋅
31 2
3
2
x t
y t
= −
=
4cosρ θ=
1 0x y+ − = 2 2 4 0x y x+ − = 14
4cosρ θ=
ρ
- 24 -
后利用 t 的几何意义求解||PM|﹣|PN||
【详解】解:(1)曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数),
消去参数 t 得普通方程为 ,
曲线 C2 的极坐标方程为 ,两边同乘以 ,
得 ,所以其直角坐标方程为
(2)曲线 C1 过点 P(0,1),则其参数方程为 ,
将其代入方程 得,
,
化简得 ,
设上式方程的根为 ,所以 ,
所以
【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程,极坐标方程化为直角坐标方程,参数 几何意
义,考查了计算能力,属于中档题.
选修 4-5:不等式选讲
23. 已知 a>0,b>0,a+b=3.
(1)求 的最小值;
(2)证明:
【答案】(1) ;(2)证明见解析
【解析】
【分析】
的
31 2
3
2
x t
y t
= −
=
1 0x y+ − =
4cosρ θ= ρ
2 4 cosρ ρ θ= 2 2 4 0x y x+ − =
2
2
21 2
x t
y t
= −
= +
2 2 4 0x y x+ − =
2 22 2 2( ) (1 ) 4 ( ) 02 2 2t t t− + + − × − =
( )22 3 2 1 0 3 2 4 14 0t t+ + = ∆ = − = >,
1 2,t t 1 2 1 23 2, 1t t t t+ = − =
2 2
1 2 1 2 1 2( ) 4 ( 3 2) 4 1 14PM PN t t t t t t− = − = + − = − − × =
1 1+2+a b
9
2
+a b
b a ab
4
5
- 25 -
(1 )由所给等式得 ,再利用基本不等式即可求得最小值;(2 )利用
即可逐步证明.
【详解】(1) , ,且 ,
,当且仅当 即 时等号成立,
的最小值为 .
(2)因为 a>0,b>0,所以要证 ,需证 ,
因为 ,
所以 ,当且仅当 时等号成立.
【点睛】本题考查条件等式求最值、基本不等式的应用,属于中档题.
( )2 15
a b+ + =
( )2
2 2
2
a ba b
++ ≥
3a b+ =
( )2 15
a b+ +∴ = 2 0 0a b+ > >,
∴ ( )1 1 1 1 1 1 2+ + 2 22 5 2 5 2
b aa ba b a b a b
+ = + + = + + + + +
1 2 42 25 2 5
b a
a b
+≥ + ⋅ = +
2=2
b a
a b
+
+
1 5
2 2a b= =,
∴ 1 1+2+a b
4
5
9
2
+a b
b a ab
2 2 9
2a b+ ≥
( )2 2
2 2 3 9
2 2 2
a ba b
++ ≥ = =
9
2
+a b
b a ab
3
2a b= =
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