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文科数学 第 1页 (共 9 页) 文科数学 第 2页 (共 9 页)
试卷类型:B
2020 年普通高等学校招生统一模拟考试
文科数学答案
一、选择题:
1.B 2.A 3.D 4.B 5.C 6.C 7.A 8.D 9.D 10.B 11.A 12.B
1.解: ,2,4,1 BA ,故 BA 4,2 ,选 B
2.解:
21
ibaba
i
z , i
z
1
是实数,所以 0 ba 选 A.
3.选 D
4.解:因为
45
2 ,所以 15
2tan , 15
2tan
2.0
a , 13log0 5 b , 17
2cos0 ,
所以, 07
2coslog 2
c ,故选 B.
5.解:当 MNOP 时, OP 最小,这时 NMNP 5
4 ,故选 C.
6.解:不妨设原三角形面积为 1,第一次挖去三角形的面积为
4
1 ,剩余面积为
4
3 ,接下来每挖一次, 对每
个小完整三角形来说挖去的面积都是原完整三角形面积的
4
1 ,剩余面积为
4
3 ,故第二次挖去以后剩余
面积为
2
4
3
,,第三次挖去以后剩余面积为
3
4
3
,所以第 4 个图中白色区域的面积为
3
4
31
,所
以落在白色区域的细小颗粒物约有 29664
375124
31512
3
(粒).故选 C
7.解:由已知中的程序框图可知:该程序的循环变量 n 的初值为 1,终值为 2021,步长为 2,故循环共执行
了 1010 次。 由 S 中第一次累加的是 12 11 ,第二次累加的是 42 13 ,一直下去,
故该算法的功能是求首项为 1,公比为 4 的等比数列的前 1010 项的和,故选: A.
8.解:
xa
by
cx
解得
a
bccM , ,因为 NMF1 为等腰直角三角形,所以 ca
bc 2 , 2
a
b , 5e ,
选 D.
9.解析:选择 D.由 AB⊥BC,PB⊥BC,可知 BC⊥平面 PAB.将三棱锥 P ー ABC 补形为如图所示的三
校柱,则它们的外接球相同,由此易知外接球球心 O 应在棱柱上下底面三角形
的外心连线上,记△ABP 的外心为 E,由△ABD 为等边三角形,可得 BE=1.又
OE= 32
BC ,故在 R△OBE 中,OB= 2 此即为外接球半径,从而外接球表面
积为 16
10.解:
2 2
2 2
4 ( 2) 4 0
4 ( 2) 4 0
x x x xg x
x x x x
,
由 g x 的解析式可知, g x 在 , 上是奇函数且单调递增, xxgxf 为偶函数,
当 0x 时,有 ( ) (0)g x g ,
任取 1 2 0x x ,则 1 2 0g x g x ,由不等式的性质可得 1 1 2 2 0x g x x g x ,
即 1 2 0f x f x ,所以,函数 ( )f x 在 (0 ) , 上递增
再由 2 2f a f a ,得, | 2 | 2 | |f a f a 得 aa 22
即 23 4 4 0a a ,解得 22 3a .
11.解:满足三视图的几何体为四棱锥 ABCDP ,如图所示:则 24ABCDS ,
4PCBS , 4PCDS , 22PABS , 6232222
1 PADS ,所以该几何体
的表面中的面积最小值为 22
12.解:由题意知函数 xf 的定义域为 ,0 ,
22
3211
xxtx
exxf
x
2
321
x
xtex x
2
32321
x
tx
exx
x
文科数学 第 3页 (共 8 页) 文科数学 第 4页 (共 8 页)
因为函数恰有一个极值点 1,所以 032
tx
ex
无解,令 032
xx
exg
x
,则,
0)32(
)12(
2
x
xexg
x
所以 xg 在 ,0 上单调递增,从而
3
10 gxg ,所以
3
1t 时,
032
tx
ex
无解,
xxxtx
exf
x 32ln 恰有一个极值点 1,所以t 的取值范围是
3
1,
二、填空题:
13. 8
25 14. 8
15.1 16. 1m
13.【解析】第一行成等差数列,所以前 5 项为 2,3,4,5,6,第二行成等差数列,所以 5 项为 1,
1.5,2,2.5,3,第三列成等比数列,所以 1x ,第四列成等比数列,所以 5
8y ,
答案:
8
25 yx .
14.解: cos(2 ) sin 2 sin 24 2 4 4y x x x
故函数 sin(2 )4y x 的图象沿 x 轴向右平移
8
个单位长度即可得到函数 sin 2y x 的图象
15.解:建立如图的坐标系,因为 2PO , 1OE , 2 ODOC ,所以 2,1C ,设抛物线的方
程为 022 ppxy ,代人得 22 p ,故焦点到其准线的距离等于 1.
16.解:依题意, 02
111 nn anna ,则 02
12)1( 12 nn anan ,两式相减,可得
02 12 nnn aaa ,所以 na 为等差数列,由 02
111 nn anna ,得 02
12 12 aa ,又
2
3
1 a ,解得
2
5
2 a ,所以
2
1 nan ,则 1
2
2
2
2
nn
n nnS ,令 n
n
n
Sb 2
, 2
2
1 2
3
nnn
nbb ,当 2n
时, 01 nn bb ,数列 nb 单调递减,而
4
3
1 b , 12 b ,
16
15
3 b ,故 1m .
三、解答题:
17.解:(1)因为 Cbca cos22 ,所以 CBCA cossin2sinsin2 …………………(1 分)
所以 CBCCB cossin2sin)sin2 ( ,整理得 CBC sincos2sin ,………………(3 分)
因为 0sin C ,所以
2
1cos B ,…………………………(4 分)
因为 B0 ,所以
2
3sin B .………………………………(5 分)
(2)由(1)
2
3sin B ,所以 2sinsinsin
B
b
C
c
A
a ,从而 CcAa sin2,sin2
…………………………(6 分)
所以 AAACac sin23
2sin2sin2sin2
6sin32sin3cos3 AAA
………………………………(9 分)
为
3
2 CA ,所以
3
20 A ,从而
6
5
66
A ,…………………………(10 分)
故 326sin323
A …………………………(11 分)
故 ac 的范围为 32,3 .………………………………(12 分)
18. 解:(1)依题意得: 5.36
654321 x , 4105.36
8610
6
6
x
yxy ,
…………………………(2 分)
91
6
1
2
i
ix , 9310
6
1
i
i
i yx ,所以 40
5.3691
86109310
6
6
26
1
22
6
1
i
i
i
ii
xx
yxyx
b ,
…………………………(4 分)
2705.340410ˆ xbya …………………………(5 分)
所以 y 关于 x 的线性回归方程为 27040ˆ xy ………………………………(6 分)
(2)令 12x ,得 2019 年 12 月该家庭人均月纯收入预估值为 7502701240 元
故,2020 年 3 月份该家庭的人均月纯收入为 5003
2750 元.…………………………(8 分)
(3)每月的增长率为 8%,设从 3 月开始到 12 月的纯收入之和为 10S ,则
9
10 08.0150008.01500500 )(S …………………………(9 分)
文科数学 第 5页 (共 9 页) 文科数学 第 6页 (共 9 页)
725008.0-
1.08-1500 10
…………………………(10 分)
12 101000 8250 8000S S …………………………(11 分)
故到 2020 年底能如期实现小康.………………………………(12 分)
19.解:(1)连结 1AB 交 BA1 于点O ,则O 为 1AB 的中点,
因为 D 是 AC 的中点,所以 CBOD 1// ,…………………………(2 分)
又 OD 平面 BDA1 , CB1 平面 BDA1 ,
所以 //1CB 平面 BDA1 . ………………………………(4 分)
(2) ,60,3,2 ACBABAC
,3ACBCOSBCAC2BCACAB 222
即 02 602243 COSBCBC
1BC , …………………………(6 分)
.,222 BCABBCABAC
又平面 BBAA 11 平面 ABC,平面 BBAA 11 平面 ABABC ,
BC 平面 BBAA 11 , ………………………………(8 分)
601 ABA , .31 BBAB 111 CBBC ,
.4
33sin2
1
1111111
BBABBBAS BBA
.4
33
3
1
3
1
1111
BCSV BBABBAC
…………………………(9 分)
设 1A 到平面 11BBCC 的距离为 h ,
2
3312
1
2
1
11
BBBCS CBB
hhSV CBBCBBA 2
3
3
1
3
1
111
,…………………………(10 分)
而 11 BCBAV BBACV 11 ,所以
4
33
3
1
2
3
3
1 h 所以
2
3h ,…………………………(11 分)
1A 到平面 11BBCC 的距离为
2
3 .………………………………(12 分)
19. 解:(1)以线段 AB 为直径的圆的圆心为 0,0 ,半径 r 为 a ,圆心到直线 023 yx 的距离
为 1
31
2
d ,…………………………(1 分)
直线 023 yx 被圆截的弦长为 52122 222 adr ,解得 6a ,………(2 分)
又椭圆的离心率为
3
6 ,所以 2c , 24622 cab …………………………(3 分)
所以椭圆的方程为 126
22
yx ………………………………(4 分)
(2)依题意, (2,0),F 直线 PQ 的方程为 2y k x .…………………………(5 分)
联立方程组
2 2
1,6 2
2 .
x y
y k x
消去 y 并整理得 2 2 2 23 1 12 12 6 0k x k x k .
………………………………(6 分)
22 2 2 212 4 12 6 3 1 24 1 0k k k k ,
设 1 1,P x y 、 2 2,Q x y ,故
2
1 2 2
12
3 1
kx x k
, 1 2 1 2 2
4( ) 4 3 1
ky y k x x k k
,
设 PQ 的中点为 N ,则
2
2 2
6 2( , )3 1 3 1
k kN k k
.………………………………(8 分)
因为线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 0( ,0)M x ,
① 当 0k 时,那么 0 0x ;………………………………(9 分)
文科数学 第 7页 (共 8 页) 文科数学 第 8页 (共 8 页)
② 当 0k 时, 1MNk k ,即 2
2
02
2
3 1 16
3 1
k
k kk xk
.
解得
2
0 2
2
4 4 .13 1 3
kx k
k
因为 2 0,k 所以 2
13 3k
,
2
4 40 1 33 k
,即 0
4(0, )3x .…………………(11 分)
综上, 0x 的取值范围为 4[0, )3 . ………………………………(12 分)
21.解:(1) xf 的定义域为 ,0 ,且
x
x
x
xxf 11 ,…………………………(1 分)
当 1,0x 时 0 xf , xf 单调递增;当 ,1x 时 0 xf , xf 单调递减;
…………………………(2 分)
所以 xf 在 1x 取得极大值也是最大值.即 01max fxf ,…………………………(3 分)
又有 xy ln 的图像知当 x 趋近 0 时 xy ln 无限小,故 0,xf .………………………(4 分)
(2) 22
ln
2
xx
xxx
x
xxfxxg ,…………………………(5 分)
于是 2)2(
4ln2
x
xxxg ………………………………(6 分)
令 4ln2 xxxh ,则
x
x
xxh 221 ,
由于 2x ,所以 0 xh ,即 xh 在 ,2 上单调递增;又 08 h , 09 h ,
…………………………(7 分)
所以 9,80 x ,使得 00 xh ,即 4ln2 00 xx ………………………………(8 分)
当 0,2 xx 时, 0xh ;当 ,0xx 时 0xh
即 xg 在 0,2 x 上单调递减;在 ,0x 上单调递增.…………………………(9 分)
所以
222
2
2
ln 0
0
0
2
0
0
000
0min
x
x
xx
x
xxxxgxg
)(
即
2
0xm ………………………………(10 分)
所以
5,2
11
2
2ln12 0
000
xxxxfmf …………………………(11 分)
即 522
11 mf ………………………………(12 分)
22.解:(1)依题意,曲线
4
1
2
1: 2
2
1
yxC ,即 022 xyx
故 0cos2 ,即 cos .…………………………(2 分)
因为
22
2
sin4cos
4
,故 4sin4cos 2222 ,即 44 22 yx ,即 14
2
2
yx .
………………………………(4 分)
(2)将 0 代入
22
2
sin4cos
4
得
0
2
2
sin31
4
Q
将 0 代入 cos 得 0cos P …………………………(6 分)
由 OPOQ 2 ,得 QP 2 ,即
0
2
2
0 sin31
4cos2 ,解得
3
2sin 0
2 ,则
3
1cos 0
2 …………………………(8 分)
又
20 0
,故
3
32
sin31
4
0
2 Q
3
3cos 0 P …………………………(9 分)
故 MPQ 的面积 3
2sin2
1
0 PQOMQOMPMPQ OMSSS
………………………………(10 分)
23.解:(1)化简得 123 xxxf …………………………(1 分)
文科数学 第 9页 (共 9 页) 文科数学 第 10页 (共 9 页)
①当 0x 时, 323 xxxxf ,由 1xf 即 13 x ,解得 2x ,又 0x ,所
以 02 x ;
②当 30 x 时, xxf 33 ,由 1xf ,即 132 x ,解得
3
2x ,又 20 x ,所以
3
20 x ;
③当 3x 时, 3 xxf ,不满足 1xf ,此时不等式无解;…………………………(4 分)
综上,不等式 1xf 的解集为
3
2,2 ………………………………(5 分)
(2) 323
294
fcba ,…………………………(6 分)
所以
cbacbacba
941943
1941
b
c
c
b
a
c
c
a
a
b
b
a 36369944811613
1
b
c
c
b
a
c
c
a
a
b
b
a 36362992442983
1
3
19672188983
1
…………………………(8 分)
当且仅当
14
3 cba 时,等号成立.…………………………(9 分)
所以
cba
941 的最小值为
3
196 .………………………………(10 分)
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