山西省大同市第一中学2020届高三下学期模拟考试（六）数学（理）试题 Word版含解析 23页

www.ks5u.com ‎2020届高三年级数学（理）模拟试卷六 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.‎ ‎1.设全集，且，则满足条件的集合的个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ ，所以满足 的集合 有 个，故选D.‎ ‎2.已知是虚数单位，复数的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为 ，所以复数的虚部为 ，故选B.‎ ‎3.已知a，b都是实数，那么“”是“”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数函数的单调性、不等式的性质即可判断出结论．‎ ‎【详解】都是实数，由“”有成立，反之不成立，例如.‎ 所以“”是“”的充分不必要条件.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ - 23 -‎ ‎4.淮南市正在创建全国文明城市，某校数学组办公室为了美化环境，购买了5盆月季花和4盆菊花，各盆大小均不一样，将其中4盆摆成一排，则至多有一盆菊花的摆法种数为（ ）‎ A. 960 B. 1080 C. 1560 D. 3024‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分两类：第一类一盆菊花都没有，第二类只有一盆菊花，将两类种数分别算出相加即可.‎ ‎【详解】解：一盆菊花都没有的摆法种数为，只有一盆菊花的摆法种数为，‎ 则至多有一盆菊花的摆法种数为，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查分类加法原理，考查排列组合数的计算，是基础题.‎ ‎5.数列的最大项所在的项数为（ ）‎ A. 10 B. 11 C. 12 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，则最大时有，代入通项公式解出，即可求出最大项的项数.‎ ‎【详解】令，‎ 当时，设为最大项，则即解得.‎ 而，所以，又时，有，‎ 所以数列的最大项所在的项数为11.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查数列求最大项问题，考查学生的计算能力，属于基础题.‎ - 23 -‎ ‎6.函数的大致图象为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得到为偶函数，所以当时，，求导讨论其单调性，分析其极值就可以得到答案.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以为偶函数, 则当时，.‎ 此时，‎ 当时， 当时，.‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 在上，当时函数有最小值..‎ 由为偶函数，根据选项的图像C符合.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查根据函数表达式选择其图像的问题，这类问题主要是分析其定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性和一些特殊点即可,属于中档题.‎ ‎7.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．己知的顶点，，且，则的欧拉线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 23 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于，可得：的外心、重心、垂心都位于线段的垂直平分线上，求出线段的垂直平分线，即可得出的欧拉线的方程．‎ ‎【详解】因为，可得：的外心、重心、垂心都位于线段的垂直平分线上 ‎，，则的中点为 ‎,‎ 所以的垂直平分线的方程为：，即.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了对新知识的理解应用，属于中档题．‎ ‎8.已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于、两点，若是等腰三角形，且．则的周长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线的定义以及三角形结合正弦定理，转化求解三角形的周长即可.‎ ‎【详解】双曲线的焦点在轴上，则； 设，由双曲线的定义可知：， 由题意可得：， ‎ - 23 -‎ 据此可得：，又 ，∴， 由正弦定理有:,即 所以，解得：，‎ 所以的周长为：‎ ‎=‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎9.已知是函数（，）的一个零点，将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则函数的单调递增区间是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过条件可得，，结合，可求出，即可得，令，求出的范围即为函数的单调递增区间.‎ ‎【详解】解：由已知，得，，‎ 又，，‎ ‎，即，，‎ - 23 -‎ ‎，①；‎ 又，‎ 所得图象关于轴对称，，‎ ‎，，将①代入消去得，，‎ ‎，‎ 时，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 令，，‎ ‎，，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图像和性质，考查计算能力和分析能力，是中档题.‎ ‎10.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D - 23 -‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依次还原几何体，可以得出A,B,C中的三视图是同一个三棱锥，摆放的位置不同而已，而D和它们表示的不是同一个三棱锥.‎ 考点：本小题主要考查几何体的三视图，考查学生的空间想象能力.‎ 点评：解决此类问题的关键在于根据三视图还原几何体.‎ ‎11.已知球的半径为，、是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图形，取线段的中点，利用向量的加法法则可得，，可得出，求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围.‎ ‎【详解】作出图形，取线段的中点，连接、、、、，可知，‎ 由勾股定理可得，且有，‎ 由向量的加法法则可得，，‎ ‎.‎ - 23 -‎ ‎，由向量的三角不等式可得，‎ ‎，所以，.‎ 因此，的取值范围是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积取值范围的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查数形结合思想以及计算能力，属于中等题.‎ ‎12.己知与的图象有三个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意，方程有三个不相等的实根，令，利用导数研究函数的单调性及最值情况，再分类讨论得解.‎ ‎【详解】解：方程即为，‎ 则方程有三个不相等的实根， 令得①，且， ∴函数在上单增，在上单减，‎ 故，且时，，时， ∴方程①的两个根的情况是： （i）若，则与的图象有四个不同的公共点，不合题意； （ii）若且或，则与的图象有三个不同的公共点，‎ - 23 -‎ 令，则，，此时另一根为，舍去；‎ 令，则，，此时另一根为，舍去； （iii）若且，则与的图象有三个不同的公共点，‎ 令，则，解得. 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数图像的交点与方程根的关系，考查分类讨论思想，旨在锻炼学生的推理论证能力，属于中档题.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分）‎ ‎13.设，满足约束条件，则最小值是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据约束条件画出可行域，可知需确定在轴截距的最大值，通过平移可得结果，从而确定所求最小值.‎ ‎【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：‎ 将化为：‎ 可知的最小值即为在轴截距最大时的取值 由图像平移可知，当过点时，截距最大 - 23 -‎ 由得 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查线性规划中的求解的最值类的问题，重点是通过平移确定取得最值的点.‎ ‎14.已知等腰直角的斜边，沿斜边的高线将折起，使二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 等腰直角翻折后 是二面角的平面角，即，因此外接圆半径为 ，四面体的外接球半径等于 ，外接球的表面积为 ‎ 点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.‎ ‎15.我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：‎ ‎①所有的奇数项满足，所有的偶数项满足；‎ - 23 -‎ ‎②任意相邻的两项，满足.‎ 根据上面的信息完成下面的问题：‎ ‎（i）数列__________“有趣数列”（填“是”或者“不是”）；‎ ‎（ii）若，则数列__________“有趣数列”（填“是”或者“不是”）.‎ ‎【答案】 (1). 是 (2). 是 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据定义检验可得正确的结论.‎ ‎【详解】若数列为，则该数列为递增数列，满足“有趣数列”的定义，‎ 故为“有趣数列”.‎ 若，则，‎ ‎.‎ ‎，故.‎ ‎,‎ 故.‎ ‎，故.‎ 综上，为“有趣数列”.‎ 故答案为：是，是.‎ ‎【点睛】本题以“有趣数列”为载体，考虑数列的单调性，注意根据定义检验即可，本题为中档题.‎ ‎16.已知函数.若存在，，…，满足，且，则m的最小值为________.‎ ‎【答案】8‎ - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦函数的有界性可得，对任意，都有，要使m取得最小值，尽可能多让取得最高点和最低点，然后作图可得满足条件的最小m值.‎ ‎【详解】∵对任意，都有，‎ 要使m取得最小值，尽可能多让取得最高点和最低点，‎ 考虑，，‎ 按下图取值即可满足条件，‎ ‎∴m的最小值为8.‎ 故答案为:8.‎ ‎【点睛】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意，都有是解题的关键，属于难题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC，，BC长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D引出两条成45°的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设，试求花卉种植面积的取值范围．‎ - 23 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理得，，求得，从而有，再根据条件得，从而求出答案．‎ ‎【详解】解：在△BDE中，∠BED=，由正弦定理得，‎ ‎∴，‎ 在△DCF中，，由正弦定理得，‎ ‎∴，‎ - 23 -‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ AEDF为四边形区域，，，‎ ‎，，‎ 花卉种植面积取值范围是．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形面积问题，属于基础题．‎ ‎18.如图，在平行六面体中，底面，，.‎ - 23 -‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，，,通过勾股定理得到，再由条件推得进而得到线面垂直，线线垂直；（2）建立坐标系，分别求得两个面的法向量，进而求得夹角的余弦值.‎ ‎【详解】(1)连接，，，以为原几何体是平行六面体，故得到是平行四边形，进而得到，因为且，‎ 在三角形ABC中由余弦定理得到边，，进而得到，‎ 又因为底面， ‎ 面..‎ ‎(2)根据题干，以及第一问可建立如图坐标系：‎ 设，，， ‎ 根据，设面的法向量为 ‎ - 23 -‎ ‎ ‎ 设面的法向量为 ‎ ‎，， ‎ 则两个半平面的夹角余弦值为：‎ ‎【点睛】这个题目考查了空间中直线和面的位置关系的应用，涉及线面垂直的性质的应用，以及线线垂直的证明，和二面角的求法，一般求二面角，可以利用几何方法，做出二面角，或者建立空间坐标系得到法向量进而求得二面角的大小.‎ ‎19.2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用（百万元）和销量（万盒）的统计数据如下：‎ 研发费用（百万元）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎21‎ 销量（万盒）‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3.5‎ ‎3.5‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎（1）求与的相关系数精确到0.01，并判断与的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：时，可用线性回归方程模型拟合）；‎ ‎（2）该药企准备生产药品的三类不同的剂型，，‎ - 23 -‎ ‎，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，，第二次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后，，三类剂型合格的种类数为，求的数学期望．‎ 附：（1）相关系数 ‎（2），，，．‎ ‎【答案】（1）0.98;可用线性回归模型拟合．（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题目提供的数据求出，代入相关系数公式求出，根据的大小来确定结果；‎ ‎（2）求出药品的每类剂型经过两次检测后合格的概率，发现它们相同，那么经过两次检测后，，三类剂型合格的种类数为，服从二项分布，利用二项分布的期望公式求解即可.‎ 详解】解：（1）由题意可知，‎ ‎，‎ 由公式，‎ ‎，∴与的关系可用线性回归模型拟合；‎ ‎（2）药品的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为 ‎，，，‎ 由题意， ，‎ - 23 -‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查相关系数的求解，考查二项分布的期望，是中档题.‎ ‎20.给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；‎ ‎（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.‎ ‎①当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明；‎ ‎②求证：线段的长为定值.‎ ‎【答案】（1）,,（2）（ⅰ），（ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1），‎ 椭圆方程为，‎ 准圆方程为．‎ ‎（2）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，‎ 设过点且与椭圆相切的直线为，‎ 所以由得.‎ - 23 -‎ 因为直线与椭圆相切，‎ 所以，解得，‎ 所以方程为．‎ ‎，．‎ ‎（ⅱ）①当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，‎ 则：，‎ 当：时，与准圆交于点，‎ 此时为（或），显然直线垂直；‎ 同理可证当：时，直线垂直 ‎②当斜率存在时，设点，其中.‎ 设经过点与椭圆相切的直线为，‎ 所以由 得.‎ 由化简整理得，‎ 因为，所以有.‎ 设的斜率分别为，因为与椭圆相切，‎ 所以满足上述方程，‎ 所以，即垂直．‎ 综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直.‎ 所以线段为准圆的直径，，‎ 所以线段的长为定值．‎ 考点：1、椭圆及其方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系.‎ - 23 -‎ ‎21.已知函数，在区间有极值．‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在区间有极值转化为在区间上不是单调函数，利用导数，分类讨论，研究在[1,2]上的单调性即可；‎ ‎（2）将证明转化为证明.先证，然后再证，进而可得.‎ ‎【详解】解：（1）由 得，‎ 当即时，，所以在[1,2]上单调递增，无极值；‎ 当即时，，所以在[1,2]上单调递减，无极值；‎ 当即，由得；由得，所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意，‎ ‎；‎ ‎（2）要证成立，只需证成立，即证，‎ 先证：.设，则，所以上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，‎ 因为，所以，则，即①，‎ - 23 -‎ 再证：.设，则.所以在上单调递增，则，即.因为，所以②，‎ 由①②可，所以.‎ ‎【点睛】本题考查函数极值的存在性问题，考查函数不等式的证明，关键是要将问题进行转化，考查计算能力，是一道难度较大的题目.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(为参数）.‎ ‎（1）写出直线的一般方程与曲线的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；‎ ‎（2）将曲线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到曲线，设曲线经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；；直线和曲线相切.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（I）直线的一般方程为，‎ 曲线的直角坐标方程为.‎ 因为，‎ 所以直线和曲线相切.‎ ‎（II）曲线为.‎ 曲线经过伸缩变换 - 23 -‎ 得到曲线的方程为，‎ 则点的参数方程为（为参数），‎ 所以，‎ 所以的取值范围为.‎ ‎23.已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.‎ ‎(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤|x－4|解集包含[1，2]，求a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) {x|x≥4或x≤1}；(2) [－3，0].‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围 试题解析：（1）当a＝－3时，f（x）＝‎ 当x≤2时，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；‎ 当2＜x＜3时，f（x）≥3无解；‎ 当x≥3时，由f（x）≥3得2x－5≥3，解得x≥4.‎ 所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}． 6分 ‎（2）f（x）≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|.‎ 当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|（4－x）－（2－x）≥|x＋a|‎ ‎－2－a≤x≤2－a，‎ 由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，‎ 故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．‎ 考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数 - 23 -‎ - 23 -‎