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- 2021-06-24 发布
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2020年上海中学高考数学模拟试卷(4月份)
一、填空题
1.已知实数集合的最大元素等于该集合的所有元素之和,则__________.
【答案】-3
【解析】
【分析】
根据题意求元素的关系.
【详解】解:因为实数集合的最大元素等于该集合的所有元素之和,
所以(无解)或者,
解得:.
故答案为:-3.
【点睛】本题考查集合元素的关系,属于基础题.
2.__________.
【答案】0
【解析】
【分析】
根据分子的有界性,分母的极限性即可求解.
【详解】解:因为,
而时,,
∴.
故答案为:0.
【点睛】本题考查极限的求解,属于基础题目.
3.已知向量,,若,则实数__________.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据题意,求出向量的坐标,进而可得向量与、的模,分析可得
- 23 -
,解可得的值,即可得答案.
【详解】解:根据题意,向量,,
则,
则,,,
若,则有,
解可得:;
故答案为:2.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算和模的计算,考查运算能力.
4.的展开式中的系数为__________.
【答案】-120
【解析】
【分析】
先求得二项式展开式的通项公式,再令的幂指数等于4,求得的值,即可求得含的项的系数.
【详解】解:的展开式的通项公式为,
令,求得,
故展开式中的系数为.
故答案为:-120.
【点睛】本题考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数.
5.设是等差数列的前n项和,若m为大于1的正整数,且,,则__________.
【答案】6
【解析】
【分析】
- 23 -
本题先根据等差中项的性质有,代入题干表达式可得到关于的方程,解出的值,然后根据等差数列的求和公式转化计算,再次利用等差中项的性质,代入的值,即可计算出的值.
【详解】解:依题意,,
由,可得
,
整理,得,
解得:.
,
∵,∴,
解得:.
故答案为:6
【点睛】本题考查等差中项的应用和等差数列的求和公式的应用,考查了转化与化归思想和数学运算能力.
6.若A、B、C、D、E五位同学站成一排照相,则A、B两位同学不相邻的概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
基本事件总数,A、B两位同学不相邻包含的基本事件个数,由此能求出A、B两位同学不相邻的概率.
【详解】解:A、B、C、D、E五位同学站成一排照相,
基本事件总数,
A、B两位同学不相邻包含的基本事件个数,
- 23 -
∴A、B两位同学不相邻的概率为.
故答案为:.
【点睛】本题考查概率的求法,运用了排列组合和利用捆绑法解决不相邻问题,考查运算求解能力.
7.不等式的解集为__________.
【答案】,
【解析】
【分析】
利用二倍角的余弦函数公式化简可得,进而根据余弦函数的图象和性质即可求解.
【详解】解:∵,
∴,可得,,
解得,,
∴不等式的解集为
,,
故答案为:,.
【点睛】本题考查了二倍角的余弦函数公式,余弦函数的图象和性质的综合应用,考查了函数思想.
8.对于任意满足不等式实数x、y,都能使得不等式组成立,则m的最大值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意,再结合半径最大的圆
- 23 -
应与直线相切,求出半径的最大值,即可求出结论.
【详解】解:由题意可知,不等式组表示的可行域如图:
以为圆心的圆在不等式组所表示的区域内,
半径最大的圆应与直线相切,
圆心到的距离为:,
圆心到的距离为:,
由于,
∴符合题意的最大的圆为:,
∴的最大值是:.
故答案为:.
【点睛】本题考查了简单线性规划,涉及直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式的应用,考查转化思想和计算能力.
9.半径为2的球面上有四点,且两两垂直,则,与面积之和的最大值为______.
【答案】8
【解析】
- 23 -
【分析】
AB,AC,AD为球的内接长方体的一个角,故,计算三个三角形的面积之和,利用基本不等式求最大值.
【详解】如图所示,将四面体置于一个长方体模型中,则该长方体外接球的半径为2.
不妨设,,,则有,即.
记.
从而有,即,从而.
当且仅当,即该长方体为正方体时等号成立.从而最大值为8.
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值问题,考查了学生解决交汇性问题的能力.解答关键是利用构造法求球的直径.
10.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,,则的面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知利用正弦定理,二倍角的正弦函数公式可求的值,根据同角三角函数基本关系式可求的值,利用二倍角公式可求,的值,根据两角和的正弦函数公式可求的值,即可利用三角形的面积公式计算得解.
【详解】,,,
由正弦定理,可得:,可得:,
- 23 -
可得:,可得:,
可得:,,
,
.
故答案为.
【点睛】本题主要考查了正弦定理,同角三角函数基本关系式,二倍角公式,两角和的正弦函数公式,三角形的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
11.已知x、y都是正数,则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用换元法结合二次函数,基本不等式即可求解最小值.
【详解】解:令,那么
- 23 -
当且仅当时取等号,
所以的最小值为.
故答案为:.
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用,考查分析运算能力.
12.设,方程有四个不相等的实根,则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
不防令,由题意的图象是关于对称的,可得.助于的图象可以得到,之间的关系,最终将表示成的函数,再借助于换元法最终将问题转化为二次函数的最值问题.
【详解】解:∵时,,
∴在与上的图象关于对称,
作出图象如下:不防令,
可得,,∴.
∴,,,
∴
,,
- 23 -
令,
则原式化为:,,
其对称轴,开口向上,故在递增,
∴,
∴的取值范围是.
故答案为:.
【点睛】本题考查利用函数图象研究函数零点的问题,以及构造函数求值域的方法,体现了对数形结合、函数思想以及运算能力的考查.
二、选择题
13.若复数为纯虚数,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
结合复数的四则运算及纯虚数的概念,可求出答案.
【详解】.
复数为纯虚数,得解得.
- 23 -
故选:D.
【点睛】本题考查复数的运算、纯虚数的概念,考查运算求解能力以及函数与方程思想,属于基础题..
14.“”是“”的( ).
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
判断两个命题:和的真假即可得.
【详解】由于,且,得到,故充分性不成立;当时,,故必要性成立.
故选:B.
【点睛】本题考查充分必要条件的判断,解题方法是根据充分必要条件的定义.即判断两个命题和的真假.
15.如图所示程序框图中,输出的为 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
- 23 -
【解析】
【详解】执行循环得:
,选C.
16.如图,已知为抛物线的焦点,点,在该抛物线上且位于轴的两侧,(其中为坐标原点),则与面积之差的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
设直线的方程为,
由消去x整理得,
显然,
设,
则,
∴,
由题意得,即,
解得或(舍去).
∴直线与x轴的交点为
∴
- 23 -
,当且仅当,即时等号成立.
故与面积之差的最小值是.选C.
点睛:
(1)设直线方程时,当直线斜率是否存在不知道时,为了避免讨论,可将直线方程设为的形式,其中当时表示斜率不存在的情形.
(2)解析几何中求最值时,可将所需求最值的量用某一参数表达出来,然后根据目标函数的形式借助函数的知识或基本不等式求得最值.若用基本不等式求最值,不要忘了等号成立的条件.
三、解答题
17.如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=,∠BAD=90°.
(Ⅰ)求证:AD⊥BC;
(Ⅱ)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;
(Ⅲ)求直线CD与平面ABD所成角正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】
分析:(Ⅰ)由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面ABC,则AD⊥BC.
(Ⅱ)取棱AC的中点N,连接MN,ND.由几何关系可知∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.计算可得.则异面直线BC与MD所成角的余弦值为.
- 23 -
(Ⅲ)连接CM.由题意可知CM⊥平面ABD.则∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.计算可得.即直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.
详解:(Ⅰ)证明:由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.
(Ⅱ)取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M为棱AB的中点,故MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.
在Rt△DAM中,AM=1,故DM=.因为AD⊥平面ABC,故AD⊥AC.
在Rt△DAN中,AN=1,故DN=.
在等腰三角形DMN中,MN=1,可得.
所以,异面直线BC与MD所成角的余弦值为.
(Ⅲ)连接CM.因为△ABC为等边三角形,M为边AB的中点,故CM⊥AB,CM=.又因为平面ABC⊥平面ABD,而CM平面ABC,故CM⊥平面ABD.所以,∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.
在Rt△CAD中,CD==4.
在Rt△CMD中,.
所以,直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.
点睛:本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.
18.王老师在做折纸游戏,现有一张边长为1的正三角形纸片ABC,将点A翻折后恰好落在边BC
- 23 -
上的点F处,折痕为DE,设,.
(1)求x、y满足的关系式;
(2)求x的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)连接,由翻折的特点可得垂直平分,则,在中,运用余弦定理可得,的关系式;
(2)由(1)的关系式,解得关于的式子,换元后,运用基本不等式可得所求范围,注意等号成立的条件.
【详解】解:(1)如图连接,由点翻折后恰好落在边上的点处,
折痕为,可得垂直平分,则,
由等边三角形边长为1,且,
可得,,
在中,,
由余弦定理可得:
即,
化简可得:,
即x、y满足的关系式为:;
(2)由(1)可得,
解得:,
- 23 -
设,由,可得:,
则,
,
当且仅当,即,等号成立,
则x的取值范围是:.
【点睛】本题考查平面几何的翻折问题,考查解三角形的余弦定理,以及变量的取值范围的求法,注意运用换元法和基本不等式,考查运算能力.
19.已知是等差数列,,,数列满足,,且是等比数列.
(1)求数列和的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.
【答案】(1),(2)
【解析】
【分析】
(1)由已知可求得等差数列的公差,得到数列的通项公式,再由是等比数列,求得公比,从而求数列和的通项公式;
(2)化简,分类讨论后利用数列的分组求和以确定数列 的前n项和.
- 23 -
【详解】解:(1)∵是等差数列,,,
∴,
∴,
∵是等比数列,
且,,
∴,
∴,
∴;
(2),
①当为奇数时,
,
②当为偶数时,
.
综上所述,
- 23 -
.
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的应用,同时考查了数列的通项公式和前项和的求法及分类讨论的思想应用.
20.已知椭圆的长轴长是焦距的2倍,且过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设为椭圆C上的动点,F为椭圆C的右焦点,A、B分别为椭圆C的左、右顶点,点满足.
①证明:为定值;
②设Q是直线上的动点,直线AQ、BQ分别另交椭圆C于M、N两点,求的最小值.
【答案】(1)(2)①见解析②3
【解析】
【分析】
(1)由题意可得又过一点,及,,之间的关系求出,,进而求出椭圆的方程;
(2)①由(1)可得右焦点,,的坐标,求出向量的模,及向量的模可证得为定值;
②由题意方程可得为右准线,设的坐标,求出直线,的直线与椭圆联立求出
- 23 -
,的横坐标,再由椭圆的性质到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率可得用,的横坐标表示,由均值不等式可得其最小值.
【详解】解:(1)由题意可得,,,
解得:,,
所以椭圆方程为:;
(2)由(1)可得,,,
①因为为椭圆C上的动点,
点满足,所以;
所以
,
所以:,
所以可证为定值2.
- 23 -
②由题意设,所以,
所以直线的方程为:,
联立直线与椭圆的方程:
整理可得:,
所以,所以,
同理,所以直线的方程:,
整理可得:,
所以,所以,
因为为右准线,
所以由到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率,
可得:
,
- 23 -
当且仅当,即时取等号.
所以的最小值为3.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法,涉及椭圆的简单几何性质的应用和直线与椭圆的综合,以及向量的模的求法,考查解题运算能力.
21.若函数对任意的,均有,则称函数具有性质.
(1)判断下面两个函数是否具有性质,并说明理由.①;②.
(2)若函数具有性质,且,求证:对任意有;
(3)在(2)的条件下,是否对任意均有.若成立给出证明,若不成立给出反例.
【答案】(1)①具有性质;②不具有性质,见解析;(2)见解析(3)不成立,见解析
【解析】
【分析】
(1)①根据已知中函数的解析式,结合指数的运算性质,计算出的表达式,进而根据基本不等式,判断其符号即可得到结论;②由,举出当时,不满足,即可得到结论;
(2)由于本题是任意性的证明,从下面证明比较困难,故可以采用反证法进行证明,即假设为中第一个大于0的值,由此推理得到矛盾,进而假设不成立,原命题为真;
(3)由(2)中的结论,我们可以举出反例,如,证明对任意均有不成立.
- 23 -
【详解】证明:(1)①函数具有性质,
,
因为,,
即,
此函数为具有性质;
②函数不具有性质,
例如,当时,
,,
所以,,
此函数不具有性质.
(2)假设为中第一个大于0的值,
则,
因为函数具有性质,
所以,对于任意,
均有,
所以,
所以,
与矛盾,
所以,对任意的有.
(3)不成立.
例如,
证明:当x为有理数时,,均为有理数,
- 23 -
,
当x为无理数时,,均为无理数,
所以,函数对任意的,
均有,
即函数具有性质.
而当且当x为无理数时,.
所以,在(2)的条件下,
“对任意均有”不成立.
如,,
等.
【点睛】本题考查了函数的新定义及其应用,涉及指数函数和幂函数的性质,反证法,其中在证明全称命题为假命题时,举出反例是最有效,快捷,准确的方法.
- 23 -
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