• 1.69 MB
  • 2021-06-24 发布

上海市上海中学2020届高三下学期高考模拟考试(4月)数学试题 Word版含解析

  • 23页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
www.ks5u.com ‎2020年上海中学高考数学模拟试卷(4月份)‎ 一、填空题 ‎1.已知实数集合的最大元素等于该集合的所有元素之和,则__________.‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求元素的关系.‎ ‎【详解】解:因为实数集合的最大元素等于该集合的所有元素之和,‎ 所以(无解)或者,‎ 解得:.‎ 故答案为:-3.‎ ‎【点睛】本题考查集合元素的关系,属于基础题.‎ ‎2.__________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分子的有界性,分母的极限性即可求解.‎ ‎【详解】解:因为,‎ 而时,,‎ ‎∴.‎ 故答案为:0.‎ ‎【点睛】本题考查极限的求解,属于基础题目.‎ ‎3.已知向量,,若,则实数__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,求出向量的坐标,进而可得向量与、的模,分析可得 - 23 -‎ ‎,解可得的值,即可得答案.‎ ‎【详解】解:根据题意,向量,,‎ 则,‎ 则,,,‎ 若,则有,‎ 解可得:;‎ 故答案为:2.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的坐标运算和模的计算,考查运算能力.‎ ‎4.的展开式中的系数为__________.‎ ‎【答案】-120‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得二项式展开式的通项公式,再令的幂指数等于4,求得的值,即可求得含的项的系数.‎ ‎【详解】解:的展开式的通项公式为,‎ 令,求得,‎ 故展开式中的系数为.‎ 故答案为:-120.‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数.‎ ‎5.设是等差数列的前n项和,若m为大于1的正整数,且,,则__________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ 本题先根据等差中项的性质有,代入题干表达式可得到关于的方程,解出的值,然后根据等差数列的求和公式转化计算,再次利用等差中项的性质,代入的值,即可计算出的值.‎ ‎【详解】解:依题意,,‎ 由,可得 ‎,‎ 整理,得,‎ 解得:.‎ ‎,‎ ‎∵,∴,‎ 解得:.‎ 故答案为:6‎ ‎【点睛】本题考查等差中项的应用和等差数列的求和公式的应用,考查了转化与化归思想和数学运算能力.‎ ‎6.若A、B、C、D、E五位同学站成一排照相,则A、B两位同学不相邻的概率为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 基本事件总数,A、B两位同学不相邻包含的基本事件个数,由此能求出A、B两位同学不相邻的概率.‎ ‎【详解】解:A、B、C、D、E五位同学站成一排照相,‎ 基本事件总数,‎ A、B两位同学不相邻包含的基本事件个数,‎ - 23 -‎ ‎∴A、B两位同学不相邻的概率为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法,运用了排列组合和利用捆绑法解决不相邻问题,考查运算求解能力.‎ ‎7.不等式的解集为__________.‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角的余弦函数公式化简可得,进而根据余弦函数的图象和性质即可求解.‎ ‎【详解】解:∵,‎ ‎∴,可得,,‎ 解得,,‎ ‎∴不等式的解集为 ‎,,‎ 故答案为:,.‎ ‎【点睛】本题考查了二倍角的余弦函数公式,余弦函数的图象和性质的综合应用,考查了函数思想.‎ ‎8.对于任意满足不等式实数x、y,都能使得不等式组成立,则m的最大值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,再结合半径最大的圆 - 23 -‎ 应与直线相切,求出半径的最大值,即可求出结论.‎ ‎【详解】解:由题意可知,不等式组表示的可行域如图:‎ 以为圆心的圆在不等式组所表示的区域内,‎ 半径最大的圆应与直线相切,‎ 圆心到的距离为:,‎ 圆心到的距离为:,‎ 由于,‎ ‎∴符合题意的最大的圆为:,‎ ‎∴的最大值是:.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了简单线性规划,涉及直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式的应用,考查转化思想和计算能力.‎ ‎9.半径为2的球面上有四点,且两两垂直,则,与面积之和的最大值为______.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ AB,AC,AD为球的内接长方体的一个角,故,计算三个三角形的面积之和,利用基本不等式求最大值.‎ ‎【详解】如图所示,将四面体置于一个长方体模型中,则该长方体外接球的半径为2.‎ 不妨设,,,则有,即.‎ 记.‎ 从而有,即,从而.‎ 当且仅当,即该长方体为正方体时等号成立.从而最大值为8.‎ ‎【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值问题,考查了学生解决交汇性问题的能力.解答关键是利用构造法求球的直径.‎ ‎10.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,,则的面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用正弦定理,二倍角的正弦函数公式可求的值,根据同角三角函数基本关系式可求的值,利用二倍角公式可求,的值,根据两角和的正弦函数公式可求的值,即可利用三角形的面积公式计算得解.‎ ‎【详解】,,,‎ 由正弦定理,可得:,可得:,‎ - 23 -‎ 可得:,可得:,‎ 可得:,,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理,同角三角函数基本关系式,二倍角公式,两角和的正弦函数公式,三角形的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ ‎11.已知x、y都是正数,则的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法结合二次函数,基本不等式即可求解最小值.‎ ‎【详解】解:令,那么 - 23 -‎ 当且仅当时取等号,‎ 所以的最小值为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用,考查分析运算能力.‎ ‎12.设,方程有四个不相等的实根,则的取值范围为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不防令,由题意的图象是关于对称的,可得.助于的图象可以得到,之间的关系,最终将表示成的函数,再借助于换元法最终将问题转化为二次函数的最值问题.‎ ‎【详解】解:∵时,,‎ ‎∴在与上的图象关于对称,‎ 作出图象如下:不防令,‎ 可得,,∴.‎ ‎∴,,,‎ ‎∴‎ ‎,,‎ - 23 -‎ 令,‎ 则原式化为:,,‎ 其对称轴,开口向上,故在递增,‎ ‎∴,‎ ‎∴的取值范围是.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数图象研究函数零点的问题,以及构造函数求值域的方法,体现了对数形结合、函数思想以及运算能力的考查.‎ 二、选择题 ‎13.若复数为纯虚数,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合复数的四则运算及纯虚数的概念,可求出答案.‎ ‎【详解】.‎ 复数为纯虚数,得解得.‎ - 23 -‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查复数的运算、纯虚数的概念,考查运算求解能力以及函数与方程思想,属于基础题..‎ ‎14.“”是“”的( ).‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断两个命题:和的真假即可得.‎ ‎【详解】由于,且,得到,故充分性不成立;当时,,故必要性成立.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件的判断,解题方法是根据充分必要条件的定义.即判断两个命题和的真假.‎ ‎15.如图所示程序框图中,输出的为 ( )‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】执行循环得:‎ ‎,选C.‎ ‎16.如图,已知为抛物线的焦点,点,在该抛物线上且位于轴的两侧,(其中为坐标原点),则与面积之差的最小值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设直线的方程为,‎ 由消去x整理得,‎ 显然,‎ 设,‎ 则,‎ ‎∴,‎ 由题意得,即,‎ 解得或(舍去).‎ ‎∴直线与x轴的交点为 ‎∴‎ - 23 -‎ ‎,当且仅当,即时等号成立.‎ 故与面积之差的最小值是.选C.‎ 点睛:‎ ‎(1)设直线方程时,当直线斜率是否存在不知道时,为了避免讨论,可将直线方程设为的形式,其中当时表示斜率不存在的情形.‎ ‎(2)解析几何中求最值时,可将所需求最值的量用某一参数表达出来,然后根据目标函数的形式借助函数的知识或基本不等式求得最值.若用基本不等式求最值,不要忘了等号成立的条件.‎ 三、解答题 ‎17.如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=,∠BAD=90°.‎ ‎(Ⅰ)求证:AD⊥BC;‎ ‎(Ⅱ)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;‎ ‎(Ⅲ)求直线CD与平面ABD所成角正弦值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ);(Ⅲ).‎ ‎【解析】‎ 分析:(Ⅰ)由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面ABC,则AD⊥BC.‎ ‎(Ⅱ)取棱AC的中点N,连接MN,ND.由几何关系可知∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.计算可得.则异面直线BC与MD所成角的余弦值为.‎ - 23 -‎ ‎(Ⅲ)连接CM.由题意可知CM⊥平面ABD.则∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.计算可得.即直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.‎ 详解:(Ⅰ)证明:由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.‎ ‎(Ⅱ)取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M为棱AB的中点,故MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.‎ 在Rt△DAM中,AM=1,故DM=.因为AD⊥平面ABC,故AD⊥AC.‎ 在Rt△DAN中,AN=1,故DN=.‎ 在等腰三角形DMN中,MN=1,可得.‎ 所以,异面直线BC与MD所成角的余弦值为.‎ ‎(Ⅲ)连接CM.因为△ABC为等边三角形,M为边AB的中点,故CM⊥AB,CM=.又因为平面ABC⊥平面ABD,而CM平面ABC,故CM⊥平面ABD.所以,∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.‎ 在Rt△CAD中,CD==4.‎ 在Rt△CMD中,.‎ 所以,直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.‎ 点睛:本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.‎ ‎18.王老师在做折纸游戏,现有一张边长为1的正三角形纸片ABC,将点A翻折后恰好落在边BC - 23 -‎ 上的点F处,折痕为DE,设,.‎ ‎(1)求x、y满足的关系式;‎ ‎(2)求x的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)连接,由翻折的特点可得垂直平分,则,在中,运用余弦定理可得,的关系式;‎ ‎(2)由(1)的关系式,解得关于的式子,换元后,运用基本不等式可得所求范围,注意等号成立的条件.‎ ‎【详解】解:(1)如图连接,由点翻折后恰好落在边上的点处,‎ 折痕为,可得垂直平分,则,‎ 由等边三角形边长为1,且,‎ 可得,,‎ 在中,,‎ 由余弦定理可得:‎ 即,‎ 化简可得:,‎ 即x、y满足的关系式为:;‎ ‎(2)由(1)可得,‎ 解得:,‎ - 23 -‎ 设,由,可得:,‎ 则,‎ ‎,‎ 当且仅当,即,等号成立,‎ 则x的取值范围是:.‎ ‎【点睛】本题考查平面几何的翻折问题,考查解三角形的余弦定理,以及变量的取值范围的求法,注意运用换元法和基本不等式,考查运算能力.‎ ‎19.已知是等差数列,,,数列满足,,且是等比数列.‎ ‎(1)求数列和的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前n项和.‎ ‎【答案】(1),(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知可求得等差数列的公差,得到数列的通项公式,再由是等比数列,求得公比,从而求数列和的通项公式;‎ ‎(2)化简,分类讨论后利用数列的分组求和以确定数列 的前n项和.‎ - 23 -‎ ‎【详解】解:(1)∵是等差数列,,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵是等比数列,‎ 且,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴;‎ ‎(2),‎ ‎①当为奇数时,‎ ‎,‎ ‎②当为偶数时,‎ ‎.‎ 综上所述,‎ - 23 -‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的应用,同时考查了数列的通项公式和前项和的求法及分类讨论的思想应用.‎ ‎20.已知椭圆的长轴长是焦距的2倍,且过点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设为椭圆C上的动点,F为椭圆C的右焦点,A、B分别为椭圆C的左、右顶点,点满足.‎ ‎①证明:为定值;‎ ‎②设Q是直线上的动点,直线AQ、BQ分别另交椭圆C于M、N两点,求的最小值.‎ ‎【答案】(1)(2)①见解析②3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意可得又过一点,及,,之间的关系求出,,进而求出椭圆的方程;‎ ‎(2)①由(1)可得右焦点,,的坐标,求出向量的模,及向量的模可证得为定值;‎ ‎②由题意方程可得为右准线,设的坐标,求出直线,的直线与椭圆联立求出 - 23 -‎ ‎,的横坐标,再由椭圆的性质到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率可得用,的横坐标表示,由均值不等式可得其最小值.‎ ‎【详解】解:(1)由题意可得,,,‎ 解得:,,‎ 所以椭圆方程为:;‎ ‎(2)由(1)可得,,,‎ ‎①因为为椭圆C上的动点,‎ 点满足,所以;‎ 所以 ‎,‎ 所以:,‎ 所以可证为定值2.‎ - 23 -‎ ‎②由题意设,所以,‎ 所以直线的方程为:,‎ 联立直线与椭圆的方程:‎ 整理可得:,‎ 所以,所以,‎ 同理,所以直线的方程:,‎ 整理可得:,‎ 所以,所以,‎ 因为为右准线,‎ 所以由到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率,‎ 可得:‎ ‎,‎ - 23 -‎ 当且仅当,即时取等号.‎ 所以的最小值为3.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法,涉及椭圆的简单几何性质的应用和直线与椭圆的综合,以及向量的模的求法,考查解题运算能力.‎ ‎21.若函数对任意的,均有,则称函数具有性质.‎ ‎(1)判断下面两个函数是否具有性质,并说明理由.①;②.‎ ‎(2)若函数具有性质,且,求证:对任意有;‎ ‎(3)在(2)的条件下,是否对任意均有.若成立给出证明,若不成立给出反例.‎ ‎【答案】(1)①具有性质;②不具有性质,见解析;(2)见解析(3)不成立,见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)①根据已知中函数的解析式,结合指数的运算性质,计算出的表达式,进而根据基本不等式,判断其符号即可得到结论;②由,举出当时,不满足,即可得到结论;‎ ‎(2)由于本题是任意性的证明,从下面证明比较困难,故可以采用反证法进行证明,即假设为中第一个大于0的值,由此推理得到矛盾,进而假设不成立,原命题为真;‎ ‎(3)由(2)中的结论,我们可以举出反例,如,证明对任意均有不成立.‎ - 23 -‎ ‎【详解】证明:(1)①函数具有性质,‎ ‎,‎ 因为,,‎ 即,‎ 此函数为具有性质;‎ ‎②函数不具有性质,‎ 例如,当时,‎ ‎,,‎ 所以,,‎ 此函数不具有性质.‎ ‎(2)假设为中第一个大于0的值,‎ 则,‎ 因为函数具有性质,‎ 所以,对于任意,‎ 均有,‎ 所以,‎ 所以,‎ 与矛盾,‎ 所以,对任意的有.‎ ‎(3)不成立.‎ 例如,‎ 证明:当x为有理数时,,均为有理数,‎ - 23 -‎ ‎,‎ 当x为无理数时,,均为无理数,‎ 所以,函数对任意的,‎ 均有,‎ 即函数具有性质.‎ 而当且当x为无理数时,.‎ 所以,在(2)的条件下,‎ ‎“对任意均有”不成立.‎ 如,,‎ 等.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的新定义及其应用,涉及指数函数和幂函数的性质,反证法,其中在证明全称命题为假命题时,举出反例是最有效,快捷,准确的方法.‎ - 23 -‎ - 23 -‎