高考数学5年高考真题精选与最新模拟专题17几何证明选讲理 26页

【备战 2013】高考数学 5 年高考真题精选与最新模拟 专题 17 几何证明选讲 理 【2012 高考真题精选】 （2012·辽宁卷） 如图 1－8，⊙O 和⊙O′相交于 A，B 两点，过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C，D 两点，连结 DB 并延 长交⊙O 于点 E.证明： (1)AC·BD＝AD·AB； (2)AC＝AE. （2012·江苏卷]如图 1－7，AB 是圆 O 的直径，D，E 为圆 O 上位于 AB 异侧的两点，连结 BD 并延长至点 C， 使 BD＝DC，连结 AC，AE，DE. 求证：∠E＝∠C. 图 1－7 【答案】A.证明：如图，连结 OD，因为 BD＝DC，O 为 AB 的中点， （2012·湖北卷]如图 1－6 所示，点 D 在⊙O 的弦 AB 上移动，AB＝4，连结 OD，过点 D 作 OD 的垂线交⊙O 于点 C，则 CD 的最大值为________． （2012·全国卷）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，AE＝BF＝3 7 .动点 P 从 E 出发 沿直线向 F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点 P 第一次碰到 E 时，P 与 正方形的边碰撞的次数为( ) A．16 B．14 C．12 D．10 （2012·北京卷）如图 1－3，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E，则( ) A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·AB C．AD·AB＝CD2 D．CE·EB＝CD2 （2012·广东卷]如图 1－3，圆 O 的半径为 1，A、B、C 是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点 A 作圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P，则 PA＝________. （2012·湖南卷）如图 1－3，过点 P 的直线与⊙O 相交于 A，B 两点．若 PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O 的 半径等于________． （2012·课标全国卷]如图 1－6，D，E 分别为△ABC 边 AB，AC 的中点，直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F，G 两点．若 CF∥AB，证明： (1)CD＝BC； (2)△BCD∽△GBD. （2012·陕西卷]如图 1－5，在圆 O 中，直径 AB 与弦 CD 垂直，垂足为 E，EF⊥DB，垂足为 F，若 AB＝6， AE＝1，则 DF·DB＝________. （2012·天津卷）如图 1－3 所示，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于 点 D.过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E，与 AB 相交于点 F，AF＝3，FB＝1，EF＝3 2 ，则线段 CD 的长为 ________． 图 1－3 【2011 高考真题精选】 （2011·北京卷）如图 1－2，AD，AE，BC 分别与圆 O 切于点 D，E，F，延长 AF 与圆 O 交于另一点 G. 图 1－2 给出下列三个结论： ①AD＋AE＝AB＋BC＋CA； ②AF·AG＝AD·AE； ③△AFB∽△ADG. 其中正确结论的序号是( ) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 图 1－2 （2011·广东卷)如图 1－2，过圆 O 外一点 P 分别作圆的切线和割线交圆于 A，B，且 PB＝7，C 是圆 上一点使得 BC＝5，∠BAC＝∠APB，则 AB＝________. （2011·广东卷)如图 1－3，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2， 图 1－3 E、F 分别为 AD、BC 上点，且 EF＝3，EF∥AB，则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为________． （2011·湖南卷）如图 1－2，A，E 是半圆周上的两个三等分点，直径 BC＝4，AD⊥BC，垂足为 D，BE 与 AD 相交于点 F，则 AF 的长为________． 【答案】 2 3 3 【解析】 连结 AO 与 AB，因为 A，E 是半圆上的三等分点，所以∠ABO＝60°，∠EBO ＝30°. 因为 OA＝OB＝2，所以△ABO 为等边三角形．又因为∠EBO＝30°，∠BAD＝30°，所以 F 为△ABO 的中 心，易得 AF＝2 3 3 . （2011·辽宁卷）选修 4－1：几何证明选讲 图 1－11 如图 1－11，A，B，C，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点，EC＝ED. (1)证明：CD∥AB； (2)延长 CD 到 F，延长 DC 到 G，使得 EF＝EG，证明：A，B，G，F 四点共圆． （2011·辽宁卷） 如图 1－10，A，B，C，D 四点在同一圆上，AD 的延长线 图 1－10 与 BC 的延长线交于 E 点，且 EC＝ED. (1)证明：CD∥AB； (2)延长 CD 到 F，延长 DC 到 G，使得 EF＝EG，证明：A，B，G，F 四点共圆． （2011·课标全国卷）如图 1－10，D，E 分别为△ABC 的边 AB，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合． 图 1－10 已知 AE 的长为 m，AC 的长为 n，AD，AB 的长是关于 x 的方程 x2－14x＋mn＝0 的两个根． (1)证明：C，B，D，E 四点共圆； (2)若∠A＝90°，且 m＝4，n＝6，求 C，B，D，E 所在圆的半径． 图 1－11 【解答】 (1)证明：连结 DE，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD×AB＝mn＝AE×AC， (几何证明选做题)如图 1－5，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且 AB＝6，AC＝4，AD＝12，则 BE＝________. 【答案】4 2 【解析】 在 Rt△ADC 中，CD＝8 2；在 Rt△ADC 与 Rt△ABE 中，∠B＝∠D，所以 △ADC∽△ABE，故AB AD ＝BE CD ，BE＝AB AD ×CD＝4 2. 【2010 高考真题精选】 1．(2010 年高考天津卷理科 14)如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 A B 和 DC 相交于 点 P。若 1 2 PB PA  ， 1 3 PC PD  ，则 BC AD 的值为 。 【答案】 6 6 【解析】因为 ABCD 四点共圆，所以∠ DAB  ∠PCB， ∠CDA=∠PBC，因为∠P 为公共角，所以 PBC ∽ PAB ，所以 PB PD  PC PA  BC AD ，设 PC=x，PB=y，则有 3 2 x y y x  ，即 6 2 yx  ，所以 BC AD = 3 x y  6 6 。 2. (2010 年高考湖南卷理科 10)如图 1 所示，过 O 外一点 P 作一条直线与 O 交于 A，B 两点，已 知 PA＝2，点 P 到 O 的切线长 PT ＝4，则弦 AB 的长为________. 3．（2010 年高考广东卷理科 14）（几何证明选讲选做题）如图 3，AB，CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦，它们相交于 AB 的中点 P，PD= 2 3 a ，∠OAP=30°， 则 CP＝______. 【答案】 9 8 a 【解析】因为点 P 是 AB 的中点，由垂径定理知， OP AB . 在 Rt OPA 中， 3cos30 2BP AP a a   .由相交线定理知， BP AP CP DP   ，即 3 3 2 2 2 3a a CP a   ，所以 9 8CP a ． 4．（2010 年高考陕西卷理科 15）(几何 证明选做题)如图,已知 ABCRt 的两条直角边 BCAC, 的长 分别为 cmcm 4,3 ,以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D ,则 __________ DA BD . 【解析】（方法一）∵易知 543 22 AB ，又由切割线定理得 ABBDBC 2 ， ∴ 5 16542  BDBD . 于是， 5 9 5 165  BDABDA .故所求 9 16 9 5 5 16  DA BD . （方法二）连 CD ，∵易知 CD 是 ABCRt 斜边上的高，∴由射影定理得 ABBDBC 2 ， ABDAAC 2 .故所求 9 16 3 4 2 2 2 2   AC BC ABDA ABBD DA BD . 5．（2010 年高考北京卷理科 12）如图，O 的弦 ED，CB 的延长线交于点 A。若 BD  AE，AB＝4, BC＝2, AD＝3,则 DE＝ ；CE＝ 。 6．（2010 年高考江苏卷试题 21）选修 4-1：几何证明选讲 AB 是圆 O 的直径，D 为圆 O 上一点，过 D 作圆 O 的切线交 AB 延长线于点 C，若 DA=DC，求证：AB=2BC。 A B C D O B O C A D 【解析】 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。 （方法一）证明：连结 OD，则：OD⊥DC， 又 OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO， ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO， 所以∠DCO=300，∠DOC=600， 所以 OC=2OD，即 OB=BC=OD=OA，所以 AB=2BC。 （方法二）证明：连结 OD、BD。 因为 AB 是圆 O 的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB。 因为 DC 是圆 O 的切线，所以∠CDO=900。 又因为 DA=DC，所以∠DAC=∠DCA， 于是△ADB≌△CDO，从而 AB=CO。 即 2OB=OB+BC，得 OB=BC。 故 AB=2BC。 7. (2010 年全国高考宁夏卷 22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，已经圆上的弧 ，过 C 点的圆切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明： （Ⅰ）∠ACE=∠BCD； （Ⅱ）BC2=BF×CD。 【2009 年高考真题精选】 1．（2009 广东几何证明选讲选做题 15）如图 4，点 A，B，C 是圆 O 上的点，且  45,4 ACBAB ， 则圆 O 的面积等于 . 【解析】解法一：连结 OA 、OB ，则 090AOB ，∵ 4AB ， OBOA  ，∴ 22OA ，则  8)22( 2 圆S ；解法二： 2224 45sin 42 0  RR ，则  8)22( 2 圆S . 2.（2009 海南宁夏 22）如图，已知 ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H，  60B ，F 在 AC 上，且 AE=AF。 （I）证明：B，D，H，E 四点共圆； （Ⅱ）证明： .DEFCE 平分 3．（2009 辽宁 22） 已知△ABC 中，AB=AC，D 是△ABC 外接圆劣弧 AC 的点（不与点 A，C 重合），延长 BD 至 E。 （I）求证：AD 的延长线平分∠CDE； （II）若∠BAC=30°，△ABC 中 BC 边上的高为 32  ，求△ABC 外接圆的面积。 【2008 年高考真题精选】 1．（2008 广东，15）（几何证明选讲选做题）已知 PA 是圆 O 的切线，切点为 A，PA=2，AC 是圆 O 直 径，PC 与圆 O 交于点 B，PB=1，则圆 O 的半径 R= 。 【答案】 3 【解析】作出图如下。 由 切 割 线 定 理 得 PA2=PB·PC ， ∴PC=4， ,32 AC .3 R 故填 .3 3．（2008 江苏，21A，10 分）如图，设△ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线交于点 E， ∠BAC 的平分线与 BC 交于点 D。 求证：ED2=EC·EB。 4．（2008 宁夏、海南，22，10 分）（选修 4—1：几何证明选讲）如图，过圆 O 外一点 M 作它的一条 切线，切点为 A，过 A 点作直线 AP 垂直直线 OM，垂足为 P。 （1）证明：OM·OP=OA2； （2）N 为线段 AP 上一点，直线 NB 垂直直线 ON，且交圆 O 于 B 点。过 B 点的切线交直线 ON 于 K。证明： ∠OKM=90°。 .OK OM OP ON  又∠NOP=∠MOK， 所以△ONP∽△OMK， 故∠OKM=∠OPN=90° 5.（2008 海南宁夏 22）选修 1—4：几何证明选讲 如图 ，过圆 O 外一点 M 作它的一条切线，切点 A，过A点作直线 AP 垂直直线 OM，垂足为 P. （Ⅰ）证明：OM·OP=OA2； （Ⅱ）N 为线段 AP上一点，直线 NB 垂直直线 ON，且交圆 O 于 B 点，过 B 点的切线交直线 ON 于 K.证明： ∠OKM=90° 【最新模拟】 1．如图 1，点 A，B，C 是圆 O 上的点，且 AB＝4，∠ACB＝45°，则圆 O 的半径 R＝________. 图 1 图 2 解析：如图 2 所示，连接 OA、OB， 则∠AOB＝90°， ∵AB＝4，OA＝OB， ∴OA＝2 2，即 R＝2 2. 答案：2 2 图 3 2．如图3，AB、CD 是圆 O 内的两条平行弦，BF∥AC，BF 交 CD 于点 E，交圆 O 于点 F，过 A 点的切线交 DC 的延长线于点 P，若 PC＝ED＝1，PA＝2，则 AC 的长为________． 3．如图 4，已知圆 O 的半径为 3， PAB 和 PCD 为圆 O 的两条割线，且 O 在线段 AB 上，若 PB＝10，PD＝8， 则线段 CD＝________；∠CBD＝________. 图 4 解析：因为 PA＝10－2OA＝4，PC·PD ＝PA·PB＝40，所以 PC＝5，CD＝PD－PC＝3，连接 OC，OD，则 △OCD 为正三角形，所以∠COD＝60°，则∠CBD＝30°. 答案：3 30° 图 5 4．如图 5，△ABC 的外角∠EAC 的平分线 AD 交 BC 的延长线于点 D，若 AB 是△ABC 外接圆的直径，且 ∠EAC＝120°，BC＝6，则线段 AD 的长为________． 解析：因为 AB 为直径，所以∠ACB＝90°，又∠EAC＝120°，所以∠BAC＝60°，又 BC＝6，得 AC＝2 3， 又∠ACD＝90°，∠CAD＝60°，则在 Rt△ACD 中可得 AD＝4 3. 答案：4 3 图 6 5．如图 6，已知点 C 在⊙O 的直径 BE 的延长线上，CA 切⊙O 于点 A，若 AB＝AC，则AC BC ＝________. 6．如图 7，⊙O 与⊙P 相交于 A、B 两点，圆心 P 在⊙O 上，⊙O 的弦 BC 切⊙P 于点 B，CP 及其延长线交⊙P 于 D，E 两点，过点 E 作 EF⊥CE，交 CB 的延长线于点 F.若 CD＝2，CB＝2 2，则由 B、P、E、F 四点所确定 的圆的直径 为________． 则在 Rt△FEP 中，PF＝ PE2＋EF2＝ 3，即由 B、P、E、F 四点确定的圆的直径为 3. 答案： 3 图 8 7．如图 8，圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D，AD＝2，AC＝2 5，则 AB＝________. 8．如图 9 所示，圆的内接三角形 ABC 的角平分线 BD 与 AC 交于点 D，与圆交于点 E，连接 AE，已知 ED＝3， BD＝6，则线段 AE 的长＝________. 9．如图 10，正△ABC 的边长为 2，点 M，N 分别是边 AB，AC 的中点，直线 MN 与△ABC 的外接圆的交点为 P， Q，则线段 PM＝________. 解析：设 PM＝x，则 QN＝x，由相交弦定理可得 PM·MQ＝BM·MA，即 x·(x＋1)＝1，解得 x＝ 5－1 2 . 答案： 5－1 2 10．如图，A，B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D 和 E 分别是 CA 和 CB 的延长线与大圆的交点，已 知 AC＝4，BE＝10，且 BC＝AD，则 DE＝________. 11．如图，过圆外一点 P 作⊙O 的割线 PBA 与切线 PE，E 为切点，连接 AE、BE，∠APE 的平分线分别与 AE、 BE 相交于点 C、D，若∠AEB＝30°，则∠PCE＝________. 解析：由切割线性质得：PE2＝PB·PA，即PE PA ＝PB PE ， ∴△PBE∽△PEA，∴∠PEB＝∠PAE，又△PEA 的内角和为 2(∠CPA＋∠PAE)＋30°＝180°，所以∠CPA ＋∠PAE＝75°，即∠PCE＝75°. 答案：75° 12.如图，在直角梯形 ABCD 中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝a 2 ，点 E，F 分别为线段 AB，AD 的 中点，则 EF＝________. 13．如图，已知△ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H，∠B＝60°，F 在 AC 上，且 AE＝AF. (1)求证：B，D，H，E 四点共圆； (2)求证：CE 平分∠DEF. (2)连接 BH，则 BH 为∠ABC 的平分线，所以∠HBD＝30°.由(1)知 B，D，H，E 四点共圆， 所以∠CED＝∠HBD＝30°. 又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得 EF⊥AD， 可得∠CEF＝30°， 所以 CE 平分∠DEF. 14．如图所示，⊙O 为△ABC 的外接圆，且 AB＝AC，过点 A 的直线交⊙O 于 D，交 BC 的延长线于 F，DE 是 BD 的延长线，连接 CD. (1)求证：∠EDF＝∠CDF； (2)求证：AB2＝AF·AD. 15．如图，A，B，C，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点，且 EC＝ED. (1)证明：CD∥AB； (2)延长 CD 到 F，延长 DC 到 G，使得 EF＝EG，证明：A，B，G，F 四点共圆． 证明：(1)因为 EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD. 因为 A，B，C，D 四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA， 故∠ECD＝∠EBA. 所以 CD∥AB. (2)由(1)知，AE＝BE，因为 EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC， 从而∠FED＝∠GEC. 连接 AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE. 又 CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA， 所以∠AFG＋∠GBA＝180°， 故 A，B，G，F 四点共圆． 16．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，G 为 AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点 G 作 AB 的垂线， 交直线 AC 于点 E，交 AD 于点 F，过 G 作⊙O 的切线，切点为 H.求证： 即 GC·GD＝GE·GF.∵GH 为圆的切线，GCD 为割线， ∴GH2＝GC·GD，∴GH2＝GE·GF. 17.已知四边形 PQRS 是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点 Q 作 PR、PS 的垂线，垂足分别为点 H、K. (1)求证：Q、H、K、P 四点共圆； (2)求证：QT＝TS. 证明：(1)∵∠PHQ＝∠PKQ＝90°， ∴Q、H、K、P 四点共圆． (2)∵Q、H、K、P 四点共圆，∴∠HKS＝∠HQP， ① ∵∠PSR＝90°，∴PR 为圆的直径， ∴∠PQR＝90°，∠QRH＝∠HQP， ② 而∠QSP＝∠QRH， ③ 由①②③得，∠QSP＝∠HKS，TS＝TK， 又∠SKQ＝90°，∵∠SQK＝∠TKQ，∴QT＝TK，∴QT＝TS. 18．如图，已知 AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交 BC 的延长线于点 D，延长 DA 交△ABC 的外接圆 于点 F，连接 FB、FC. (1)求证：FB＝FC； (2)求证：FB2＝FA·FD； (3)若 AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求 AD 的长．