高中数学第三章不等式3_5二元一次不等式组与简单的线性规划问题3_5_2简单线性规划课堂探究学案新人教B版必修51 7页

3.5.2 简单线性规划 课堂探究 一、图解法求最值的实质 剖析：设目标函数为 z＝Ax＋By＋C(AB≠0)，由 z＝Ax＋By＋C 得 y＝－A B x＋z－C B ．这样， 二元一次函数就可以视为斜率为－A B ，在 y 轴上截距为z－C B ，且随 z 变化的一组平行线．于 是，把求 z 的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在 y 轴上的截距 的最大值和最小值的问题．当 B>0 时，z 的值随着直线在 y 轴上的截距的增大而增大；当 B<0 时，z 的值随着直线在 y 轴上的截距的增大而减小． 名师点拔 (1)如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或 最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点． (2)由于最优解是通过图形来观察的，故作图要准确，否则观察的结果可能有误． 二、常见的线性规划问题类型 剖析：(1)线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用： 一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务； 二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成 该项任务． (2)线性规划问题的常见类型有： ①物资调运问题 例如已知 A1，A2 两煤矿每年的产量，煤需经 B1，B2 两个车站运往外地，B1，B2 两车站的 运输能力是有限的，且已知 A1，A2 两煤矿运往 B1，B2 两车站的运输价格，煤矿应怎样编制调 运方案，能使总运费最少？ ②产品安排问题 例如某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品所需 A，B，C 三种 材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限额、每生产一个单位甲种或乙种产品所获利 润额都是已知的，这个厂每月应如何安排产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题 例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢管，怎样下料能使损耗最小？ 题型一 线性目标函数的最值问题 【例 1】 (1)(2013·四川高考，文 8)若变量 x，y 满足约束条件 x＋y≤8， 2y－x≤4， x≥0， y≥0， 且 z ＝5y－x 的最大值为 a，最小值为 b，则 a－b 的值是( ) A．48 B．30 C．24 D．16 解析：画出可行域，如图． 联立 x＋y＝8， 2y－x＝4， 解得 x＝4， y＝4. 即 A 点坐标为(4，4)， 由线性规划可知，zmax＝5×4－4＝16，zmin＝0－8＝－8，即 a＝16，b＝－8， ∴a－b＝24．故选 C． 答案：C (2)(2013·课标全国Ⅱ高考，理 9)已知 a>0，x，y 满足约束条件 x≥1， x＋y≤3， y≥a(x－3). 若 z ＝2x＋y 的最小值为 1，则 a＝( ) A．1 4 B．1 2 C．1 D．2 解析：由题意作出 x≥1， x＋y≤3 所表示的区域如图阴影部分所示， 作直线 2x＋y＝1，因为直线 2x＋y＝1 与直线 x＝1 的交点坐标为(1，－1)，结合题意 知直线 y＝a(x－3)过点(1，－1)，代入得 a＝1 2 ，所以 a＝1 2 ． 答案：B 反思 解决线性目标函数的最值问题一般用图解法，但应注意作图要规范，且要弄清函 数值与截距的内在联系；对于第(2)小题属逆向问题，在解决时也要正向解答． 题型二 非线性目标函数的最值问题 【例 2】 已知 x－y＋2≥0， x＋y－4≥0， 2x－y－5≤0， 求： (1)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值； (2)z＝2y＋1 x＋1 的取值范围． 分析：(1)中 z＝x2＋y2－10y＋25＝(x－0)2＋(y－5)2 的几何意义为平面区域内的点(x， y)到(0，5)的距离的平方；(2)z＝2y＋1 x＋1 ＝2·y－ －1 2 x－(－1) 的几何意义为平面区域内的点(x，y) 与 －1，－1 2 连线斜率的 2 倍．关键是将目标函数进行变形找到几何意义，再利用数形结合 知识求解． 解：作出可行域，如图阴影部分所示． 可求得 A(1，3)，B(3，1)，C(7，9)． (1)z＝x2＋(y－5)2 表示可行域内任一点(x，y)到点 M(0，5)的距离的平方，过 M 作 MN⊥AC 于 N，则|MN|＝ |0－5＋2| 1＋(－1)2 ＝ 3 2 ＝3 2 2 ． 所以|MN|2＝9 2 ，所以 z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值为9 2 ． (2)z＝2·y－ －1 2 x－(－1) 表示可行域内点(x，y)与定点 Q －1，－1 2 连线斜率的 2 倍． ∵kQA＝7 4 ，kQB＝3 8 ，故 z 的取值范围是 3 4 ，7 2 ． 反思 (1)对形如 z＝(x－a)2＋(y－b)2 型的目标函数均可化为求可行域内的点(x，y) 与点(a，b)间的距离的平方的最值问题． (2)对形如 z＝ay＋b cx＋d (ac≠0)型的目标函数，可先变形为 z＝a c · y－ －b a x－ －d c 的形式，将问 题转化为求可行域内的点(x，y)与 －d c ，－b a 连线斜率的a c 倍的范围、最值等，注意斜率不 存在的情况． (3)z＝|Ax＋By＋C|可转化为点(x，y)到直线 Ax＋By＋C＝0 的距离的 A2＋B2倍． 题型三 简单的线性规划问题 【例 3】 某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每 100 g 含蛋白质 6 个单位，含淀 粉 4 个单位，售价 0．5 元，米饭每 100 g 含蛋白质 3 个单位，含淀粉 7 个单位，售价 0．4 元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有 8 个单位的蛋白质和 10 个单位的淀粉，问 应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？ 分析：根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，再用图解法解之．先作 可行域，再作出初始直线 l0，通过向上或向下平移直线 l0 至可行域的边界点，便得最优解， 再进一步求最值． 解：设每盒盒饭需要面食 x(百克)，米饭 y(百克)， 所需费用为 z＝0．5x＋0．4y，且 x，y 满足 6x＋3y≥8， 4x＋7y≥10， x≥0， y≥0， 作出可行域，如下图阴影部分所示． 令 z＝0，作直线 l0：0．5x＋0．4y＝0，即直线 5x＋4y＝0． 由图形可知，把直线 l0 平移至过点 A 时，z 取最小值． 由 6x＋3y＝8， 4x＋7y＝10 得 A 13 15 ，14 15 ． 答：每盒盒饭为面食13 15 百克，米饭14 15 百克时既科学又费用最少． 反思 (1)在线性规划应用问题中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要； (2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断； (3)结合实际问题，分析未知数 x，y 等是否有限制，如 x，y 为正整数、非负数等； (4)分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数 却是一个等式； (5)图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上都是在图上完成的，所以作图应 尽可能的准确，图上操作尽可能规范．但作图中必然会有误差，假如图上的最优点不容易看 出时，需将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以确定最优解． 题型四 最优整数解的问题 【例 4】 (2013·湖北高考，文 9)某旅行社租用 A，B 两种型号的客车安排 900 名客人 旅行，A，B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/ 辆，旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，则租金最少为( ) A．31 200 元 B．36 000 元 C．36 800 元 D．38 400 元 解析：设需 A，B 型车分别为 x，y 辆(x，y∈N)，则 x，y 需满足 36x＋60y≥900， x＋y≤21， y－x≤7， x∈N，y∈N， 设租金为 z，则 z＝1 600x＋2 400y，画出可行域如图，根据线性规划中截距问题，可求得 最优解为 x＝5，y＝12，此时 z 最小等于 36 800，故选 C． 答案：C 反思 如果遇到问题是求最优整数解，可先求出线性规划的最优解，若它是整数解，则 问题解决；若不是，要在该非整数解周围可行域内寻求与之最近的整数解，可通过精确作图， 打好网格的办法求得． 题型五 易错辨析 【例 5】 已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx(a≠0)满足 1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则 f(－ 2)的范围是( ) A．[3，12] B．(3，12) C．(5，10) D．[5，10] 错解：由于 f(－2)＝4a－2b，要求 f(－2)的范围，可先求 a 与 b 的范围．由 f(－1)＝ a－b，f(1)＝a＋b，得 1≤a－b≤2， ① 2≤a＋b≤4. ② 两式相加得3 2 ≤a≤3． 又－2≤b－a≤－1，③ ②式与③式相加得 0≤b≤3 2 ． ∴6≤4a≤12，－3≤－2b≤0． ∴3≤4a－2b≤12． 即 3≤f(－2)≤12． 故选 A． 错因分析：这种解法看似正确，实则使 f(－2)的范围扩大了．事实上，这里 f(－2)最 小值不可能取到 3，最大值也不可能是 12．由上述解题过程可知，当 a＝3 2 且 b＝3 2 时才能使 4a－2b＝3，而此时 a－b＝0，不满足①式．同理可验证 4a－2b 也不能等于 12．出现上述错 误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用 它来作变形，是非同解变形．以上解法为了求 a，b 的范围，多次应用了这一性质，使所求 范围扩大了． 正解：解法一：∵ f(－1)＝a－b， f(1)＝a＋b， ∴ a＝1 2 [f(1)＋f(－1)]， b＝1 2 [f(1)－f(－1)]. ∴f(－2)＝4a－2b＝2[f(1)＋f(－1)]－[f(1)－f(－1)]＝3f(－1)＋f(1)． ∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10，故选 D． 解法二：数形结合法在坐标平面 aOb 上， 作出直线 a＋b＝2，a＋b＝4，a－b＝1，a－b＝2， 则 2≤a＋b≤4， 1≤a－b≤2 表示平面上的阴影部分(包括边界)，如下图阴影部分所示． 令 m＝4a－2b，则 b＝2a－m 2 ． 显然 m 为直线系 4a－2b＝m 在 b 轴上截距 2 倍的相反数． 当直线 b＝2a－m 2 过阴影部分中点 A 3 2 ，1 2 时，m 取最小值 5； 过点 C(3，1)时，m 取最大值 10． ∴f(－2)∈[5，10]，故选 D．