2020_2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2 40页

第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.1 　等式性质与不等式性质 第 1 课时　不等关系与比较大小 必备知识 · 自主学习 导思 1. 用什么来表示实际问题中的不等关系？ 2. 如何比较两个实数的大小？ 1. 不等式与不等关系 (1) 不等式的概念 我们用数学符号“≠”“ >”“<”“≥”“≤” 连接两个数或代数式，以表示 它们之间的 _________. 含有这些不等号的式子叫做不等式 . 不等关系 (2) 不等式中文字语言与符号语言之间的转换 文字 语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于或等于，至少，不低于 小于或等于，至多，不多于，不超过 符号 语言 > < ≥ ≤ (3) 本质：现实世界和日常生活中的不等关系在数量关系上的反映，这种不等关系可以用不等式来表示 . 应用：描述现实世界和日常生活中的不等关系 . 【 思考 】 3≤3 成立吗？ 提示： 成立 . 不等式“ a≤b” 的含义是：或者“ ab ，那么 a-b 是正数，反之亦然 a>b⇔______ 如果 a0 a-b<0 a-b=0 【 思考 】 你能否由比较两个实数大小的依据得出两个实数比较大小的方法？ 提示： 能 . 通过两个实数作差，判断差的正负比较大小 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1) 不等式 a≥b 等价于“ a 不小于 b”. ( 　　 ) (2) 若 x-2≤0 ，则 x<2. ( 　　 ) (3) 两个实数 a ， b 之间，有且只有 a>b ， a=b ， ab 或 a=b ，等价于“ a 不小于 b” ，即若 a>b 或 a=b 中有一个正确，则 a≥b 正确 . (2)×. 若 x-2≤0 ，则 x<2 或者 x=2 ，即 x≤2. (3)√. 任意两数之间，有且只有 a>b ， a=b ， a60 C.v≤60 D.v≥36 【 解析 】 选 C. 限速就是速度不超过，可以直接建立不等式 v≤60. 3.( 教材二次开发：练习改编 ) 已知 x≠2 ，则 x 2 +4 与 4x 的大小关系为 _______.  【 解析 】 x 2 +4-4x=(x-2) 2 ，而 x≠2 ， 所以 (x-2) 2 >0 ，所以 x 2 +4-4x>0 ，所以 x 2 +4>4x. 答案： x 2 +4>4x 关键能力 · 合作学习 类型一　利用不等式 ( 组 ) 表示不等关系 ( 数学抽象、逻辑推理 ) 　角度 1 　利用不等式表示不等关系  【 典例 】 1.2019 年 10 月 5 日 14 时 18 分，京张高铁联调联试正式启动 . 此条线路是 2022 年北京冬奥会的重要交通保障设施，设计最高时速 350 公里 . 用一个数学式子表示高铁时速 v 为 _______.  2. 中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度 v 不小于第一宇宙速度 7.9 km/s ，且小于第二宇宙速度 11.2 km/s. 表示为 _______.  【 思路导引 】 读懂题意，找出不等关系，用不等式表示出来 . 【 解析 】 1.“ 最高”即“不超过”，即小于或等于，故用数学式子表示为： v≤350. 答案： v≤350 2.“ 不小于”即大于或等于，故用不等式表示为： 7.9≤v<11.2. 答案： 7.9≤v<11.2 【 变式探究 】 本例 1 条件若改为：“如图是高速公路上一个最低限速的指示标志，限制行驶时速 v 不得低于 50 千米”，试用不等式表示 . 【 解析 】 “ 不低于”即大于或等于， 故用不等式表示为： v≥50. 角度 2 　利用不等式组表示不等关系  【 典例 】 用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m ，要求菜园的面积不小于 110 m 2 ，靠墙的一边长为 x m. 试用不等式组表示其中的不等关系 . 【 思路导引 】 读懂题意，找出不等关系，用不等式组表示出来 . 【 解析 】 由于矩形菜园靠墙的一边长为 x m ，而墙长为 18 m ，所以 010). 类型二　作差法比较大小 ( 逻辑推理、数学运算 ) 【 典例 】 已知 a≠1 且 a∈R ，试比较 与 1+a 的大小 . 四步 内容 理解 题意 条件： a≠1 ， a∈R 结论：比较 与 1+a 的大小 思路 探求 作差⇒化简⇒判定差的符号⇒确定大小关系 四步 内容 书写 表达 因为 -(1+a)= - = ， ① (1) 当 a=0 时， =0 ，所以 =1+a. (2) 当 a<1 ，且 a≠0 时， >0 ， 所以 >1+a. (3) 当 a>1 时， <0 ，所以 <1+a. 注意分类讨论思想方法的应用： ①当作差化简后的结果不能直接判定符号时，要讨论 . 题后 反思 作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方法是配方或通分，因式分解为积商的形式 . 【 解题策略 】 作差法比较大小的步骤 【 跟踪训练 】 1. 已知 x ， y∈R ， P=2x 2 -xy+1 ， Q=2x- ，试比较 P ， Q 的大小 . 【 解析 】 因为 P-Q=2x 2 -xy+1- =x 2 -xy+ +x 2 -2x+1= +(x-1) 2 ≥0 ， 所以 P≥Q. 2. 已知 a ， b 均为正实数 . 试比较 a 3 +b 3 与 a 2 b+ab 2 的大小 . 【 解析 】 因为 a 3 +b 3 -(a 2 b+ab 2 )=(a 3 -a 2 b)+(b 3 -ab 2 ) =a 2 (a-b)+b 2 (b-a) =(a-b)(a 2 -b 2 )=(a-b) 2 (a+b). 当 a=b 时， a-b=0 ， a 3 +b 3 =a 2 b+ab 2 ； 当 a≠b 时， (a-b) 2 >0 ， a+b>0 ， a 3 +b 3 >a 2 b+ab 2 . 综上所述， a 3 +b 3 ≥a 2 b+ab 2 . 【 拓展延伸 】 中间值法比较大小 　如果所给式子作差后无法因式分解，不能判断差的符号，可尝试中间值法比较大小 . 利用中间值法比较大小的关键在于寻找中间值，通过它们的有界性来寻找中间值作媒介，以达到传递的目的 . 【 拓展训练 】 　已知 x∈R ，试比较 2x 2 -3x+3 与 的大小 . 【 解析 】 因为 2x 2 -3x+3= ≥ >1 ， 2 x +2 -x =( ) 2 +2≥2 ， 所以 ≤ 1 ， 所以 2x 2 -3x+3> . 类型三　比较大小在实际问题中的应用 ( 数学抽象、数学建模 ) 【 典例 】 2019 年 12 月 26 日某单位职工去瞻仰毛泽东纪念馆需包车前往 . 甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的 8 折优惠 .” 这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠 . 【 思路导引 】 先设出变量表示出两车队的车票花费，再通过作差法比较 . 【 解析 】 设该单位职工有 n 人 (n∈N * ) ，全票价为 x 元，坐甲车队的车需花 y 1 元，坐乙车队的车需花 y 2 元 . 由题意，得 y 1 =x+ x·(n-1)= x+ nx ， y 2 = nx. 因为 y 1 -y 2 = x+ nx- nx= x- nx = x ， 当 n=5 时， y 1 =y 2 ； 当 n>5 时， y 1 y 2 . 所以，当单位去的人数为 5 人时，两车队收费相同；多于 5 人时，选甲车队更优惠；少于 5 人时，选乙车队更优惠 . 【 解题策略 】 　现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题 . 【 跟踪训练 】 甲、乙两家饭馆的老板一同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进 100 千克大米，而乙每次用去 100 元钱 . 问：谁的购买方式更合算？ 【 解析 】 设两次大米的价格分别为 a 元 / 千克， b 元 / 千克 (a>0 ， b>0 ， a≠b) ， 则甲两次购买大米的平均价格 ( 元 / 千克 ) 是： 乙两次购买大米的平均价格 ( 元 / 千克 ) 是： 因为 所以 > . 所以乙饭馆的老板购买大米的方式更合算 . 课堂检测 · 素养达标 1. 下列说法正确的是 ( 　　 ) A.x 为非正数可表示为“ x≥0” B. 小华的实际年龄 n 不足 18 岁，表示为“ n≤18” C. 两数 x ， y 的平方和不小于 2 ，表示为“ x 2 +y 2 ≥2” D. 甲数 a 比乙数 b 大，表示为“ a≥b” 【 解析 】 选 C.x 为非正数应表示为“ x≤0” ，小华的实际年龄 n 不足 18 岁应表示为“ n<18” ，甲数 a 比乙数 b 大，应表示为“ a>b” ，故 A ， B ， D 不正确， C 正确 . 2. 某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩 x 不低于 95 分，文化课总分 y 高于 380 分，体育成绩 z 超过 45 分，用不等式组表示就是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 【 解析 】 选 D.“ 不低于”即“≥”，“高于”即“ >” ，“超过”即“ >” ，所以 3. 设 a=3x 2 -x+1 ， b=2x 2 +x ，则 ( 　　 ) A.a>b B.ap 　 (3)16≤t≤18 5.( 教材二次开发：练习改编 ) 比较 (a+3)(a-5) 与 (a+2)(a-4) 的大小为 _______.  【 解析 】 因为 (a+3)(a-5)-(a+2)(a-4) =(a 2 -2a-15)-(a 2 -2a-8)=-7<0. 所以 (a+3)(a-5)<(a+2)(a-4). 答案： (a+3)(a-5)<(a+2)(a-4) 不等关系与 比较大小 利用不等式表示不等关系 比较大小 作差法：通常利用配方法化成完全平方式与 0 比较 作商法：适用于同号的式子作商与 1 比较 比较大小常用方法 （1）利用不等式时，要注意等号能否取到 （ 2 ）利用不等式表示不等关系时要注意实际意义 数学建模： 用不等式 ( 组 ) 表示实际问题， 培养 数学建模的核心素养 逻辑推理： 通过等式性质类比推理得不等式的性质， 培养 逻辑推理的核心素养 方法总结 核心知识 易错提醒 核心素养