上海教育高中数学三上二项式定理 4页

‎“二项式定理（一）”教案 一、教学目标：‎ 使学生掌握二项式定理及其证明(数学归纳法)，培养学生发现和揭示事物内在客观规律能力和逻辑推理能力。通过介绍“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育。‎ 二、教学重、难点：‎ ‎ 重点：二项式定理的推导及证明 ‎ 难点：二项式定理的证明 三、教学过程：‎ ‎ (一)新课引入：‎ 高考资源网高考资源网 ‎ (提问)：若今天是星期一，再过810天后的那一天是星期几？‎ 在初中，我们已经学过了 ‎ (a+b)2=a2+2ab+b2‎ ‎ (a+b)3＝(a+b)2(a+b)＝a3+‎3a2b+3ab2+b3‎ ‎ (提问)：对于(a+b)4，(a+b)5 如何展开?(利用多项式乘法)‎ ‎ (再提问)：(a+b)100又怎么办？ (a+b)n(n∈N+)呢？‎ ‎ 我们知道，事物之间或多或少存在着规律。这节课，我们就来研究(a+b)n的二项展开式的规律性 ‎ (二)新课：‎ ‎(如何着手研究它的规律呢)？采用从特殊到一般（不完全归纳）的方法。‎ 规律：(a+b)1=a+b ‎(a+b)2=(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=a2+2ab+b2 ‎ ‎ (a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+‎3a2b+3ab2+b3‎ ‎ ‎ ‎(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+‎3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+‎4a3b+‎6a2b2+4ab3+b4‎ ‎ 根据以上的归纳，可以想到(a+b)n的展开式的各项是齐次的，它们分别为an, an-1b, an-2b2,…，bn,展开式中各项系数的规律，可以列表：‎ ‎ (a+b)1 1 1‎ ‎ (a+b)2 1 2 1‎ ‎ (a+b)3 1 3 3 1‎ ‎ (a+b)4 1 4 6 4 1‎ ‎ (a+b)5 1 5 10 10 5 1‎ ‎（这表是我国宋代杨辉于1261年首次发现的，称为杨辉三角，比欧洲至少早了三百年。）‎ 如何从组合知识得到(a+b)4展开式中各项的系数 ‎ (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)‎ ‎(1)若每个括号都不取b，只有一种取法得到a4即种 ‎(2)若只有一个括号取b，共有种取法得到a3b ‎(3)若只有两个括号取b，共有种取法得到a2b2‎ ‎(4)若只有三个括号取b，共有种取法得到ab3‎ ‎(5)若每个括号都取b，共有种取法得b4‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎…………‎ ‎∴ (a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn(n∈N+)‎ 以上我们采用不完全归纳法得到，不一定可靠，若要说明正确，须加以证明(数学归纳法)。‎ 证明：(1)当n=1时，左边＝(a+b)1=a+b 右边＝a1+b1=a+b ‎∴ 等式成立 ‎ (2)假设n=k时，等式成立，即(a+b)k=ak+·ak-1b+…+ak-rbr+…·bk 那么当n=k+1时 ‎(分散难点作法)‎ 以 (a+b)4(a+b)与(a+b)k(a+b)进行类比 ‎(a+b)4(a+b)＝(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)(a+b)‎ ‎ =（a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4）+（a4b+a3b2+‎ a2b3+ab4+b5）‎ 由组合数性质知 ＝ ＋＝ ＋＝ ＋＝ ＋＝ ＝‎ 则(a+b)5=a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5‎ ‎(a+b)k+1=(a+b)k·(a+b)=(ak+·ak-1b+…+ak-rbr+…+·bk)(a+b)＝(·ak+1+akb+…+ak-r+1br+…+abk)+(akb+ak-1b2+…+·ak-rbr+1＋…＋·bk+1)‎ ‎ ＝ak+1+(+)akb+…+(+)ak-rbr+1+…+(+)abk+·bk+1‎ 由组合数性质得，= +=，…+=，+=，=‎ ‎∴(a+b)k+1=ak+1+akb1+…+ak-rbr+1+…+abk+bk+1，即等式成立。‎ 根据（1）（2）可知，等式对于任意n∈N+都成立。‎ 一、指出：这个公式叫做二项式定理（板书），它的特点：‎ ‎1．项数：共有(n+1)项 ‎2．系数：依次为，，，…，…，其中(r＝0，1，2，…n)称为二项式系数 ‎ 说明：二项式系数与展开中某一项系数是有区别的。例如：(1＋2x)6展开式中第3项中系数为·22＝60而第三项的二项式系数是＝15。‎ ‎3．指数：an-r·br指数和为n，a的指数依次从n递减到0，b的指数依次从0递增到n。‎ 三、小结：‎ ‎（1）二项式定理(a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn是通过不完全归纳法，并结合组合的概念得到展开式的规律性，然后用数学归纳法加以证明。‎ ‎（2）二项式定理的特点：1．项数 2．系数 3．指数 四、作业：‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ www.ks5u.com