2020_2021学年新教材高中数学第7章三角函数7 8页

‎7.2.3　‎三角函数的诱导公式 第1课时　三角函数的诱导公式(一～四)‎ 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．能借助单位圆中的三角函数定义推导出诱导公式一～四．(难点)‎ ‎2．掌握诱导公式一～四，会运用诱导公式化简、求值与证明．(重点)‎ 通过学习本节内容，提升学生的数学运算核心素养．‎ 结合单位圆，思考：与角α终边相同的角的表示形式是什么？它们的三角函数值之间具有怎样的关系？与角α的终边关于x轴对称的角表示形式是什么？它们的三角函数值之间具有怎样的关系？‎ ‎1．诱导公式(一)‎ 终边相同的角的诱导公式(公式一)：‎ sin(α＋2kπ)＝sin α(k∈Z)；‎ cos(α＋2kπ)＝cos α(k∈Z)；‎ tan(α＋2kπ)＝tan α(k∈Z)．‎ 思考1：终边相同的角的同一三角函数值之间有什么关系？‎ ‎[提示]　相等．‎ ‎2．诱导公式(二)‎ 终边关于x轴对称的角的诱导公式(公式二)：‎ sin(－α)＝－sin α；‎ cos(－α)＝cos α；‎ tan(－α)＝－tan α．‎ 思考2：角－α的终边与单位圆的交点与角α的终边与单位圆的交点有何关系？‎ ‎[提示]　关于x轴对称．‎ ‎3．诱导公式(三)‎ 终边关于y轴对称的角的诱导公式(公式三)：‎ sin(π－α)＝sin α；‎ cos(π－α)＝－cos α；‎ - 8 -‎ tan(π－α)＝－tan α．‎ ‎4．诱导公式(四)‎ 终边关于原点对称的角的诱导公式(公式四)：‎ sin(π＋α)＝－sin α；‎ cos(π＋α)＝－cos α；‎ tan(π＋α)＝tan α．‎ ‎1．(1)sin ＝　　　　；(2)cos＝　　　　；‎ ‎(3)tan＝　　　　．‎ ‎(1)　(2)　(3)1　[(1)sin＝sin ‎＝sin＝．‎ ‎(2)cos＝cos＝cos＝．‎ ‎(3)tan＝tan＝tan＝1．]‎ ‎2．(1)sin＝　　　　；(2)cos 330°＝　　　　；‎ ‎(3)tan 690°＝　　　　．‎ ‎(1)－　(2)　(3)－　[(1)sin＝－sin＝－．‎ ‎(2)cos 330°＝cos(360°－30°)＝cos(－30°)＝cos 30°＝．‎ ‎(3)tan 690°＝tan[2×360°＋(－30°)]‎ ‎＝tan(－30°)‎ ‎＝－tan 30°‎ ‎＝－．]‎ ‎3．(1)sin＝　　　　；(2)cosπ＝　　　　；‎ ‎(3)tan 1 560°＝　　　　．‎ ‎(1)　(2)－　(3)－　[(1)sin＝sin＝sin＝．‎ ‎(2)cos＝cos＝－cos＝－．‎ - 8 -‎ ‎(3)tan 1 560°＝tan(4×360°＋120°)＝tan 120°＝tan(180°－60°)＝－tan 60°＝－．]‎ ‎4．(1)sin 225°＝　　　　；(2)cos＝　　　　；‎ ‎(3)tan ＝　　　　．‎ ‎(1)－　(2)－　(3)　[(1)sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－．‎ ‎(2)cos＝cos＝－cos＝－．‎ ‎(3)tan＝tan ‎＝tan＝tan＝．]‎ 给角求值 ‎【例1】　求下列各三角函数式的值：‎ ‎(1)sin(－660°)；(2)cos ；(3)2cos 660°＋sin 630°；‎ ‎(4)tan ·sin．‎ ‎[思路点拨]　利用诱导公式先把任意角的三角函数化为三角函数，再求值．‎ ‎[解]　(1)因为－660°＝－2×360°＋60°，‎ 所以sin(－660°)＝sin 60°＝．‎ ‎(2)因为＝6π＋，所以cos ＝cos ＝－．‎ ‎(3)原式＝2cos(720°－60°)＋sin(720°－90°)‎ ‎＝2cos 60°－sin 90°＝2×－1＝0．‎ ‎(4)tan ·sin ‎＝tan·sin - 8 -‎ ‎＝tan ·sin ＝×＝．‎ 利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤 ‎1．求下列各三角函数式的值：‎ ‎(1)sin 1 320°；(2)cos；(3)tan(－945°)．‎ ‎[解]　(1)sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)‎ ‎＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)‎ ‎＝－sin 60°＝－．‎ ‎(2)cos＝cos＝cos ‎＝－cos＝－．‎ ‎(3)tan(－945°)＝－tan 945°‎ ‎＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan 225°‎ ‎＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1．‎ 化简求值 ‎【例2】　化简：(1)；‎ ‎(2)．‎ ‎[思路点拨]　利用诱导公式一，二，三，四将函数值化为角α的三角函数值或锐角的三角函数值，再约分化简．‎ ‎[解]　(1)＝＝＝＝1．‎ - 8 -‎ ‎(2)原式＝ ‎＝＝＝－1．‎ 三角函数式的化简方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.‎ (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.‎ (3)注意“‎1”‎的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan .‎ ‎2．(k∈Z)．‎ ‎[解]　当k＝2n(n∈Z)时，‎ 原式＝ ‎＝ ‎＝＝－1；‎ 当k＝2n＋1(n∈Z)时，‎ 原式＝ ‎＝＝ ‎＝－1．‎ 综上，原式＝－1．‎ 给值求值问题 ‎[探究问题]‎ ‎1．“α－15°”与“165°＋α”间存在怎样的关系？你能用“α－15°”表示“165°＋α”吗？‎ ‎[提示]　由165°＋α－(α－15°)＝180°可知165°＋α＝180°＋(α－15°)．‎ ‎2．若tan(α－15°)＝－1，则tan(165°＋α)等于多少？‎ ‎[提示]　由探究1可知tan(165°＋α)＝tan[180°＋(α－15°)]＝tan(α－15°)＝－1．‎ ‎【例3】　求值．‎ - 8 -‎ ‎(1)已知sin＝－，求sin的值；‎ ‎(2)已知cos＝，求cos的值．‎ ‎[思路点拨]　(1)－＝2π；‎ ‎(2)－＝π．‎ ‎[解]　(1)∵－＝2π，‎ ‎∴sin＝sin ‎＝sin＝－．‎ ‎(2)∵－＝π，‎ ‎∴cos＝cos ‎＝－cos＝－．‎ ‎1．(变条件)本例(1)条件变为“已知sin＝”，求sin的值．‎ ‎[解]　∵－＝6π，‎ ‎∴sin＝sin ‎＝sin＝．‎ ‎2．(变结论)本例(2)已知条件不变，求cos的值．‎ ‎[解]　∵－＝－π，‎ ‎∴cos＝cos ‎＝cos ‎＝－cos＝－．‎ - 8 -‎ 对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值.‎ 提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.‎ ‎3．已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于(　　)‎ A．　　　　 B． C． D．－ A　[∵sin(α－360°)－cos(180°－α)＝sin α＋cos α＝m，‎ ‎∴sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α＝＝．故选A．]‎ ‎4．已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．‎ ‎[解]　∵cos(α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角，‎ ‎∴sin(α－75°)＝－＝－＝－，‎ ‎∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝．‎ ‎1．明确各诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将角转化为0～2π之间的角求值 公式二 将负角转化为正角求值 公式三 将角转化为0～之间的角求值 公式四 将角转化为0～之间的角求值 ‎2．诱导公式的记忆 - 8 -‎ 这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．‎ ‎1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则角θ的终边落在(　　)‎ A．第一象限　　　　 B．第二象限 C．第三角限 D．第四象限 B　[由sin(θ＋π)＝－sin θ<0⇒sin θ>0，cos(θ－π)＝－cos θ>0⇒cos θ<0，由可知θ是第二象限角．]‎ ‎2．tan 255°＝(　　)‎ A．－2－ B．－2＋ C．2－ D．2＋ ‎[答案]　D ‎3．代数式sin 120°cos 210°的值为　　　　．‎ ‎－　[由诱导公式可得，sin 120°cos 210°＝sin 60°×(－cos 30°)＝×＝－．]‎ ‎4．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，求cos(α－2π)的值．‎ ‎[解]　∵sin(π＋α)＝，∴sin α＝－，‎ 又α是第四象限角，‎ ‎∴cos α＝＝＝，‎ ‎∴cos(α－2π)＝cos α＝．‎ - 8 -‎