2020年高中数学新教材同步必修第一册 第3章 章末复习 8页

章末复习 一、求函数的定义域 1．求函数定义域的常用依据是分母不为 0，偶次根式中被开方数大于或等于 0 等等；由几个 式子构成的函数，则定义域是各部分定义域的交集． 2．掌握基本的集合交并补运算，解简单的不等式，提升逻辑推理和数学抽象素养． 例 1 (1)函数 y＝ 2x＋1＋ 3－4x的定义域为( ) A. －1 2 ，3 4 B. －1 2 ，3 4 C. －∞，1 2 D. －1 2 ，0 ∪(0，＋∞) 答案 B 解析 由 2x＋1≥0， 3－4x≥0， 解得－1 2 ≤x≤3 4 ， 所以函数 y＝ 2x＋1＋ 3－4x的定义域为 －1 2 ，3 4 . (2)若函数 y＝f(x)的定义域是[－2,4]，则函数 g(x)＝f(－x)的定义域是( ) A．[－4,4] B．[－4,2] C．[－4，－2] D．[2,4] 答案 B 解析 －2≤－x≤4，得－4≤x≤2. 所以函数 g(x)＝f(－x)的定义域是[－4,2]． 反思感悟 求函数定义域的类型与方法 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． (2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义． (3)复合函数问题： ①若 f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由 a≤g(x)≤b 解出； ②若 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在[a，b]上的值域． 注意：①f(x)中的 x 与 f(g(x))中的 g(x)地位相同；②定义域所指永远是 x 的范围． 跟踪训练 1 函数 f(x)＝ 2x2 1－x ＋(2x－1)0 的定义域为( ) A. －∞，1 2 B. 1 2 ，1 C. －1 2 ，1 2 D. －∞，1 2 ∪ 1 2 ，1 答案 D 解析 由题意得 1－x>0， 2x－1≠0， 解得 x<1 且 x≠1 2. 二、分段函数 1．分段函数主要考查求值、画图、解不等式等，利用分段函数的图象能解决单调性、值域问 题，画图时各部分图象合在一起才组成整个函数的图象，解不等式时要分类讨论，各部分取 并集． 2．掌握基本函数求值运算，会画简单函数的图象，提升数学运算和直观想象素养． 例 2 已知函数 f(x)＝ 1 2x，01 4. 考点 分段函数 题点 分段函数的综合应用 解 (1)f(x)的定义域为 (0,1)∪[1,2)∪ 2，5 2 ＝ 0，5 2 . 易知 f(x)在(0,1)上为增函数，∴01 4 等价于 ① 01 4 ， 或② 1≤x＋1<2， 3 4 －1 4 x＋1>1 4 ， 或③ 2≤x＋1<5 2 ， 5 4 －1 2 x＋1>1 4. 解①得－1 21 4 的解集为 －1 2 ，0 ∪[0，1)＝ －1 2 ，1 . 反思感悟 分段函数也是对应关系 f 的一种，在此对应 f 上，仍整体上构成一个函数，故分 段函数的定义域、值域分别只有一个集合，但在具体对应层面不论是由 x 求 y，还是由 y 求 x， 都要按分段标准对号入座分别求解． 跟踪训练 2 设 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f(x＋2)＝f(x)，当 x∈[－1,1)时，f(x)＝ －4x2＋2，－1≤x<0， x，0≤x<1， 则 f 3 2 ＝________. 答案 1 解析 因为 f(x＋2)＝f(x)， 所以 f 3 2 ＝f 2－1 2 ＝f －1 2 ＝－4× －1 2 2＋2＝1. 三、函数性质的综合应用 1．函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比 较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意勿漏定义域的影响． 2．掌握单调性和奇偶性的判断和证明，会简单的综合运用，提升数学抽象、逻辑推理和直观 想象素养． 例 3 已知函数 f(x)是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且 f(1)＝1，若对于任意的 m，n∈[－ 1,1]，m＋n≠0，有fm＋fn m＋n >0. (1)判断函数的单调性(不要求证明)； (2)解不等式 f x＋1 2 1，x1x2－1>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)3，函数 y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， 即 y＝ －x－12＋4，－1≤x≤3， x－12－4，x<－1 或 x>3 的图象如图所示，单调递增区间为[－1,1]和[3，＋∞)， 单调递减区间为(－∞，－1)和(1,3)． (2)由题意可知，函数 y＝f(x)与 y＝m 的图象有四个不同的交点，则 0＜m＜4. 故集合 M＝{m|00， 方程 f2(x)－bf(x)＝0，b∈(0,1)，则方程的根 的个数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 答案 D 解析 因为 f2(x)－bf(x)＝0， 所以 f(x)＝0 或 f(x)＝b， 作函数 f(x)＝ －x，x≤0， －x2＋2x，x>0 的图象如图， 结合图象可知， f(x)＝0 有 2 个不同的根，f(x)＝b(00，则 a 与 b 的关系是( ) A．a＋b>0 B．a＋b<0 C．a＋b＝0 D．不确定 答案 B 解析 因为 f(x)是奇函数， 所以－f(b)＝f(－b)． 因为 f(a)＋f(b)>0， 所以 f(a)>－f(b)＝f(－b)． 因为 f(x)在 R 上是减函数， 所以 a<－b，即 a＋b<0. 3．若 f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，设 f －3 2 ＝m， f a2＋2a＋5 2 ＝n，则 m，n 的大小关系是________． 考点 单调性与奇偶性的综合应用 题点 综合利用函数的单调性、奇偶性比较大小 答案 m≥n 解析 因为 a2＋2a＋5 2 ＝(a＋1)2＋3 2 ≥3 2 ， 又 f(x)在[0，＋∞)上是减函数， 所以 f a2＋2a＋5 2 ≤f 3 2 ＝f －3 2 . 4．奇函数 f(x)是定义域为(－1,1)上的减函数，且 f(2a－1)＋f(a－1)>0，则 a 的取值范围是 ________． 答案 0，2 3 解析 f(x)为奇函数，f(2a－1)>－f(a－1)， ∴f(2a－1)>f(1－a)， ∴ －1<1－a<1， －1<2a－1<1， 1－a>2a－1， 解得 02 时，y＝f(x)的图象是顶点为 P(3,4)且过点 A(2,2)的抛物线的一部分． (1)在图中的直角坐标系中画出函数 f(x)的图象； (2)求函数 f(x)在(－∞，－2)上的解析式； (3)写出函数的单调区间及值域． 解 (1)函数的图象如图所示： (2)当 x≥2 时，设 f(x)＝a(x－3)2＋4，代入点(2,2)， 所以 a(2－3)2＋4＝2，解得 a＝－2， 故 f(x)＝－2(x－3)2＋4， 设 x∈(－∞，－2)，则－x∈(2，＋∞)， 所以 f(－x)＝－2(－x－3)2＋4＝－2(x＋3)2＋4， 又因为 f(x)为偶函数，所以 f(－x)＝f(x)， 所以 f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)． (3)由图象观察可知 f(x)的值域为{y|y≤4}， 单调增区间为(－∞，－3]和[0,3]， 单调减区间为[－3,0]和[3，＋∞)．