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- 2021-06-24 发布
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学业分层测评(九)
(建议用时:45 分钟)
[达标必做]
一、选择题
1.与同一平面平行的两条直线( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或相交或异面
【解析】 如图:
故选 D.
【答案】 D
2.经过平面外的两点作该平面的平行平面,可以作( )
A.0 个 B.1 个
C.0 个或 1 个 D.1 个或 2 个
【解析】 若两点所在直线与平面相交,则为 0 个,若平行则可
作 1 个.
【答案】 C
3.如果平面α外有两点 A、B,它们到平面α的距离都是 a,则直线
AB 和平面α的位置关系一定是( )
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.AB⊂α
【解析】 结合图形可知选项 C 正确.
【答案】 C
4.以下四个命题:
①三个平面最多可以把空间分成八部分;
②若直线 a⊂平面α,直线 b⊂平面β,则“a 与 b 相交”与“α与β
相交”等价;
③若α∩β=l,直线 a⊂平面α,直线 b⊂平面β,且 a∩b=P,则
P∈l;
④若 n 条直线中任意两条共面,则它们共面.
其中正确的是( )
A.①② B.②③
C.③④ D.①③
【解析】 对于①,正确;对于②,逆推“α与β相交”推不出“a
与 b 相交”,也可能 a∥b;对于③,正确;对于④,反例:正方体的
侧棱任意两条都共面,但这 4 条侧棱却不共面,故④错.所以正确的
是①③.
【答案】 D
5.如果点 M 是两条异面直线 a,b 外的一点,则过点 M 且与 a,
b 都平行的平面( )
A.只有一个 B.恰有两个
C.没有或只有一个 D.有无数个
【解析】 当点 M 在过 a 且与 b 平行的平面或过 b 且与 a 平行的
平面内时,这样满足条件的平面没有;当点 M 不在上述两个平面内时,
满足条件的平面只有一个.故选 C.
【答案】 C
二、填空题
6.若 a、b 是两条异面直线,且 a∥平面α,则 b 与α的位置关系是
________.
【导学号:09960057】
【解析】 如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,设平面 ABCD 为
α,A1B1 为 a,则 a∥α,当分别取 EF,BC1,BC 为 b 时,均满足 a 与
b 异面,于是 b∥α,b∩α=B,b⊂α(其中 E,F 为棱的中点).
【答案】 平行或相交或 b 在α内
7.在长方体 ABCDA1B1C1D1 的六个表面与六个对角面(面 AA1C1C、
面 ABC1D1、面 ADC1B1、面 BB1D1D、面 A1BCD1 及面 A1B1CD)所在的
平面中,与棱 AA1 平行的平面共有________个.
【解析】 如图所示,结合图形可知 AA1∥平面 BB1C1C,AA1∥平
面 DD1C1C,AA1∥平面 BB1D1D.
【答案】 3
三、解答题
8.如图 2127 所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,M,N 分别是
A1B1 和 BB1 的中点,则下列直线与平面的位置关系是什么?
图 2127
(1)AM 所在的直线与平面 ABCD 的位置关系;
(2)CN 所在的直线与平面 ABCD 的位置关系;
(3)AM 所在的直线与平面 CDD1C1 的位置关系;
(4)CN 所在的直线与平面 CDD1C1 的位置关系.
【解】 (1)AM 所在的直线与平面 ABCD 相交;
(2)CN 所在的直线与平面 ABCD 相交;
(3)AM 所在的直线与平面 CDD1C1 平行;
(4)CN 所在的直线与平面 CDD1C1 相交.
9.三个平面α,β,γ.如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,且直线 c⊂β,
c∥b,
(1)判断 c 与α的位置关系,并说明理由;
(2)判断 c 与 a 的位置关系,并说明理由.
【解】 (1)c∥α.因为α∥β,所以α与β没有公共点,又 c⊂β,所以
c 与α无公共点,则 c∥α.
(2)c∥a.因为α∥β,所以α与β没有公共点,又γ∩α=a,γ∩β=b,
则 a⊂α,b⊂β,且 a,b⊂γ,a,b 没有公共点.因此 a∥b,又 c∥b,
所以 c∥a.
[自我挑战]
10.两平面α、β平行,a⊂α,下列四个命题:
(1)a 与β内的所有直线平行;
(2)a 与β内无数条直线平行;
(3)直线 a 与β内任何一条直线都不垂直;
(4)a 与β无公共点.
其中正确命题的个数有( )
【导学号:09960058】
A.1 个 B.2 个
C.3 个 D.4 个
【解析】 由α∥β,a⊂α,可知 a∥β,因此(2)(4)正确.
在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,
取 A1B1 为 a,平面 ABCD 为β,平面 A1B1C1D1 为α,
则 a⊂α,α∥β,显然β内的直线 BC⊥A1B1,所以(1)(3)不正确.故
选 B.
【答案】 B
11.如图 2128 所示,ABCDA1B1C1D1 是正方体,在图中,E,F
分别是 D1C1,B1B 的中点,画出图①②中有阴影的平面与平面 ABCD
的交线,并给出证明.
图 2128
【解】 如图①所示,过点 E 作 EN 平行于 BB1 交 CD 于 N,连接
NB 并延长交 EF 的延长线于 M,连接 AM,则直线 AM 即为有阴影的
平面与平面 ABCD 的交线.
如图②所示,延长 DC,过点 C1 作 C1M∥A1B 交 DC 的延长线于点
M,连接 BM,则直线 BM 即为有阴影的平面与平面 ABCD 的交线.
证明:在图①中,因为直线 EN∥BF,所以 B,N,E,F 四点共面,
因此 EF 与 NB 相交,交点为 M.因为 M∈EF,且 M∈NB,而 EF⊂平
面 AEF,NB⊂平面 ABCD,所以 M 是平面 ABCD 与平面 AEF 的公共
点.又因为点 A 是平面 ABCD 与平面 AEF 的公共点,故直线 AM 为两
平面的交线.
在图②中,C1M 在平面 CDD1C1 内,因此与 DC 的延长线相交,交
点为 M,则点 M 为平面 A1C1B 与平面 ABCD 的公共点,又点 B 也是这
两个平面的公共点,因此直线 BM 是两平面的交线.
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