高三数学复习专题-函数与基本初等函数-第2章第4节-基础达标 8页

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2021-06-24 发布

高三数学复习专题-函数与基本初等函数-第2章第4节-基础达标

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第二章第四节一、选择题 1．(文)函数 y＝x 1 3 的图像是( ) [答案] B [解析] 本题考查幂函数图像．当 x>1 时 x 1 3 x，排除 A． (理)如图所示函数图像中，表示 y＝x 2 3 的是( ) [答案] D [解析] 因为2 3 ∈(0,1)，所以 y＝x 2 3 的图像在第一象限图像上凸，又函数 y＝x 2 3 是偶函数，故图像应为 D． 2．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 满足 a>b>c，且 a＋b＋c＝0，那么它的图像是下图中的( ) [答案] A [解析] ∵a>b>c 且 a＋b＋c＝0， ∴a>0，c<0，b2－4ac>0， ∴图像开口向上，与 y 轴的截距为负，且过(1,0)点． 3．(文)若函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 满足 f(4)＝f(1)，那么( ) A．f(2)>f(3) B．f(3)>f(2) C．f(3)＝f(2) D．f(3)与 f(2)的大小关系不确定 [答案] C [解析] 因为 f(x)满足 f(4)＝f(1)，所以二次函数对称轴为 x＝4＋1 2 ＝5 2 ，又 3－5 2 ＝5 2 －2，即 x＝3 与 x＝2 离对称轴的距离相等，所以 f(3)＝f(2)． (理)若 f(x)＝x2－x＋a，f(－m)<0，则 f(m＋1)的值为( ) A．正数 B．负数 C．非负数 D．与 m 有关 [答案] B [解析] ∵f(x)＝x2－x＋a 的对称轴为 x＝1 2 ，而－m，m＋1 关于 x＝1 2 对称， ∴f(m＋1)＝f(－m)<0，故选 B． 4．已知某二次函数的图像与函数 y＝2x2 的图像的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( ) A．y＝2(x－1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3 C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋3 [答案] D [解析] 设所求函数的解析式为 y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，由题意可知 a＝－2，h＝1，k＝ 3，故 y＝－2(x＋1)2＋3. 5．幂函数 f(x)＝xα(α是有理数)的图像过点(2，1 4)，则 f(x)的一个递减区间是( ) A．[0，＋∞) B．(0，＋∞) C．(－∞，0] D．(－∞，0) [答案] B [解析] ∵图像过(2，1 4)，则1 4 ＝2α， ∴α＝－2，∴f(x)＝x－2. 由 y＝x－2 图像可知 f(x)的减区间是(0，＋∞)． 6．若 f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则 m 的取值范围是( ) A．(－1 2 ，1 4) B．(－1 4 ，1 2) C．(1 4 ，1 2) D．[1 4 ，1 2] [答案] C [解析] 由题意，得 f－1·f0<0， f1·f2<0，解得1 40 时，二次函数开口向上，当 x＝3 时，f(x)有最大值， f(3)＝k·32－2k×3＝3k＝3⇒k＝1； (2)当 k<0 时，二次函数开口向下，当 x＝1 时，f(x)有最大值，f(1)＝k－2k＝－k＝3⇒k＝－3. 故 k 的取值集合为{1，－3}． 4．(文)(2015·盐城模拟)给出封闭函数的定义：若对于定义域 D 内的任意一个自变量 x0，都有函数值 f(x0)∈D，则称函数 y＝f(x)在 D 上封闭．若定义域 D＝(0,1)，则函数①f1(x)＝3x －1；②f2(x)＝－1 2x2－1 2x＋1；③f3(x)＝1－x；④f4(x)＝x1 2 ，其中在 D 上封闭的是________．(填序号即可) [答案] ②③④ [解析] ∵f1(1 3)＝0∉(0,1)，∴f1(x)在 D 上不封闭，经验证②③④均满足条件． (理)方程 x2－mx＋1＝0 的两根为α、β，且α>0,1<β<2，则实数 m 的取值范围是________． [答案] (2，5 2) [解析] ∵ α＋β＝m， α·β＝1， ∴m＝β＋1 β ， ∵β∈(1,2)且函数 m＝β＋1 β 在(1,2)上是增加的， ∴1＋10 时，f(x)在[2,3]上为增加的，故 f3＝5， f2＝2 ⇒ 9a－6a＋2＋b＝5， 4a－4a＋2＋b＝2 ⇒ a＝1， b＝0，当 a<0 时，f(x)在[2,3]上为减少的，故 f3＝2 f2＝5 ⇒ 9a－6a＋2＋b＝2 4a－4a＋2＋b＝5 ⇒ a＝－1， b＝3. (2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即 f(x)＝x2－2x＋2， g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2， ∵g(x)在[2,4]上单调， ∴2＋m 2 ≤2 或m＋2 2 ≥4，∴m≤2 或 m≥6.6.(文)是否存在实数 a，使函数 f(x)＝x2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求 a 的值；若不存在，说明理由． [解析] f(x)＝(x－a)2＋a－a2. 当 a<－1 时，f(x)在[－1,1]上为增函数， ∴ f－1＝1＋3a＝－2， f1＝1－a＝2 ⇒a＝－1(舍去)；当－1≤a≤0 时， fa＝a－a2＝－2， f1＝1－a＝2 ⇒a＝－1；当 01 时，f(x)在[－1,1]上为减函数， ∴ f－1＝1＋3a＝2， f1＝1－a＝－2 ⇒a 不存在．综上可得，存在这样的实数 a，且 a＝－1. (理)(创新题)已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a，且不等式 f(x)>－2x 的解集为(1,3)． (1)若方程 f(x)＋6a＝0 有两个相等的根，求 f(x)的解析式； (2)若 f(x)的最大值为正数，求实数 a 的取值范围． [解析] (1)∵f(x)＋2x>0 的解集为(1,3)， ∴f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且 a<0，即 f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3A． ① 由 f(x)＋6a＝0，得 ax2－(2＋4a)＋9a＝0. ② ∵方程②有两个相等的根， ∴Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，即 5a2－4a－1＝0，解得 a＝1 或 a＝－1 5. 由于 a<0，故舍去 a＝1，将 a＝－1 5 代入①，得 f(x)＝－1 5x2－6 5x－3 5. (2)f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a ＝a x－1＋2a a 2－a2＋4a＋1 a . 由 a<0，可得 f(x)的最大值为－a2＋4a＋1 a >0，由－a2＋4a＋1 a >0， a<0，解得 a<－2－ 3或－2＋ 3

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