浙江省2021届高考数学一轮复习第二章不等式第3节基本不等式课件 34页

考试要求　 1. 了解基本不等式的证明过程； 2. 会用基本不等式解决简单的最大 ( 小 ) 值问题 . 知 识 梳 理 a ＝ b 2 ab 2 3 . 利用基本不等式求最值 已知 x ≥ 0 ， y ≥ 0 ，则 (1) 如果积 xy 是定值 p ，那么当且仅当 ______ 时， x ＋ y 有最 _____ 值 是 _____ ( 简记：积定和最小 ). (2) 如果和 x ＋ y 是定值 s ，那么当且仅当 ______ 时， xy 有最 ____ 值是 ____ ( 简记：和定积最大 ). x ＝ y 小 x ＝ y 大 解析　 (2) 不等式 a 2 ＋ b 2 ≥ 2 ab 成立的条件是 a ， b ∈ R ； 答案　 (1) √ 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 　 (5) × 2. 设 x >0 ， y >0 ，且 x ＋ y ＝ 18 ，则 xy 的最大值为 ( 　　 ) A.80 B.77 C.81 D.82 答案　 C 答案　 C 答案　 C 5. ( 必修 5P100A2 改编 ) 一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m ，则这个矩形的长为 ______m ，宽为 ________m 时菜园面积最大 . 解析　 ∵ 正数 x ， y 满足 x ＋ y ＝ 1 ， ∴ y ＝ 1 － x ， 0< x <1 ， ∴ － y ＝－ 1 ＋ x ， ∴ x － y ＝ 2 x － 1 ，又 0< x <1 ， ∴ 0<2 x <2 ， ∴ － 1<2 x － 1<1 ， 即 x － y 的取值范围为 ( － 1 ， 1). 答案　 ( － 1 ， 1) 　 3 考点一　配凑法求最值 答案　 (1)1 　 (2)55 规律方法 　 (1) 应用基本不等式解题一定要注意应用的前提： “ 一正 ”“ 二定 ”“ 三相等 ”. 所谓 “ 一正 ” 是指正数， “ 二定 ” 是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值， “ 三相等 ” 是指满足等号成立的条件 . (2) 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式 . 考点二　常数代换或消元法求最值 易错警示 法一 　 ( 消元法 ) 当且仅当 x ＝ 3 y 时等号成立 . 设 x ＋ 3 y ＝ t ＞ 0 ，则 t 2 ＋ 12 t － 108 ≥ 0 ， ∴ ( t － 6)( t ＋ 18) ≥ 0 ， 又 ∵ t ＞ 0 ， ∴ t ≥ 6. 故当 x ＝ 3 ， y ＝ 1 时， ( x ＋ 3 y ) min ＝ 6. 答案　 (1)C 　 (2)6 规律方法 　条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解 . 易错警示 　 (1) 利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件； (2) 尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致 . 考点三　一般形式的基本不等式的应用 ( 选用 ) 【例 3 】 ( 一题多解 )(2018· 全国 Ⅰ 卷 ) 已知函数 f ( x ) ＝ 2sin x ＋ sin 2 x ，则 f ( x ) 的最小值是 ________. 解析　法一　 因为 f ( x ) ＝ 2sin x ＋ sin 2 x ， 所以 f ′( x ) ＝ 2cos x ＋ 2cos 2 x ＝ 4cos 2 x ＋ 2cos x － 2 法三　 因为 f ( x ) ＝ 2sin x ＋ sin 2 x ＝ 2sin x (1 ＋ cos x ) ， 所以 [ f ( x )] 2 ＝ 4sin 2 x (1 ＋ cos x ) 2 ＝ 4(1 － cos x )(1 ＋ cos x ) 3 ， 设 cos x ＝ t ，则 y ＝ 4(1 － t )(1 ＋ t ) 3 ( － 1 ≤ t ≤ 1) ， 所以 y ′ ＝ 4[ － (1 ＋ t ) 3 ＋ 3(1 － t )(1 ＋ t ) 2 ] ＝ 4(1 ＋ t ) 2 (2 － 4 t ) ， 法四　 因为 f ( x ) ＝ 2sin x ＋ sin 2 x ＝ 2sin x (1 ＋ cos x ) ， 所以 [ f ( x )] 2 ＝ 4sin 2 x (1 ＋ cos x ) 2 当且仅当 3(1 － cos x ) ＝ 1 ＋ cos x ， 规律方法　 (1) 三角函数式拆项时要注意满足平方关系 . (2) 拆项时要满足各项都相等这个条件成立 . 当且仅当 a ＝ b ＝ c ＝ 1 时，等号成立， 所以 ( a ＋ b ) 3 ＋ ( b ＋ c ) 3 ＋ ( c ＋ a ) 3 ≥ 24.