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  • 2021-06-24 发布

高中数学人教a版选修2-3第二章随机变量及其分布2-2-2-2-2学业分层测评word版含答案

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学业分层测评 (建议用时:45分钟) [学业达标] 一、选择题 1.有以下三个问题: ①掷一枚骰子一次,事件 M:“出现的点数为奇数”,事件 N:“出现的点 数为偶数”; ②袋中有 3白、2黑,5个大小相同的小球,依次不放回地摸两球,事件 M: “第 1次摸到白球”,事件 N:“第 2次摸到白球”; ③分别抛掷 2 枚相同的硬币,事件 M:“第 1枚为正面”,事件 N:“两枚 结果相同”. 这三个问题中,M,N是相互独立事件的有( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 【解析】 ①中,M,N是互斥事件;②中,P(M)=3 5 , P(N)=1 2 .即事件 M的结果对事件 N的结果有影响,所以 M,N不是相互独立 事件;③中,P(M)=1 2 , P(N)=1 2 ,P(MN)=1 4 ,P(MN)=P(M)P(N),因此 M,N是相互独立事件. 【答案】 C 2.(2016·东莞调研)从甲袋中摸出一个红球的概率是 1 3 ,从乙袋中摸出一个红 球的概率是 1 2 ,从两袋各摸出一个球,则 2 3 表示( ) A.2个球不都是红球的概率 B.2个球都是红球的概率 C.至少有 1个红球的概率 D.2个球中恰有 1个红球的概率 【解析】 分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件 A,B,则 P(A)=1 3 ,P(B) = 1 2 ,由于 A,B相互独立,所以 1-P( A )P( B )=1-2 3 × 1 2 = 2 3 .根据互斥事件可知 C正确. 【答案】 C 3.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙 队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率 为( ) A.3 4 B.2 3 C.3 5 D.1 2 【解析】 问题等价为两类:第一类,第一局甲赢,其概率 P1=1 2 ;第二类, 需比赛 2局,第一局甲负,第二局甲赢,其概率 P2=1 2 × 1 2 = 1 4 .故甲队获得冠军的概 率为 P1+P2=3 4 . 【答案】 A 4.在荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时, 均从一叶跳到另一叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍, 如图 222所示.假设现在青蛙在 A叶上,则跳三次之后停在 A叶上的概率是( ) 图 222 A.1 3 B.2 9 C.4 9 D. 8 27 【解析】 青蛙跳三次要回到 A只有两条途径: 第一条:按 A→B→C→A, P1=2 3 × 2 3 × 2 3 = 8 27 ; 第二条,按 A→C→B→A, P2=1 3 × 1 3 × 1 3 = 1 27 . 所以跳三次之后停在 A叶上的概率为 P=P1+P2= 8 27 + 1 27 = 1 3 . 【答案】 A 5.如图 223所示,在两个圆盘中,指针落在圆盘每个数所在区域的机会均 等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( ) 图 223 A.4 9 B.2 9 C.2 3 D.1 3 【解析】 “左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件 A,则 P(A)=4 6 = 2 3 ,“右 边圆盘指针落在奇数区域”记为事件 B,则 P(B)=2 3 ,事件 A,B相互独立,所以 两个指针同时落在奇数区域的概率为 2 3 × 2 3 = 4 9 ,故选 A. 【答案】 A 二、填空题 6.(2016·铜陵质检)在甲盒内的 200个螺杆中有 160个是 A型,在乙盒内的 240 个螺母中有 180个是 A型.若从甲、乙两盒内各取一个,则能配成 A型螺栓的概 率为________. 【解析】 “从 200个螺杆中,任取一个是 A型”记为事件 B.“ 从 240个螺母中任取一个是 A型”记为事件 C,则 P(B)=C1160 C1200 ,P(C)=C1180 C1240 . ∴P(A)=P(BC)=P(B)·P(C)=C1160 C1200 ·C 1180 C1240 = 3 5 . 【答案】 3 5 7.三人独立地破译一份密码,他们能单独译出的概率分别为 1 5 , 1 3 , 1 4 ,假设他 们破译密码是彼此独立的,则此密码被破译的概率为________. 【导学号: 97270041】 【解析】 用 A,B,C分别表示“甲、乙、丙三人能破译出密码”,则 P(A) = 1 5 ,P(B)=1 3 ,P(C)=1 4 , 且 P( A B C )=P( A )P( B )P( C )=4 5 × 2 3 × 3 4 = 2 5 . 所以此密码被破译的概率为 1-2 5 = 3 5 . 【答案】 3 5 8.台风在危害人类的同时,也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源,大 大缓解了全球水荒,另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星 同时监测台风,在同一时刻,甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为 0.8,0.7,0.9,各卫星间相互独立,则在同一时刻至少有两颗预报准确的是________. 【解析】 设甲、乙、丙预报准确依次记为事件 A,B,C,不准确记为 A ,B , C , 则 P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P( A )=0.2, P( B )=0.3,P( C )=0.1, 至少两颗预报准确的事件有 AB C ,A B C, A BC,ABC,这四个事件两两 互斥且独立. 所以至少两颗预报准确的概率为 P=P(AB C )+P(A B C)+P( A BC)+P(ABC) =0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7×0.9 =0.056+0.216+0.126+0.504=0.902. 【答案】 0.902 三、解答题 9.根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险 的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立. (1)求该地的 1位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1种的概率; (2)求该地的 3位车主中恰有 1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. 【解】 记 A表示事件:该地的 1位车主购买甲种保险; B表示事件:该地的 1位车主购买乙种保险; C表示事件:该地的 1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种; D表示事件:该地的 1位车主甲、乙两种保险都不购买; E表示事件:该地的 3位车主中恰有 1位车主甲、乙两种保险都不购买. (1)P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+B, P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8. (2)D= C ,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2, P(E)=0.8×0.2×0.8+0.8×0.8×0.2+0.2×0.8×0.8=0.384. 10.某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点,一位游客游览这 3 个景点的概率分 别是 0.4,0.5,0.6,且游客是否游览哪个景点互不影响,用ξ表示该游客离开该城市时 游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值,求ξ的分布列. 【解】 设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件 A1,A2,A3,已知 A1,A2, A3相互独立,且 P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3)=0.6,游客游览的景点数可能取值 为 0,1,2,3,相应的游客没有游览的景点数可能取值为 3,2,1,0,所以ξ的可能取值为 1,3. 则 P(ξ=3)=P(A1·A2·A3)+P( A 1· A 2· A 3) =P(A1)·P(A2)·P(A3)+P( A 1)·P( A 2)·P( A 3) =2×0.4×0.5×0.6=0.24. P(ξ=1)=1-0.24=0.76. 所以分布列为: ξ 1 3 P 0.76 0.24 [能力提升] 1.设两个独立事件 A和 B都不发生的概率为 1 9 ,A发生 B不发生的概率与 B 发生 A不发生的概率相同,则事件 A发生的概率 P(A)是( ) A.2 9 B. 1 18 C.1 3 D.2 3 【解析】 由 P(A B )=P(B A ),得 P(A)P( B )=P(B)·P( A ),即 P(A)[1-P(B)] =P(B)[1-P(A)], ∴P(A)=P(B).又 P( A B )=1 9 , ∴P( A )=P( B )=1 3 ,∴P(A)=2 3 . 【答案】 D 2.三个元件 T1,T2,T3正常工作的概率分别为 1 2 , 3 4 , 3 4 ,且是互相独立的.将它 们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路,在如图 224的电路中,电 路不发生故障的概率是( ) 图 224 A.15 32 B. 9 32 C. 7 32 D.17 32 【解析】 记“三个元件 T1,T2,T3正常工作”分别为事件 A1,A2,A3,则 P(A1)=1 2 ,P(A2)=3 4 ,P(A3)=3 4 . 不发生故障的事件为(A2∪A3)A1, ∴不发生故障的概率为 P=P[(A2∪A3)A1] =[1-P( A 2)·P( A 3)]·P(A1) = 1-1 4 × 1 4 × 1 2 = 15 32 .故选 A. 【答案】 A 3.本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多,某自行车租车 点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时 收费 2元(不足 1小时的部分按 1小时计算),有甲、乙两人相互独立来该租车点租 车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 1 4 , 1 2 ,两小时以 上且不超过三小时还车的概率分别是 1 2 , 1 4 ,两人租车时间都不会超过四小时.求甲、 乙两人所付的租车费用相同的概率为________. 【导学号:97270042】 【解析】 由题意可知,甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率 分别为 1 4 , 1 4 ,设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件 A,则 P(A)=1 4 × 1 2 + 1 2 × 1 4 + 1 4 × 1 4 = 5 16 . 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 5 16 . 【答案】 5 16 4.在一段线路中并联着 3个自动控制的开关,只要其中 1个开关能够闭合, 线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是 0.7,计算在 这段时间内线路正常工作的概率. 【解】 如图所示,分别记这段时间内开关 JA,JB,JC能够闭合为事件 A,B, C. 由题意,这段时间内 3个开关是否能够闭合相互之间没有影响,根据相互独 立事件的概率乘法公式,这段时间内 3个开关都不能闭合的概率是 P(A - B - C - )=P( A )P( B )P( C ) =[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)] =(1-0.7)×(1-0.7)×(1-0.7) =0.027. 于是这段时间内至少有 1个开关能够闭合,从而使线路能正常工作的概率是 1 -P(A - B - C - )=1-0.027=0.973.即在这段时间内线路正常工作的概率是 0.973.