高中数学必修1示范教案（3_1 单调性与最大（小）值 第1课时） 13页

1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大（小）值 整体设计 教学分析 在研究函数的性质时，单调性和最值是一个重要内容.实际上，在初中学习函数时，已经重 点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义， 对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化 和提高：给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于 某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有 根据定义进行证明的较为严格的方法、最好根据图象观察得出猜想，用推理证明猜想的正确 性,这样就将以上两种方法统一起来了. 由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设 教学情境，以利于学生作函数图象，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性 质.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性和最值的理解. 三维目标 1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自 主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的 单调区间，提高应用知识解决问题的能力. 3.通过实例，使学生体会、理解到函数的最大（小）值及其几何意义，能够借助函数图象的 直观性得出函数的最值，培养以形识数的解题意识. 4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必 要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性. 重点难点 教学重点:函数的单调性和最值. 教学难点:增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成. 课时安排 2 课时 设计方案（一） 教学过程 第 1 课时 函数的单调性 导入新课 思路 1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus，1850~1909)，他以自 己为实验对象，共做了 163 次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再 重学一次，达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试，得到了一些数据. 时间间隔 t 0 分钟 20 分钟 60 分钟 8~9 小时 1 天 2 天 6 天 一个月 记忆量 y(百分比) 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% 观察这些数据，可以看出：记忆量 y 是时间间隔 t 的函数.当自变量（时间间隔 t）逐渐增大 时，你能看出对应的函数值（记忆量 y）有什么变化趋势吗？描出这个函数图象的草图(这 就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画 吗？通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?（可以借助信息技术画图象） 图 1-3-1-1 学生：先思考或讨论，回答：记忆量 y 随时间间隔 t 的增大而增大；以时间间隔 t 为 x 轴， 以记忆量 y 为 y 轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图 1-3-1-1 所示. 遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律.随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚 开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解 和记忆.教师提示、点拨，并引出本节课题. 思路 2.在第 23 届奥运会上，中国首次参加就获 15 枚金牌；在第 24 届奥运会上，中国获 5 枚金牌；在第 25 届奥运会上，中国获 16 枚金牌；在第 26 届奥运会上，中国获 16 枚金牌； 在第 27 届奥运会上，中国获 28 枚金牌；在第 28 届奥运会上，中国获 32 枚金牌.按这个变 化趋势，2008 年，在北京举行的第 29 届奥运会上，请你预测一下中国能获得多少枚金牌？ 学生回答(只要大于 32 就可以算准确),教师：提示、点拨，并引出本节课题. 推进新课 新知探究 提出问题 ①如图 1-3-1-2 所示为一次函数 y=x，二次函数 y=x2 和 y=-x2 的图象,它们的图象有什么变化 规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律? 图 1-3-1-2 ②函数图象上任意点 P(x,y)的坐标有什么意义？ ③如何理解图象是上升的？ ④对于二次函数 y=x2，列出 x,y 的对应值表(1).完成表(1)并体会图象在 y 轴右侧上升. x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 f(x)=x2 表(1) ⑤在数学上规定：函数 y=x2 在区间(0,+∞)上是增函数.谁能给出增函数的定义？ ⑥增函数的定义中，把“当 x1x2 时，都有 f(x1)>f(x2)”,这 样行吗? ⑦增函数的定义中，“当 x1x2 时，都有 f(x1)>f(x2)”都是相同的不等号“>”， 也就是说前面是“>”，后面也是“>”,步调一致.因此我们可以简称为：步调一致增函数. ⑦函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的. ⑧从左向右看,图象是上升的. ⑨一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 的值 x1、x2，当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数.简称为： 步调不一致减函数.减函数的几何意义：从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势：函数值 随着自变量的增大而减小.总结：如果函数 y=f（x）在区间 D 上是增函数(或减函数)，那么 就说函数 y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f（x）的单调递增(或 减)区间. ⑩函数 y=f（x）在区间 D 上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小），几何意 义：从左向右看,图象是上升（下降）的. 应用示例 思路 1 例 1 如图 1-3-1-3 是定义在区间［－5，5］上的函数 y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间， 以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 图 1-3-1-3 活动：教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示 并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数. 解：函数 y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数 y=f(x)在区间［-5,2),［1,3) 上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数. 点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数 的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象，通常用图象法判断单调 性.函数的图象类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的 图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性. 图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调 性的几何意义写出单调区间. 变式训练 课本 P32 练习 1、3. 例 2 物理学中的玻意耳定律 p= V k （k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积 V 减少时，压强 p 将增大.试用函数的单调性证明. 活动：学生先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，教师再提示,及时纠正 学生解答过程出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤.体积 V 减少时， 压强 p 将增大是指函数 p= V k 是减函数；刻画体积 V 减少时，压强 p 将增大的方法是用不等 式表达.已知函数的解析式判断函数的单调性时，常用单调性的定义来解决. 解：利用函数单调性的定义只要证明函数 p= V k 在区间(0,+∞)上是减函数即可. 点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性. 定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步：在所给的区间上任取．两个自变量 x1 和 x2, 通常令 x10.∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)2m-x2≥a, f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2). 又∵函数 y=f(x)在［a,b］上是增函数,∴f(2m-x1)-f(2m-x2)>0. ∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2). ∴函数 y=f(x)在区间［2m-b,2m-a］上是减函数. ∴当函数 y=f(x)在对称轴直线 x=m 的右侧一个区间［a,b］上是增函数时,其在［a,b］关于直 线 x=m 的对称区间［2m-b,2m-a］上是减函数,即单调性相反. 因此有结论:如果函数 y=f(x)的图象关于直线 x=m 对称,那么函数 y=f(x)在对称轴两侧的对称 单调区间内具有相反的单调性. 点评：本题通过归纳——猜想——证明得到了正确的结论,这是我们认识世界发现问题的主 要方法,这种方法的难点是猜想,突破路径是寻找共同的特征.本题作为结论记住，可以提高解 题速度.图象类似于人的照片，看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点，同样根 据函数的图象也能观察出函数的性质特征.这需要有细致的观察能力. 变式训练 函数 y=f(x)满足以下条件: ①定义域是 R; ②图象关于直线 x=1 对称; ③在区间［2,+∞)上是增函数. 试写出函数 y=f(x)的一个解析式 f(x)=(只需写出一个即可,不必考虑所有情况). 活动：根据这三个条件，画出函数 y=f(x)的图象简图（只要能体现这三个条件即可），再根 据图象简图，联系猜想基本初等函数及其图象和已有的解题经验写出. 解：定义域是 R 的函数解析式通常不含分式或根式，常是整式；图象关于直线 x=1 对称的 函数解析式满足：f(x)=f(2-x)，基本初等函数中有对称轴的仅有二次函数，则由①②想到了 二次函数；结合二次函数的图象，在区间［2,+∞)上是增函数说明开口必定向上，且正好满 足二次函数的对称轴直线 x=1 不在区间［2,+∞)内，故函数的解析式可能是 y=a(x-1)2+b(a>0). 结合二次函数的图象和性质，可知这三条都可满足开口向上的抛物线，故有： 形如 y=a(x-1)2+b(a>0)，或为 y=a|x-1|+b(a>0)等都可以，答案不唯一. 知能训练 课本 P32 练习 2. 【补充练习】 1.利用图象法写出基本初等函数的单调性. 解：①正比例函数：y=kx(k≠0) 当 k>0 时，函数 y=kx 在定义域 R 上是增函数；当 k<0 时，函数 y=kx 在定义域 R 上是减函 数. ②反比例函数：y= x k (k≠0) 当 k>0 时，函数 y= x k 的单调递减区间是(-∞,0)，(0,+∞)，不存在单调递增区间；当 k<0 时， 函数 y= x k 的单调递增区间是(-∞,0)，(0,+∞),不存在单调递减区间. ③一次函数：y=kx+b(k≠0) 当 k>0 时，函数 y=kx+b 在定义域 R 上是增函数；当 k<0 时，函数 y=kx+b 在定义域 R 上是 减函数. ④二次函数：y=ax2+bx+c(a≠0) 当 a>0 时，函数 y=ax2+bx+c 的单调递减区间是(-∞, a b 2  ］，单调递增区间是［ a b 2  ,+∞)； 当 a<0 时，函数 y=ax2+bx+c 的单调递减区间是［ a b 2  ,+∞)，单调递增区间是(-∞, a b 2  ］. 点评：以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度. 2.已知函数 y=kx+2 在 R 上是增函数，求实数 k 的取值范围. 答案：k∈(0,+∞). 3.二次函数 f(x)=x2-2ax+m 在(-∞,2)上是减函数，在(2,+∞)上是增函数，求实数 a 的值. 答案：a=2. 4.2005 年 全 国 高 中 数 学 联 赛 试 卷 ， 8 已 知 f(x) 是 定 义 在 (0,+∞) 上 的 减 函 数 ， 若 f(2a2+a+1)1. ∵f(x)在(0,+∞)上是减函数， ∴2a2+a+1>3a2-4a+1.∴a2-5a<0. ∴00)的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数 和减函数吗？ 图 1-3-1-10 设计意图:使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性. 问题④:如何从解析式的角度说明 f(x)=x2 在［0,+∞)上为增函数？ 设计意图:把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也 给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习作好铺垫. 问题⑤:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗? 设计意图:让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析， 加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识. 活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对 回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 引导方法与过程：问题①：引导学生进行分类描述图象是上升的、下降的(增函数、减函数)， 同时明确函数的图象变化（单调性）是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质. 问题②：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识. 学生的困难是难以确定分界点的确切位置. 问题③：通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精 确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究. 问题④：对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识 到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量 x1、x2. 问题⑤：师生共同探究：利用不等式表示变大或变小,得出增函数严格的定义，然后学生类 比得出减函数的定义. 归纳总结：1.函数单调性的几何意义：如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增（减）函数，那么在 区间 D 上的图象是上升的（下降的）. 2.函数单调性的定义：略.可以简称为步调一致增函数，步调相反减函数. 讨论结果：①(1)函数 y=x+2，在整个定义域内 y 随 x 的增大而增大；函数 y=-x+2，在整个 定义域内 y 随 x 的增大而减小.(2)函数 y=x2，在［0,+∞)上 y 随 x 的增大而增大，在(-∞,0)上 y 随 x 的增大而减小.(3)函数 y= x 1 ，在(0,+∞)上 y 随 x 的增大而减小，在(-∞,0)上 y 随 x 的增 大而减小. ②如果函数 f(x)在某个区间上随自变量 x 的增大，y 也越来越大，我们说函数 f(x)在该区间 上为增函数；如果函数 f(x)在某个区间上随自变量 x 的增大，y 越来越小，我们说函数 f(x) 在该区间上为减函数. ③不能. ④(1)在给定区间内取两个数，例如 2 和 3，因为 22<32，所以 f(x)=x2 在［0,+∞)上为增函数. (2)仿(1)，取多组数值验证均满足，所以 f(x)=x2 在［0,+∞)上为增函数. (3)任取 x1、x2∈［0,+∞),且 x10， 能断定函数 f(x)在区间(a,b)上是增函数吗? 活动：引导学生分析这种叙述与定义的等价性.让学生尝试用这种等价形式证明函数 f(x)=x 在［0,+∞)上是增函数. 讨论结果：能. 例 2 用计算机画出函数 y= 2xx- 2  的图象，根据图象指出单调区间，并用定义法证明. 思路分析：在图象上观察在哪个区间函数图象是上升的，在哪个区间函数图象是下降的，借 助于单调性的几何意义写出单调区间，再用定义证明. 教师画出图象，学生回答，如果遇到障碍，就提示利用函数单调性的几何意义写出单调区间. 点评：讨论函数单调性的三部曲： 第一步，画函数的图象； 第二步，借助单调性的几何意义写出单调区间； 第三步，利用定义加以证明. 答案：略. 变式训练 画出函数 y= 12 1   x x 的图象，根据图象指出单调区间. 活动：教师引导学生利用变换法（也可以用计算机）画出图象，根据单调性的几何意义写出 单调区间，再利用定义法证明. 答案：略. 知能训练 课本 P32 练习 2. 拓展提升 试分析函数 y=x+ x 1 的单调性. 活动：先用计算机画出图象，找出单调区间，再用定义法证明. 答案：略. 课堂小结 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成 小结. (1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性. (2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论. (3)数学思想方法：数形结合. (4)函数单调性的几何意义是:函数值的变化趋势,即图象是上升的或下降的. 设计感想 本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情 境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来 辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识. 考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对 定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔. 作业:课本 P39 习题 1.3A 组 2、3、4. (设计者：张新军)