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- 2021-06-24 发布
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§3.2 函数的基本性质
高考数学
考点一 函数的单调性及最值
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I.区间D⊆I,如果对于任意x1,x2∈D,且x1f(x2)
函数f(x)在区间D上是③ 增函数 函数f(x)在区间D上是④ 减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
考点清单
知识拓展 (a)单调函数的定义有以下两种等价形式:
∀x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,
(i) >0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;
<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.
(ii)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;
(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.
(b)复合函数的单调性
函数y=f(u),u=φ(x),在函数y=f(φ(x))的定义域上,如果y=f(u),u=φ(x)的单调性
相同,那么y=f(φ(x))单调递增;如果y=f(u),u=φ(x)的单调性相反,那么y=f(φ(x))
单调递减.
(c)函数单调性的常用结论
(i)若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)
函数.
(ii)若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相同,若k<0,则kf(x)与f(x)的单调性相反.
(iii)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y= 的单调性相反.
(iv)函数y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y= 的单调性相同.
(2)单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是单调增函数或单调减函数,则称函数f(x)在这一区
间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.
注意 单调区间只能用区间表示,当一个函数的增区间(或减区间)有多个
时,不能用“∪”连接,而应该用“和”或“,”连接.例如:y= 的单调减区
间为(-∞,0)和(0,+∞),但不能写成(-∞,0)∪(0,+∞).
2.函数的最值
前提 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意的x∈I,都有⑤ f(x)≤M
(2)存在x0∈I,使得⑥ f(x0)=M
(1)对于任意的x∈I,都有⑦ f(x)≥M
(2)存在x0∈I,使得⑧ f(x0)=M
结论 M是f(x)的⑨ 最大 值 M是f(x)的⑩ 最小 值
考点二 函数的奇偶性
1.函数的奇偶性
2.奇、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ,偶函数在关于原
点对称的区间上的单调性 相反 .
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有
f(-x)=f(x) ,那么函数f(x)就叫做偶函数
关于 y轴 对称
奇函数 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有
f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数
关于 原点 对称
(2)在公共定义域内,
(i)两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数;
(ii)两个偶函数的和、积都是偶函数;
(iii)一个奇函数、一个偶函数的积是奇函数.
考点三 函数的周期性
1.周期函数的概念
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都
有 f(x+T)=f(x) ,那么函数f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做f(x)的周
期.如果所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)
的最小正周期.
2.关于函数周期性的几个常用结论
(1)若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则f(x)的周期是 T=|a-b| .
(2)若f(x+a)=-f(x),则f(x)的周期是 T=2|a| .
(3)若f(x+a)= 或f(x+a)=- ,其中f(x)≠0,则f(x)的周期是 T=2|a| .
(4)设f(x)是R上的偶函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,
2|a|是它的一个周期.
(5)设f(x)是R上的奇函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,
4|a|是它的一个周期.
考法一 判断函数单调性的方法
知能拓展
例1 已知f(x)=ex+e-x.证明: f(x)在(0,+∞)上为增函数.
解题导引 证法一:任取x1,x2∈(0,+∞),且令x10,
∵e>1,x1+x2>0,∴ >1,∴ -1<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)0,e2x-1>0,∴f '(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.
方法总结 (1)用定义法判断函数单调性的步骤为求定义域→取值→作差
→变形→定号→单调性.
(2)用导数法判断函数单调性的步骤为求定义域→求导→解不等式f '(x)>0
(或f '(x)<0)→单调性.解析式为三次或分式或指数、对数式的复合函数的
单调性常用导数法.
例2 函数y=|x|(1-x)的增区间为 ( )
A.(-∞,0) B. C.[0,+∞) D.
解题导引 去绝对值符号转化为分段函数,画图象得增区间.
解析 y=|x|(1-x)= = = 画出图象
如图所示.
由图可知函数的增区间为 .
答案 B
方法总结 1.用图象法求单调区间的步骤:求定义域→作图象→结合图象
的升、降→单调区间.
2.性质法:在公共定义域内,若y=f(x),y=g(x)都为增(减)函数,则y=f(x)+g(x)为
增(减)函数;
在公共定义域内,若y=f(x)为增函数,y=g(x)为减函数,则y=f(x)-g(x)为增函数,
y=g(x)-f(x)为减函数.
例3 求函数f(x)=lo (-x2-2x+3)的单调区间.
解题导引 先求定义域,然后拆分函数式为y=lo u,u=-x2-2x+3,判断单调性
得单调区间.
解析 由已知得-x2-2x+3>0,∴-3c>b B.b>c>a
C.b>a>c D.a>b>c
解题导引 由f(-x)=f(x)得f(x)为偶函数,然后得出f(x)在(0,+∞)上的单调性,
从而比较大小.
解析 易知f(x)为偶函数,因为a=f(lo 3)=f(-log23)=f(log23),且log23> ,0<2-1.2
<2-1= ,所以log23> >2-1.2>0.又f(x)在区间(-∞,0)内单调递增,且f(x)为偶函数,
所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,所以f(lo 3)c>a.故选B.
答案 B
方法总结 应用函数单调性比较大小时应将自变量转化到同一个单调区
间内,然后利用函数的单调性解决.
例5 已知函数f(x)对任意a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x>0时, f(x)>1.
(1)求证:f(x)是R上的增函数;
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
解题导引 (1)任取x1,x2∈R,且令x10时,f(x)>1比较f(x1),
f(x2)的大小.
(2)由已知得f(2)=3,将不等式化为f(3m2-m-2)0,∴f(x2-x1)>1,∴f(x2)=f
(x1+
(x2-x1))=f(x1)+f(x2-x1)-1>f(x1),∴f(x)是R上的增函数.
证法二:∵f(0+0)=f(0)+f(0)-1,∴f(0)=1.
∵f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)-1=1,∴f(-x)=2-f(x).任取x1,x2∈R,且令x10,
∴f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1=f(x2)+2-f(x1)-1=f(x2)-f(x1)+1>1,
∴f(x2)-f(x1)>0,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)是R上的增函数.
(2)f(4)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3,∴f(3m2-m-
2)<3=f(2),由(1)知f(x)是R上的增函数,
∴3m2-m-2<2,∴-1x2联立解不等式组.
(3)写出不等式的解集.
例6 (1)若函数y=lo (x2-ax+3a)在区间(2,+∞)上是减函数,则a的取值范围
为 ( )
A.(-∞,-4)∪[2,+∞) B.(-4,4]
C.[-4,4) D.[-4,4]
(2)若函数f(x)= (a>0且a≠1)在R上单调递减,则实数a的取值
范围是 .
解析 (1)令t=x2-ax+3a,则y=lo t,
易知t=x2-ax+3a在 上单调递减,在 上单调递增.
∵y=lo (x2-ax+3a)在区间(2,+∞)上是减函数,∴t=x2-
ax+3a在(2,+∞)上是增
函数,且在(2,+∞)上t>0,∴2≥ ,且4-2a+3a≥0,∴a∈[-4,4].故选D.
(2)∵f(x)在R上单调递减,
∴ ∴ ≤a<1.
∴a的取值范围为 .
答案 (1)D (2)
方法总结 利用单调性求参数.视参数为已知数,依据函数的图象或单调性
定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数.
需注意:①若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上
也是单调的;
②对于分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.
考法三 函数奇偶性的判断及应用
例7 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=(x-1) ;
(2)f(x)= ;
(3)f(x)=
(4)f(x)= + ;
(5)f(x)=x2-|x-a|+2.
解析 (1)由 ≥0,得定义域为[-1,1),不关于原点对称,故f(x)为非奇非偶
函数.
(2)由 得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称,
这时f(x)= =- .
∵f(-x)=-
= =-f(x),∴f(x)为奇函数.
(3)当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x);
当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x).
∴对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都有f(-x)=f(x),
故f(x)为偶函数.
(4)由 得x=- 或x= ,
∴函数f(x)的定义域为{- , }.
又∵对任意的x∈{- , }, f(x)=0,
∴f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x).
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(5)函数f(x)的定义域为R.
当a=0时, f(x)=f(-x),∴f(x)是偶函数;
当a≠0时, f(a)=a2+2, f(-a)=a2-2|a|+2, f(a)≠f(-a),且f(a)+f(-a)=2(a2-|a|+2)=2
+ ≠0,
∴f(x)是非奇非偶函数.
方法总结 判断函数奇偶性的一般方法
1.定义法
2.图象法
3.性质法
若f(x),g(x)在其公共定义域上具有奇偶性,则奇+奇=奇;奇×奇=偶,偶+偶=
偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
例8 (1)已知函数f(x)= 的最大值为M,最小值为m,则M+m等于
( )
A.0 B.2 C.4 D.8
(2)(2019江西赣州五校协作体联考,17)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,
且当x≤0时, f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在x≤0时的图象,如图所示.
①画出函数f(x)在x>0时的图象,并写出函数f(x)(x∈R)的解析式;
②若函数g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),当a>1时,求函数g(x)的最小值.
解析 (1)易知f(x)的定义域为R,
f(x)= =2+ ,
设g(x)= ,则g(-x)=-g(x)(x∈R),∴g(x)为奇函数,∴g(x)max+g(x)min=0.
∵M=f(x)max=2+g(x)max,m=f(x)min=2+g(x)min,∴M+m=2+g(x)max+2+g(x)min=4,故选C.
(2)①f(x)在x>0时的图象如图所示.
若x>0,则-x<0,又函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,
f(x)=x2+2x,∴f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0),∴f(x)=
②由①知g(x)=x2-2x-2ax+2,其图象的对称轴方程为x=a+1,
当a>1时,a+1>2,g(x)=x2-2x-2ax+2在[1,2]上单调递减,
则g(x)在[1,2]上的最小值为g(2)=2-4a.
答案 (1)C
方法总结 函数奇偶性的应用
(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式.
抓住奇偶性讨论函数在各个分类区间上的解析式,或充分利用奇偶性作出
关于f(x)的方程,从而可得f(x)的解析式.
(2)已知带有字母系数的函数的表达式及奇偶性,求参数.常常采用待定系
数法,利用f(x)±f(-x)=0产生关于字母的恒等式,由系数的对等性可得出字母
的值.
(3)求函数的单调区间,首先应注意函数的定义域,函数的增减区间都是其
定义域的子集;其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间.
常用方法有:根据定义,利用图象和单调函数的性质等.
(4)奇函数⇔图象关于原点对称;偶函数⇔图象关于y轴对称.
因此在关于原点对称的区间上,奇函数的单调性相同;偶函数的单调性相反.
考法四 函数周期性的确定及应用
例9 (1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增
函数,则 ( )
A. f(-25)0,即x>1时,y=log3x+ -1≥2-1=1,
当且仅当log3x=1,即x=3时取“=”.
②当log3x<0,即x<1时,y≤-2-1=-3.当且仅当log3x=-1,即x= 时取“=”.
综上所述,原函数的值域为(-∞,-3]∪[1,+∞).
例11 (1)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)=min{2x,x+2,10
-x}(x≥0),则f(x)的最大值为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
(2)(2019陕西西安高新第一中学模拟,6)已知函数f(x)=5-log3x,x∈(3,27],则f
(x)的值域是 ( )
A.(2,4] B.[2,4) C.[-4,4) D.(6,9]
解题导引 (1)画出函数f(x)的图象,由图象得最大值.
(2)函数f(x)=5-log3x为减函数,利用单调性求值域.
解析
(1)作出f(x)的图象(如图实线部分),可知A(4,6)为函数f(x)图象的最高点.
(2)因为y=log3x为增函数,所以f(x)=5-log3x为减函数.
因为30可解出y的范围,从而
求出其值域.
(6)数形结合法
若函数的解析式的几何意义较明显,如距离、斜率等,可用数形结合的方法.
(7)基本不等式法
利用基本不等式:a+b≥2 (a>0,b>0).
用此法求函数值域时,要注意条件“一正,二定,三相等”.
(8)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.
(9)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.
(10)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出
最值.
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