高中数学必修1教案第三章 3_1_2用二分法求方程的近似解 8页

‎3.1.2　用二分法求方程的近似解 ‎[学习目标]　1.能用二分法求出方程的近似解.2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．‎ ‎[知识链接]‎ 现有一款手机，目前知道它的价格在500～1 000元之间，你能在最短的时间内猜出与它最近的价格吗？(误差不超过20元)，猜价格方案：(1)随机；(2)每次增加20元；(3)每次取价格范围内的中间价，采取哪一种方案好呢？‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．‎ ‎2．二分法的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：‎ ‎(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；‎ ‎(2)求区间(a，b)的中点c；‎ ‎(3)计算f(c)；‎ ‎①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；‎ ‎②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))．‎ ‎③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．‎ ‎(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．‎ 要点一　二分法概念的理解 例1　下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(　　)‎ 答案　A 解析　按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.‎ 规律方法　1.准确理解“二分法”的含义．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．‎ ‎2．“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点．‎ 跟踪演练1　(1)下列函数中，能用二分法求零点的为(　　)‎ ‎(2)用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是(　　)‎ ‎①f(x)在区间[a，b]是连续不断；②f(a)·f(b)＜0；③f(a)·f(b)＞0；④f(a)·f(b)≥0.‎ A．①② B．①③ C．①④ D．①②③‎ 答案　(1)B　(2)A 解析　(1)函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只有B选项符合．‎ ‎(2)由二分法的意义，知选A.‎ 要点二　用二分法求方程的近似解 例2　用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)．‎ 解　令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，f(0)·f(1)＜0，‎ 所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，‎ 即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．‎ 取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)＜0，‎ 又f(1)＞0，‎ 所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．‎ 如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：‎ ‎(a，b)‎ 中点c f(a)‎ f(b)‎ f()‎ ‎(0,1)‎ ‎0.5‎ f(0)＜0‎ f(1)＞0‎ f(0.5)＜0‎ ‎(0.5,1)‎ ‎0.75‎ f(0.5)＜0‎ f(1)＞0‎ f(0.75)＞0‎ ‎(0.5,0.75)‎ ‎0.625‎ f(0.5)＜0‎ f(0.75)＞0‎ f(0.625)＜0‎ ‎(0.625,0.75)‎ ‎0.687 5‎ f(0.625)＜0‎ f(0.75)＞0‎ f(0.687 5)＜0‎ 由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5＜0.1，‎ 所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.‎ 规律方法　1.二分法求方程的近似解的过程可用下面的流程图表示：‎ ‎2．求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求F(x)＝f(x)－g(x)的近似解问题．‎ 跟踪演练2　用二分法求2x＋ x＝4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2)．参考数据：‎ x ‎1.125‎ ‎1.25‎ ‎1.375‎ ‎1.5‎ ‎1.625‎ ‎1.75‎ ‎1.875‎ ‎2x ‎2.18‎ ‎2.38‎ ‎2.59‎ ‎2.83‎ ‎3.08‎ ‎3.36‎ ‎3.67‎ 解　令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4＜0，‎ f(2)＝22＋2－4＞0.‎ 区间 区间中点值xn f(xn)的值及符号 ‎(1,2)‎ x1＝1.5‎ f(x1)＝0.33＞0‎ ‎(1,1.5)‎ x2＝1.25‎ f(x2)＝－0.37＜0‎ ‎(1.25,1.5)‎ x3＝1.375‎ f(x3)＝－0.035＜0‎ ‎(1.375,1.5)‎ ‎∵|1.375－1.5|＝0.125＜0.2，‎ ‎∴2x＋x＝4在(1,2)内的近似解可取为1.375.‎ ‎1．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　)‎ A．[－2,1] B．[－1,0] C．[0,1] D．[1,2]‎ 答案　A 解析　∵f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0，‎ f(－2)·f(1)＜0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．‎ ‎2．定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)·f(b)＜0，用二分法求x0时，当f＝0时，则函数f(x)的零点是(　　)‎ A．(a，b)外的点 B．x＝ C．区间或内的任意一个实数 D．x＝a或x＝b 答案　B 解析　由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值．由f＝0，知选B.‎ ‎3．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的解所在区间为(　　)‎ A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)‎ C．(1.5,2) D．不能确定 答案　A 解析　由于f(1.25)·f(1.5)＜0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)．‎ ‎4．函数f(x)＝log2x＋2x－1的零点必落在区间(　　)‎ A. B. C. D．(1,2)‎ 答案　C 解析　f＝－＜0，f＝－＜0，f＝－1＜0，f(1)＝1＞0，f(2)＝4＞0，‎ ‎∴函数零点落在区间上．‎ ‎5．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．‎ 答案　(2,2.5)‎ 解析　f(2)＝23－2×2－5＝－1＜0，f(2.5)＝2.53－2×2.5－5＝5.625＞0，‎ ‎∴下一个有根的区间是(2,2.5)．‎ ‎1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．‎ ‎2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：‎ ‎(1)在区间[a，b]上连续不断；‎ ‎(2)f(a)·f(b)＜0.‎ 上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值.‎ 一、基础达标 ‎1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为(　　)‎ A．4,4 B．3,4‎ C．5,4 D．4,3‎ 答案　D 解析　由图象知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足f(a)·f(b)＜0，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点．‎ ‎2．为了求函数f(x)＝2x－x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值[f(x)的值精确到0.01]如下表如示：‎ x ‎0.6‎ ‎1.0‎ ‎1.4‎ ‎1.8‎ ‎2.2‎ ‎2.6‎ ‎3.0‎ f(x)‎ ‎1.16‎ ‎1.00‎ ‎0.68‎ ‎0.24‎ ‎－0.25‎ ‎－0.70‎ ‎－1.00‎ 则函数f(x)的一个零点所在的区间是(　　)‎ A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)‎ C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)‎ 答案　C 解析　∵f(1.8)·f(2.2)＝0.24×(－0.25)＜0，‎ ‎∴零点在区间(1.8,2.2)上．故选C.‎ ‎3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________，以上横线上应填的内容为(　　)‎ A．(0,0.5)，f(0.25)‎ B．(0,1)，f(0.25)‎ C．(0.5,1)，f(0.75)‎ D．(0,0.5)，f(0.125)‎ 答案　A 解析　二分法要不断地取区间的中点值进行计算．由f(0)＜0，f(0.5)＞0知x0∈(0,0.5)．再计算0与0.5的中点0.25的函数值，以判断x0的更准确位置．‎ ‎4．设方程2x＋2x＝10的根为β则β属于(　　)‎ A．(0,1) B．(1,2)‎ C．(2,3) D．(3,4)‎ 答案　C 解析　设f(x)＝2x＋2x－10，则f(x)在R上为单调增函数，故只有一个零点．f(0)＝－9，f(1)＝－6，‎ f(2)＝－2，f(3)＝4，∴f(2)·f(3)＜0.∴β∈(2,3)．‎ ‎5．函数y＝x与函数y＝lg x的图象的交点的横坐标(精确度0.1)约是(　　)‎ A．1.5 B．1.6‎ C．1.7 D．1.8‎ 答案　D 解析　设f(x)＝lg x－x，经计算f(1)＝－＜0，f(2)＝lg 2－＞0，所以方程lg x－x＝0在[1,2]内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知选项D符合要求．‎ ‎6．用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c＝，则下一个含根的区间是__________．‎ 答案　 解析　令f(x)＝ln x－2＋x，∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，f＝ln －<0，∴下一个含根的区间是.‎ ‎7．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：‎ f(1.600 0)＝0.200‎ f(1.587 5)＝0.133‎ f(1.575 0)＝0.067‎ f(1.562 5)＝0.003‎ f(1.556 2)＝－0.029‎ f(1.550 0)＝－0.060‎ 据此数据，求f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确度0.01)．‎ 解　由表中f(1.562 5)＝0.003，f(1.556 2)＝－0.029.‎ ‎∴f(1.562 5)·f(1.556 2)＜0.‎ 又|1.562 5－1.556 2|＝0.006 3＜0.01，‎ ‎∴一个零点近似值为1.562 5(不唯一)．‎ 二、能力提升 ‎8．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是(　　)‎ A．[1,4] B．[－2,1]‎ C. D. 答案　D 解析　由于第一次所取的区间为[－2,4]，‎ ‎∴第二次所取区间为[－2,1]或[1,4]，‎ 第三次所取区间为 ，，或.‎ ‎9．用二分法求方程x3－8＝0在区间(2,3)内的近似解经过________次“二分”后精确度能达到0.01?‎ 答案　7‎ 解析　设n次“二分”后精确度达到0.01，‎ ‎∵区间(2,3)的长度为1，∴<0.01，即2n>100.‎ 注意到26＝64<100,27＝128>100.‎ 故要经过7次二分后精确度达到0.01.‎ ‎10．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________．‎ 答案　4‎ 解析　设等分的最少次数为n，则由＜0.01，得2n＞10，∴n的最小值为4.‎ ‎11．画出函数f(x)＝x2－x－1的图象，并利用二分法说明方程x2－x－1＝0在[0,2]内的根的情况．‎ 解　图象如图所示，‎ 因为f(0)＝－1＜0，f(2)＝1＞0，所以方程x2－x－1＝0在(0,2)内有根x0；取(0,2)的中点1，因为f(1)＝－1＜0，所以f(1)·f(2)＜0，根x0在区间(1,2)内；再取(1,2)的中点1.5，f(1.5)＝－0.25＜0，所以f(1.5)·f(2)＜0，根x0在区间(1.5,2)内；取(1.5,2)的中点1.75，f(1.75)＝0.312 5＞0，所以f(1.5)·f(1.75)＜0，根x0在区间(1.5,1.75)内．这样继续下去，可以得到满足一定精确度的方程的近似根．‎ 三、探究与创新 ‎12．求方程ln x＋x－3＝0在(2,3)内的近似解(精确度为0.1)．‎ 解　令f(x)＝ln x＋x－3，求函数f(x)＝0在(2,3)内的零点．‎ ‎∵f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3＞0，取(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：‎ 区间 中点的值 中点函数近似值 ‎(2,3)‎ ‎2.5‎ ‎0.416‎ ‎(2,2.5)‎ ‎2.25‎ ‎0.061‎ ‎(2,2.25)‎ ‎2.125‎ ‎－0.121‎ ‎(2.125,2.25)‎ ‎2.187 5‎ ‎－0.030‎ ‎∵2.25－2.187 5＝0.062 5＜0.1，‎ ‎∴在区间(2.187 5,2.25)内任意实数都是函数的零点的近似值，即方程的近似解可取为2.25.‎ ‎13．用二分法求的近似值(精确度0.1)．‎ 解　设x＝，则x2＝5，即x2－5＝0，‎ 令f(x)＝x2－5.‎ 因为f(2.2)＝－0.16＜0.f(2.4)＝0.76＞0，‎ 所以f(2.2)·f(2.4)＜0，‎ 说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，‎ 取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，则f(2.3)＝0.29.‎ 因为f(2.2)·f(2.3)＜0，∴x0∈(2.2,2.3)，‎ 再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，‎ f(2.25)＝0.062 5.‎ 因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)．由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以的近似值可取为2.25.‎