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- 2021-06-24 发布
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专题35一元二次不等式及其解法
最新考纲
1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
基础知识融会贯通
1．“三个二次”的关系
2.常用结论
(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法
不等式
解集
ab
(x－a)·(x－b)>0
{x|xb}
{x|x≠a}
{x|xa}
(x－a)·(x－b)<0
{x|a0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)．
(2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．
重点难点突破
【题型一】一元二次不等式的求解
命题点1 不含参的不等式
【典型例题】
不等式x2+5x﹣6＞0的解集是（ ）
A．{x|x＜﹣2或x＞3} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|x＜﹣6或x＞l} D．{x|﹣6＜x＜l}
【解答】解：不等式x2+5x﹣6＞0化为（x+6）（x﹣1）＞0，
解得x＜﹣6或x＞1，
∴不等式的解集是{x|x＜﹣6或x＞1}．
故选：C．
【再练一题】
不等式6x2+17x+12＜0的解集是 ．
【解答】解：不等式6x2+17x+12＜0可化为（2x+3）（3x+4）＜0，
解得x，
∴所求不等式的解集是（，）．
故答案为：（，）．
命题点2 含参不等式
【典型例题】
设a＞1，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B．（a，+∞）
C． D．
【解答】解：a＞1时，1﹣a＜0，且a，
则关于x的不等式可化为（x﹣a）（x）＞0，
解得x或x＞a，
所以不等式的解集为（﹣∞，）∪（a，+∞）．
故选：D．
【再练一题】
已知不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|α＜x＜β}（α＞0），则不等式cx2+bx+a＞0的解集是（ ）
A．（，） B．（﹣∞，）∪（，+∞）
C．{x|α＜x＜β} D．（﹣∞，α）∪（β，+∞）
【解答】解：不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|α＜x＜β}（α＞0），
则α，β是一元二次方程ax2+bx+c＝0的实数根，且a＜0；
∴α+β，α•β；
∴不等式cx2+bx+a＞0化为x2x+1＜0，
∴αβx2﹣（α+β）x+1＜0；
化为（αx﹣1）（βx﹣1）＜0；
又0＜α＜β，∴0；
∴不等式cx2+bx+a＜0的解集为：{x|x}．
故选：A．
思维升华 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．
(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；
(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
【题型二】一元二次不等式恒成立问题
命题点1 在R上的恒成立问题
【典型例题】
若不等式ax2﹣x+a＞0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．a或a B．a或a＜0
C．a D．
【解答】解：不等式ax2﹣x+a＞0对一切实数x都成立，
则，
即，
解得a，
所以实数a的取值范围是a．
故选：C．
【再练一题】
已知关于x的不等式x2﹣x+a﹣1≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【解答】解：关于x的不等式x2﹣x+a﹣1≥0在R上恒成立，
所以二次函数的图象与x轴最多有一个交点，
所以判别式△＝（﹣1）2﹣4（a﹣1）≤0，
解得，
所以a的取值范围为．
故答案为：[，+∞）．
命题点2 在给定区间上的恒成立问题
【典型例题】
已知[（m﹣1）x+1]（x﹣1）＞0，其中0＜m＜2，
（1）解不等式．
（2）若x＞1时，不等式恒成立，求实数m的范围．
【解答】解：（1）[（m﹣1）x+1]（x﹣1）＞0
当m﹣1＝0时，不等式为（x﹣1）＞0即{x|x＞1}．
当1﹣m＜0时，即1＜m＜2，不等式解集为
当0＜1﹣m＜1时，即0＜m＜1，不等式解集为
综上得：当m＝1时解集为{x|x＞1}，当0＜m＜1时解集为
当1＜m＜2时，不等式解集为
（2）x＞1时，原命题化为（m﹣1）x+1＞0恒成立，∴（m﹣1），∴1≤m＜2
【再练一题】
已知关于x的不等式：x2﹣mx+m＞0，其中m为参数．
（1）若该不等式的解集为R，求m的取值范围；
（2）当x＞1时，该不等式恒成立，求m的取值范围．
【解答】解：（1）关于x的不等式x2﹣mx+m＞0的解集为R，
则△＜0，即m2﹣4m＜0；……………………………
解得0＜m＜4，
∴m的取值范围是（0，4）；……………………………
（2）当x＞1时，关于x的不等式x2﹣mx+m＞0恒成立，
等价于m恒成立，……………………………
设f（x），x＞1；
则f（x）（x﹣1）2≥22＝4，
当且仅当x＝2时取“＝”； ……………………………
∴m的取值范围是（﹣∞，4）． ……………………………
命题点3 给定参数范围的恒成立问题
【典型例题】
已知不等式2x﹣1＞m（x2﹣1）．
（1）若对于所有实数x，不等式恒成立，求m的取值范围；
（2）若对于m∈[﹣2，2]不等式恒成立，求x的取值范围．
【解答】解：（1）原不等式等价于mx2﹣2x+（1﹣m）＜0对任意实数x恒成立
当m＝0时，﹣2x+1＜0⇒x不恒成立
∴，
∴m无解．故m不存在．
（2）设f（m）＝（x2﹣1）m﹣（2x﹣1）
要使f（m）＜0在[﹣2，2]上恒成立，当且仅当
⇔
∴
∴x的取值范围是{x|}
【再练一题】
已知不等式mx2﹣2x﹣m+1＜0．
（1）若对任意实数x上述不等式恒成立，求m的取值范围；
（2）若对一切m∈[﹣2，2]上述不等式恒成立，求x的取值范围．
【解答】解：（1）若对任意实数x上述不等式恒成立，
当m＝0时，﹣2x+1＜0显然不恒成立，
当m≠0时，要使对任意实数x上述不等式恒成立，
∴m＜0，且△＜0，
∴m2﹣m+1＜0，解得x∈Φ；
故不存在m，使得mx2﹣2x﹣m+1＜0对任意实数x上述不等式恒成立．
（2）若对一切m∈[﹣2，2]上述不等式恒成立，
设g（m）＝m（x2﹣1）﹣2x+1，
∴g（﹣2）＜0，且g（2）＜0，
∴x，
故x的范围为x.
思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
跟踪训练
【题型三】一元二次不等式的应用
如果关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，那么对于函数应有（ ）
A．f（5）＜f（2）＜f（﹣1） B．f（2）＜f（5）＜f（﹣1）
C．f（﹣1）＜f（2）＜f（5） D．f（2）＜f（﹣1）＜f（5）
【解答】解：∵关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，
∴a＞0，函数的对称轴为x＝1，
∴f（﹣1）＝f（3），函数在（1，+∞）上单调递增，
∴f（2）＜f（3）＜f（5），
∴f（2）＜f（﹣1）＜f（5），
故选：D．
【再练一题】
已知关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），
根据韦达定理，可得：，x1+x2＝4a，
那么：4a．
∵a＜0，
∴﹣（4a）≥2，即4a
故的最大值为．
故选：D．
思维升华 求解不等式应用题的四个步骤
(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．
(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．
(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义．
(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．
基础知识训练
1．【贵州省铜仁市思南中学2018-2019学年高一下学期期中考试】不等式的解集为空集，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为不等式的解集为空集,
所以的图象与轴没有交点或有唯一交点，
有一个或没有实根，
,解得,
的取值范围是，故选B.
2．【北省宜昌市部分示范高中教学协作体2018-2019学年高一下学期期中考试】不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
当时，不等式即，恒成立．
当时，由题意可得，且，解得．
综上，实数的取值范围是，故选C．
3．【安徽省安庆市第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】C
【解析】
解：显然a=0，不等式不恒成立，所以不等式对一切实数都成立，
则，
即，
解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
4．【黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018-2019学年高二下学期期中考试】不等式的解集为（-4,1），则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣4，1），
则不等式对应方程的实数根为﹣4和1，且a＜0；
由根与系数的关系知，，
∴，
∴不等式b（x2+1）﹣a（x+3）+c＞0化为
3a（x2+1）﹣a（x+3）﹣4a＞0，
即3（x2+1）﹣（x+3）﹣4＜0，
解得﹣1＜x，
∴该不等式的解集为（﹣1，）．
故选：A．
5．【广东省佛山市南海区桂城中学2018-2019学年第二学期高一数学第二次阶段考试】已知关于的不等式的解集是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
关于的不等式的解集是
方程的解为：和
由根与系数的关系得：，，即
本题正确选项：
6．【广东省深圳市四校发展联盟体2018-2019学年高二第二学期期中考试】在R上定义运算，若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由题意可得：
即：对任意恒成立
设
则（当且仅当，即时取等号）
即 ，即
本题正确选项：
7．【黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】在上定义运算，若存在使不等式成立，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
令
因为
即
也就是
在时，取最大值为6
所以
解得
故选C
8．【山东省济宁市2019届高三二模】已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由函数的解析式易知恒成立，则，
原问题等价于函数的图像恒不在函数图像的下方；
绘制函数的图像，如图所示，
函数表示过定点的直线，很明显时不满足题意，时满足题意，
当时，考查如图所示的临界条件，即直线与二次函数相切，
，设切点坐标为，切线的斜率为，
则切线方程过点，
即：，
数形结合可知，故，此时切线的斜率，
故实数的取值范围为.
故选：D.
9．【江西师范大学附属中学2018-2019学年高一下期期中考试】已知正实数满足，若对任意满足条件的，都有恒成立，则实数的最大值为( )
A． B．7 C． D．8
【答案】B
【解析】
，且，
故，整理即，
又均为正实数，故，
又对于任意满足的正实数，均有恒成立，
整理可得恒成立，令，
令，时
所以在上递增，
，因此，
实数的最大值为7，故选B.
10．【湖北省荆州市沙市中学2018-2019学年高一5月月考】若正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意知：
， ，
（当且仅当，即时取等号）
，解得：
本题正确选项：
11．【福建省上杭县第一中学2018-2019学年高一5月月考】若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由题有解
，当且仅当y=2,x=4等号成立
则，解得实数的取值范围为
故选：B
12．【河北廊坊2018-2019学年高一年级第二学期期中联合调研考试高一】已知函数，如果不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
解：由的解集是，则
故有，即.
由
解得
故不等式的解集是
故选A.
13．【内蒙古包头市第九中学2018-2019学年高一下学期期中考试】二次不等式的解集为，则的值为_______.
【答案】6
【解析】
二次不等式的解集为，
则，且的两个根为和.
所以，解得.
所以
14．【贵州省凯里市第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】已知不等式的解集为，则的最小值为__________.
【答案】8
【解析】
由题知，则，
则=8，当且仅当，
即时取等号.故的最小值为8.
故答案为：8
15．【内蒙古赤峰二中2018-2019学年高一下学期第二次月考】不等式的解集为 或 ，则实数a的取值范围______．
【答案】
【解析】
由题意可得和是方程的根，
又，
所以，故.
16．【江西省南昌市第十中学2018-2019学年高一下学期第二次月考】已知关于的不等式的解集是，则的解集为_____.
【答案】
【解析】
由题意，关于的不等式的解集是，
则，解得，
所以不等式，即为，
即，即，解得
即不等式的解集为．
17．【四川省大竹中学2018-2019学年高一第二学期5月月考考前模拟】已知函数.
（1）求关于的不等式的解集；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
（1）由得，即，
所以的解集为；
（2）不等式对任意恒成立，
由
得，的最小值为1，
所以恒成立，即，
所以，
所以实数的取值范围为.
18．【福建省三明市三地三校2018-2019学年高一下学期期中联考】已知函数
（1）解不等式；
（2）若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1） 或
所求不等式解集为：
（2）当时，可化为：
又（当且仅当，即时取等号）
即的取值范围为：
19．【内蒙古赤峰市2018-2019学年高一下学期期中考试】已知函数.
(1)当m=-4时，解不等式；
(2)若m>0，的解集为(b，a)，求的最大値.
【答案】(1) [4,1]；(2)-3
【解析】
（1）当m＝﹣4时，不等式f（x）≤0，即为x2+3x﹣4≤0，可得：（x+4）（x﹣1）≤0，即不等式f（x）≤0的解集为[﹣4,1]．
(2)由题的根即为a,b,故a+b=-3,ab=m>0，故a,b同负，
则= 当且仅当 等号成立
20．【黑龙江省哈尔滨市呼兰一中、阿城二中、宾县三中、尚志五中四校2018-2019学年高一下学期期中考试】已知函数.
（1）当时，求不等式的解集
（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）
即不等式的解集为，
（2）时取最小值，
因此
21．【安徽省固镇县第一中学2018-2019学年高二5月月考】设命题:实数满足；命题：实数满足
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若,且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
解：（1）由得;
当时，，即P为真时，
由得，即，即q为真时，
因为为真，则p真q真，所以
（2）由得；，又，
所以m＜x＜3m,
由得，即；
设，
若的充分不必要条件
则A是B 的真子集，所以即
22．【湖北省荆州市沙市中学2018-2019学年高一5月月考】设函数
（I）若，且对于，有恒成立，求的取值范围；
（II）若，解关于的不等式
【答案】（I）；（II）见解析.
【解析】
（I）当时，，此时
当时，恒成立， 即恒成立
设，则且，
函数在区间上是单调递减的
综上所述：
（II） 解不等式即解不等式
当时，原不等式等价于，解得：
当时，原不等式等价于
令，解得：，
若，则，解得：或
若，则，解得：
若则，解得：或
若，则，解得：
综上，当，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当
时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为
能力提升训练
1．【2019年河北省藁城市第一中学高一下学期7月月考】设，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
a＞1时，1﹣a＜0，且a，
则关于x的不等式可化为（x﹣a）（x）＞0，
解得x或x＞a，
所以不等式的解集为（﹣∞，）∪（a，+∞）．
故选：D．
2．【河南省濮阳市2018-2019学年高二下学期升级考试】设是关于的一元二次方程的两个实根，则的最小值是（ ）
A． B．18 C．8 D．-6
【答案】C
【解析】
因为是关于的一元二次方程的两个实根
所以由韦达定理得 ，且
所以
且或
由二次函数的性质知，当时，函数取得最小值为
即的最小值为
故选C.
3．【江苏省无锡市锡山区天一中学2019年高一期末】已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】
当时，不等式为恒成立，符合题意；
当时，若不等式对任意恒成立，
则，解得；
当时，不等式不能对任意恒成立。
综上，的取值范围是.
4．【江西省南昌市东湖区第二中学2018-2019学年高二下学期期末】已知，且，若对任意的正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A．或 B．或
C． D．
【答案】D
【解析】
，
当且仅当，即时取等号
，解得：
本题正确选项：
5．【宁夏回族自治区银川一中2018-2019高二下学期期中考试】若存在，使不等式成立，则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
令，对称轴方程为，
若存在，使不等式成立，
等价于，
当时，即，，解得，
因为，所以；
当时，即，，解得，
因为，所以；
因为，所以.
故选C.
6．【浙江省绍兴市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】已知,若关于的不等式＞的解集中的整数恰有3个，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为＞，所以，
因为，且解集中的整数恰有3个，
所以
因为，所以，
从而，即，
因为，所以，选C.
7．【安徽省淮南市第一中学2018-2019年高一年级第二学期第二次段考】已知关于的不等式的解集为.
（1）求实数的值；
（2）解关于的不等式.（为常数）
【答案】(1) ; (2)见解析
【解析】
（1）由不等式解集为得方程仅有一解，由得，，
从而.
（2）原不等式可以变形为，所以
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
8．【浙江省嘉兴市2018-2019学年高一下学期期末考试】已知函数.
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）当时，一元二次不等式的解为，故不等式的解集为.
（Ⅱ）当时，恒成立，
即恒成立，令
因，当时等号成立，故的最大值为，故.
9．【浙江“七彩阳光”新高考研究联盟2018-2019学年高一下学期期中考试】设函数．
（Ⅰ）当时，解不等式：；
（Ⅱ）当时，存在最小值，求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.
【解析】
设2x=t（t＞0），则，
（Ⅰ）当时，，即或
∵t＞0，∴2x＞8，即x＞3，
∴不等式的解集是：{x|x＞3}．
（Ⅱ）当时，必有对称轴，即0＜＜2，
最小值为，化简得，
由于关于的函数单调递增，故最多有一个实根。
而当时，所以的值为1．
10．【安徽省淮南市第一中学2018-2019年高一年级第二学期第二次段考】设函数，.已知关于的不等式的解集恰好为.
(1)求；
(2)对于使得恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
（1）由题意知：的二根为、
即：的二根为、
（舍）或
满足题意
故
（2）
又当且仅当 等号成立
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