2019-2020学年高中数学课时作业13椭圆的参数方程北师大版选修4-4 7页

课时作业(十三)‎ ‎1．参数方程(φ为参数)表示的曲线是(　　)‎ A．以(±，0)为焦点的椭圆 B．以(±4，0)为焦点的椭圆 C．离心率为的椭圆 D．离心率为的椭圆 答案　A 解析　⇒ 平方相加，得＋＝1，∴c2＝16－9＝7.‎ ‎∴c＝，∴焦点为(±，0)．‎ ‎2．椭圆x2＋4y2＝1的参数方程为(φ为参数)(　　)‎ A.　　　　　 B. C. D. 答案　B ‎3．曲线C：(φ为参数)的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　由得 ‎∴＋＝cos2φ＋sin2φ＝1.‎ ‎∴方程的曲线为椭圆，由a2＝9，b2＝5，得c2＝4.‎ ‎∴离心率e＝＝.‎ ‎4．设O是椭圆的中心，P是椭圆上对应于φ＝的点，那么直线OP的斜率为(　　)‎ 7‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　当φ＝时，x＝3cos＝，y＝2sin＝1，‎ ‎∴kOP＝＝＝.‎ ‎5．曲线C1：与C2：(0≤θ≤π)的交点对应的θ值为(　　)‎ A.或 B.或 C．0或 D.或 答案　D 解析　根据题意有 ‎∴(sinθ－1)＝cosθ，∴sinθ－cosθ＝.‎ ‎∴2sin(θ－)＝，∴sin(θ－)＝.‎ ‎∵0≤θ≤π，∴θ＝或.‎ ‎6．椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－4＝0的距离最小值为(　　)‎ A. B. C. D．0‎ 答案　A 解析　设椭圆上任意一点P(3cosθ，2sinθ)，‎ 由点到直线距离公式，得 d＝＝.‎ ‎∴dmin＝＝.‎ ‎7．已知点P是椭圆(θ为参数)上一点，点O是坐标原点，OP倾斜角为，则|OP|等于(　　)‎ 7‎ A. B．2 C. D．2 答案　C 解析　设P点坐标为(4cosθ，2sinθ)，∵OP的倾斜角为，∴4cosθ＝|OP|·cos，2sinθ＝|OP|·sin，∴|OP|＝.‎ ‎8．定点(2a，0)和椭圆(θ为参数)上各点连线段的中点轨迹方程是(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 答案　A 解析　设中点坐标为(x，y)，椭圆上任意一点坐标为(acosθ，bsinθ)，∴消去θ，得＋＝1，故选A.‎ ‎9．椭圆(φ为参数)内接正方形的面积是________．‎ 答案　 解析　设内接正方形在第一象限的顶点为(4cosφ，3sinφ)，‎ ‎∴4cosφ＝3sinφ，∴tanφ＝.∴sinφ＝，cosφ＝.‎ S＝4·4cosφ·3sinφ＝48··＝.‎ ‎10．已知点P是曲线(φ为参数，0≤φ≤π)上一点，O为坐标原点，直线PO的倾斜角为，则P点坐标是________．‎ 答案　(，)‎ 解析　将曲线化为普通方程，得＋＝1.‎ 7‎ 因为直线OP的倾斜角为，所以其斜率为1.‎ 则直线OP的方程为y＝x，联立方程组解得x＝y＝，即P点坐标为(，)．‎ ‎11．P(x，y)是曲线＋＝1上的动点，则x＋y的最大值是________．‎ 答案　5‎ 解析　令(θ为参数)，‎ 则x＋y＝4cosθ＋3sinθ＝5sin(θ＋φ)，‎ ‎∴最大值为5.‎ ‎12．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为________．‎ 答案　2‎ 解析　本题考查了参数方程与极坐标知识．‎ 由题意知C1方程为＋＝1，表示椭圆；而C2方程即ρcosθ－ρsinθ＋1＝0表示直线x－y＋1＝0，由C1和C2方程联立，得消去y，得7x2＋8x－8＝0，由Δ＝64＋4×7×8>0知曲线C1与曲线C2有两个交点．‎ ‎13．对任意实数，直线y＝x＋b与椭圆(0≤θ≤2π)恒有公共点，则b的取值范围是________．‎ 答案　[－2，2]‎ 解析　将(2cosθ，4sinθ)代入y＝x＋b，得 ‎4sinθ＝2cosθ＋b.‎ ‎∵恒有公共点，∴以上方程有解．‎ 令f(θ)＝4sinθ－2cosθ＝2sin(θ＋φ)．‎ ‎∴－2≤f(θ)≤2.∴－2≤b≤2.‎ ‎14．在椭圆＋＝1上找一点，使这一点到直线x－2y－12＝0的距离最小．‎ 7‎ 解析　设椭圆的参数方程为 椭圆上的任意一点(x，y)到直线x－2y－12＝0的距离为 d＝＝|cosθ－sinθ－3|‎ ‎＝|2cos(θ＋)－3|，‎ 当cos(θ＋)＝1时，dmin＝，此时所求点为(2，－3)．‎ ‎15．已知在平面直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为(θ为参数)，定点A(0，－)，F1，F2是圆锥曲线C的左、右焦点．‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F1且平行于直线AF2的直线l的极坐标方程；‎ ‎(2)设(1)中直线l与圆锥曲线C交于M，N两点，求|F1M|·|F1N|.‎ 解析　(1)圆锥曲线C的参数方程为(θ为参数)，‎ ‎∴普通方程为＋＝1.‎ ‎∵A(0，－)，F2(1，0)，F1(－1，0)，‎ ‎∴kAF2＝，l：y＝(x＋1)，‎ ‎∴直线l的极坐标方程为 ρsinθ＝ρcosθ＋⇒2ρsin(θ－)＝.‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数)，‎ 代入椭圆方程，得5t2－4t－12＝0，‎ ‎∴t1t2＝－，∴|F1M|·|F1N|＝|t1t2|＝.‎ ‎1．当参数θ变化时，由点P(2cosθ，3sinθ)所确定的曲线过点(　　)‎ A．(2，3) B．(1，5)‎ C．(0，) D．(2，0)‎ 答案　D 解析　当2cosθ＝2，即cosθ＝1时，3sinθ＝0.‎ 7‎ ‎2．把椭圆的普通方程9x2＋4y2＝36化为参数方程是________．‎ 答案　(φ为参数)‎ 解析　把椭圆的普通方程9x2＋4y2＝36化为＋＝1，则b＝2，a＝3，其参数方程为(φ为参数)．‎ ‎3．参数方程(θ为参数)和极坐标方程ρ＝4sinθ所表示的图形分别是________．‎ 答案　椭圆和圆 解析　把参数方程化为普通方程是＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆；把极坐标方程ρ＝4sinθ两边都乘ρ，得ρ2＝4ρsinθ，化为直角坐标方程是x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，表示圆心在(0，2)的圆．‎ ‎4．(2012·新课标全国)已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD的顶点都在C1上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，)．‎ ‎(1)求点A，B，C，D的直角坐标；‎ ‎(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．‎ 解析　(1)由已知可得 A(2cos，2sin)，‎ B(2cos(＋)，2sin(＋))，‎ C(2cos(＋π)，2sin(＋π))，‎ D(2cos(＋)，2sin(＋))，‎ 即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．‎ ‎(2)设P(2cosφ，3sinφ)，‎ 令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则 S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.‎ 因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32，52]．‎ 7‎ 7‎