高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1.7.1 定积分在几何中的应用 13页

1.7.1 定积分在几何中的应用 明目标、知重点 会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积． 1．当 x∈a，b]时，若 f(x)>0，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲 边梯形的面积 S＝ʃb af(x)dx. 2．当 x∈a，b]时，若 f(x)<0，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)围成的曲边 梯形的面积 S＝－ʃb af(x)dx. 3．当 x∈a，b]时，若 f(x)>g(x)>0，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)和曲线 y＝f(x)，y＝g(x)围 成的平面图形的面积 S＝ʃb af(x)－g(x)]dx.(如图) 探究点一 求不分割型图形的面积 思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？ 答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算 定积分即可． 例 1 计算由曲线 y2＝x，y＝x2 所围图形的面积 S. 解 由 y2＝x， y＝x2 得交点的横坐标为 x＝0 及 x＝1. 因此，所求图形的面积为 S＝S 曲边梯形 OABC—S 曲边梯形 OABD ＝ʃ1 0 xdx－ʃ1 0x2dx ＝2 3 x3 2 |1 0－1 3 x3|1 0 ＝2 3 －1 3 ＝1 3 . 反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤： (1)根据题意画出图形； (2)找出范围，确定积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)将面积用定积分表示； (5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果． 跟踪训练 1 求由抛物线 y＝x2－4 与直线 y＝－x＋2 所围成图形的面积． 解 由 y＝x2－4 y＝－x＋2 得 x＝－3 y＝5 或 x＝2 y＝0 ， 所以直线 y＝－x＋2 与抛物线 y＝x2－4 的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为 S， 根据图形可得 S＝ʃ2 －3(－x＋2)dx－ʃ2 －3(x2－4)dx ＝(2x－1 2 x2)|2 －3－(1 3 x3－4x)|2 －3 ＝25 2 －(－25 3 )＝125 6 . 探究点二 分割型图形面积的求解 思考 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲 线不同时，这种图形的面积如何求呢？ 答 求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再 求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下． 例 2 计算由直线 y＝x－4，曲线 y＝ 2x以及 x 轴所围图形的面积 S. 解 方法一 作出直线 y＝x－4，曲线 y＝ 2x的草图． 解方程组 y＝ 2x， y＝x－4 得直线 y＝x－4 与曲线 y＝ 2x交点的坐标为(8,4)． 直线 y＝x－4 与 x 轴的交点为(4,0)． 因此，所求图形的面积为 S＝S1＋S2 ＝ʃ4 0 2xdx＋[ʃ 8 4 2xdx－ʃ 8 4x－4dx] ＝2 2 3 3 2x |4 0＋2 2 3 3 2x |8 4－1 2 (x－4)2|8 4 ＝40 3 . 方法二 把 y 看成积分变量，则 S＝ʃ4 0(y＋4－1 2 y2)dy＝(1 2 y2＋4y－1 6 y3)|4 0 ＝40 3 . 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出 交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选 x 运算较繁锁，则积分变量可选 y，同时要更 换积分上、下限． 跟踪训练 2 求由曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－1 3 x 所围成图形的面积． 解 画出图形，如图所示． 解方程组 y＝ x， x＋y＝2， y＝ x， y＝－1 3 x， 及 x＋y＝2， y＝－1 3 x， 得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)， 所以 S＝ʃ1 0 x－(－1 3 x)]dx＋ʃ3 1(2－x)－(－1 3 x)]dx ＝ʃ1 0( x＋1 3 x)dx＋ʃ3 1(2－x＋1 3 x)dx ＝(2 3 x3 2 ＋1 6 x2)|1 0＋(2x－1 2 x2＋1 6 x2)|3 1 ＝2 3 ＋1 6 ＋(2x－1 3 x2)|3 1 ＝5 6 ＋6－1 3 ×9－2＋1 3 ＝13 6 . 探究点三 定积分的综合应用 例 3 在曲线 y＝x2(x≥0)上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成的面积为 1 12 ，试 求： 切点 A 的坐标以及在切点 A 处的切线方程． 解 如图，设切点 A(x0，y0)， 其中 x0≠0， 由 y′＝2x，过点 A 的切线方程为 y－y0＝2x0(x－x0)， 即 y＝2x0x－x2 0， 令 y＝0，得 x＝x0 2 ，即 C(x0 2 ，0)， 设由曲线和过点 A 的切线与 x 轴围成图形的面积为 S， 则 S＝S 曲边△AOB－S△ABC， ∵S 曲边△AOB＝ʃx00x2dx＝1 3 x3|x00＝1 3 x3 0， S△ABC＝1 2 |BC|·|AB| ＝1 2 (x0－x0 2 )·x2 0＝1 4 x3 0. ∴S＝1 3 x3 0－1 4 x3 0＝ 1 12 x3 0＝ 1 12 . ∴x0＝1， 从而切点为 A(1,1)， 切线方程为 2x－y－1＝0. 反思与感悟 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点 的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出 所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决． 跟踪训练 3 如图所示，直线 y＝kx 分抛物线 y＝x－x2 与 x 轴所围图形为面积相等的两部分， 求 k 的值． 解 抛物线 y＝x－x2 与 x 轴两交点的横坐标为 x1＝0，x2＝1， 所以，抛物线与 x 轴所围图形的面积 S＝ʃ1 0(x－x2)dx＝ x2 2 －1 3 x3 |1 0＝1 6 . 又 y＝x－x2， y＝kx， 由此可得，抛物线 y＝x－x2 与 y＝kx 两交点的横坐标为 x3＝0，x4＝1－k， 所以，S 2 ＝ʃ1－k 0 (x－x2－kx)dx ＝ 1－k 2 x2－1 3 x3 |1－k 0 ＝1 6 (1－k)3. 又知 S＝1 6 ，所以(1－k)3＝1 2 ， 于是 k＝1－ 3 1 2 ＝1－ 3 4 2 . 1．在下面所给图形的面积 S 及相应表达式中，正确的有( ) S＝ʃa bf(x)－g(x)]dx S＝ʃ8 0(2 2x－2x＋8)dx ① ② S＝ʃ4 1f(x)dx－ʃ7 4f(x)dx S＝ʃ a 0[gx－fx]dx＋ʃ b a[fx－gx]dx ③ ④ A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 答案 D 解析 ①应是 S＝ʃb af(x)－g(x)]dx， ②应是 S＝ʃ8 02 2xdx－ʃ8 4(2x－8)dx， ③和④正确，故选 D. 2．曲线 y＝cos x(0≤x≤3 2 π)与坐标轴所围图形的面积是( ) A．2 B．3 C.5 2 D．4 答案 B 解析 S＝ π 2 0 cos xdx－ 3π 2 π 2  cos xdx ＝sin x|－sin x| 3π 2 π 2 ＝sin π 2 －sin 0－sin 3π 2 ＋sin π 2 ＝1－0＋1＋1＝3. 3．由曲线 y＝x2 与直线 y＝2x 所围成的平面图形的面积为________． 答案 4 3 解析 解方程组 y＝2x， y＝x2， 得 x＝0， y＝0， x＝2， y＝4. ∴曲线 y＝x2 与直线 y＝2x 交点为(2,4)，(0,0)． ∴S＝ʃ2 0(2x－x2)dx＝(x2－1 3 x3)|2 0 ＝(4－8 3 )－0＝4 3 . 4．由曲线 y＝x2＋4 与直线 y＝5x，x＝0，x＝4 所围成平面图形的面积是________． 答案 19 3 解析 由图形可得 S＝ʃ1 0(x2＋4－5x)dx＋ʃ4 1(5x－x2－4)dx＝(1 3 x3＋4x－5 2 x2)|1 0＋ (5 2 x2－1 3 x3－4x)|4 1 ＝1 3 ＋4－5 2 ＋5 2 ×42－1 3 ×43－4×4－5 2 ＋1 3 ＋4＝19 3 . 呈重点、现规律] 对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时 (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标． (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差． 这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定 积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的． 一、基础过关 1．用 S 表示图中阴影部分的面积，则 S 的值是( ) A．ʃc af(x)dx B．|ʃc af(x)dx| C．ʃb af(x)dx＋ʃc bf(x)dx D．ʃc bf(x)dx－ʃb af(x)dx 答案 D 解析 ∵x∈a，b]时，f(x)<0，x∈b，c]时，f(x)>0， ∴阴影部分的面积 S＝ʃc bf(x)dx－ʃb af(x)dx. 2．直线 l 过抛物线 C：x2＝4y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的面积等于( ) A.4 3 B．2 C.8 3 D.16 2 3 答案 C 解析 ∵抛物线方程为 x2＝4y， ∴其焦点坐标为 F(0,1)，故直线 l 的方程为 y＝1. 如图所示，可知 l 与 C 围成的图形的面积等于矩形 OABF 的面积与函数 y ＝1 4 x2 的图象和 x 轴正半轴及直线 x＝2 围成的图形的面积的差的 2 倍(图 中阴影部分的 2 倍)， 即 S＝4－2ʃ2 0 x2 4 dx＝ 4－2·x3 12|2 0＝4－4 3 ＝8 3 . 3．若 y＝f(x)与 y＝g(x)是 a，b]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线 x＝a，x＝ b 所围成的平面区域的面积为( ) A．∫baf(x)－g(x)]dx B．∫bag(x)－f(x)]dx C．∫ba|f(x)－g(x)|dx D.|∫ba[fx－gx]dx| 答案 C 解析 当 f(x)＞g(x)时， 所求面积为∫baf(x)－g(x)]dx； 当 f(x)≤g(x)时，所求面积为∫bag(x)－f(x)]dx. 综上，所求面积为∫ba|f(x)－g(x)|dx. 4．曲线 y＝x2－1 与 x 轴所围成图形的面积等于( ) A.1 3 B.2 3 C．1 D.4 3 答案 D 解析 函数 y＝x2－1 与 x 轴的交点为(－1,0)，(1,0)，且函数图象关于 y 轴对称，故所求面 积为 S＝2ʃ1 0(1－x2)dx＝2(x－1 3 x3)|1 0 ＝2×2 3 ＝4 3 . 5．由曲线 y＝ x与 y＝x3 所围成的图形的面积可用定积分表示为________． 答案 ʃ1 0( x－x3)dx 解析 画出 y＝ x和 y＝x3 的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组 y＝ x y＝x3 得交点的横坐标为 x＝0 及 x＝1.因此，所求图形的面积为 S＝ʃ1 0( x－x3)dx. 6．由 y＝x2，y＝1 4 x2 及 x＝1 围成的图形的面积 S＝______. 答案 1 4 解析 图形如图所示： S＝ʃ1 0x2dx－ʃ1 0 1 4 x2dx ＝ʃ1 0 3 4 x2dx ＝1 4 x3|1 0＝1 4 . 二、能力提升 7．设 f(x)＝ x2， x∈[0，1]， 2－x， x∈1，2]， 则ʃ2 0f(x)dx 等于( ) A.3 4 B.4 5 C.5 6 D．不存在 答案 C 解析 数形结合，如图， ʃ2 0f(x)dx＝ʃ1 0x2dx＋ʃ2 1(2－x)dx ＝1 3 x3|1 0＋(2x－1 2 x2)|2 1 ＝1 3 ＋(4－2－2＋1 2 )＝5 6 . 8．若两曲线 y＝x2 与 y＝cx3(c>0)围成图形的面积是2 3 ，则 c 等于( ) A.1 3 B.1 2 C．1 D.2 3 答案 B 解析 由 y＝x2 y＝cx3 得 x＝0 或 x＝1 c . ∵0cx3， ∴S＝ 1 0 c (x2－cx3)dx ＝(1 3 x3－1 4 cx4)| ＝ 1 3c3－ 1 4c3＝ 1 12c3＝2 3 . ∴c3＝1 8 . ∴c＝1 2 . 9．从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x，y)，则点 M 取自阴影部分的概率为________． 答案 1 3 解析 根据题意得：S 阴＝ʃ1 03x2dx＝x3|1 0＝1，则点 M 取自阴影部分的概率为S 阴 S 矩 ＝ 1 3×1 ＝1 3 . 10．求曲线 y＝6－x 和 y＝ 8x，y＝0 围成图形的面积． 解 作出直线 y＝6－x，曲线 y＝ 8x的草图，所求面积为图中阴影部分的面积． 解方程组 y＝6－x y＝ 8x 得直线 y＝6－x 与曲线 y＝ 8x交点的坐标为(2,4)，直线 y＝6－x 与 x 轴的交点坐标为(6,0)． 因此，所求图形的面积 S＝S1＋S2 ＝ʃ2 0 8xdx＋ʃ6 2(6－x)dx ＝ 8×2 3 3 2x |2 0＋(6x－1 2 x2)|6 2 ＝16 3 ＋(6×6－1 2 ×62)－(6×2－1 2 ×22)] ＝16 3 ＋8＝40 3 . 11．求由抛物线 y＝－x2＋4x－3 及其在点 A(1,0)和点 B(3,0)处的切线所围成图形的面积． 解 由 y′＝－2x＋4 得在点 A、B 处切线的斜率分别为 2 和－2，则两直线方程分别为 y＝2x －2 和 y＝－2x＋6， 由 y＝2x－2， y＝－2x＋6， 得两直线交点坐标为 C(2,2)， ∴S＝S△ABC－ʃ3 1(－x2＋4x－3)dx ＝1 2 ×2×2－ －1 3 x3＋2x2－3x | 3 1 ＝2－4 3 ＝2 3 . 12．设点 P 在曲线 y＝x2 上，从原点向 A(2,4)移动，如果直线 OP，曲线 y＝x2 及直线 x＝2 所 围成的面积分别记为 S1、S2. (1)当 S1＝S2 时，求点 P 的坐标； (2)当 S1＋S2 有最小值时，求点 P 的坐标和最小值． 解 (1)设点 P 的横坐标为 t(00. 所以，当 t＝ 2时， S1＋S2 有最小值8 3 －4 2 3 ， 此时点 P 的坐标为( 2，2)． 三、探究与拓展 13．已知抛物线 y＝x2－2x 及直线 x＝0，x＝a，y＝0 围成的平面图形的面积为4 3 ，求 a 的值． 解 作出 y＝x2－2x 的图象如图． (1)当 a<0 时， S＝ʃ0 a(x2－2x)dx ＝(1 3 x3－x2)|0 a＝－a3 3 ＋a2 ＝4 3 ， ∴(a＋1)(a－2)2＝0. ∵a<0，∴a＝－1. (2)当 a>0 时， ①若 00，∴a＝2. ②当 a>2 时， S＝－ʃ2 0(x2－2x)dx＋ʃa 2(x2－2x)dx ＝－(1 3 x3－x2)|2 0＋(1 3 x3－x2)|a 2 ＝－(8 3 －4)＋(1 3 a3－a2－8 3 ＋4) ＝4 3 ＋(1 3 a3－a2－8 3 ＋4)＝4 3 . ∴1 3 a3－a2＋4 3 ＝0 ∴a>2 不合题意． 综上 a＝－1，或 a＝2.