2020年高中数学第一章解三角形1 6页

第3课时 几何计算问题 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于(　　)‎ A.　　　　　　 B. C. D．3 解析：由S△ABC＝bcsin A＝可知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝1＋16－8cos 60°＝13，所以a＝.所以＝＝.‎ 答案：A ‎2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则△ABC的面积等于(　　)‎ A. B．1‎ C. D. 解析：由正弦定理得＝，‎ ‎∴sin C＝，‎ ‎∴C＝30°或150°(舍去)．‎ ‎∵B＝120°，∴A＝30°，‎ ‎∴S△ABC＝bcsin A＝×××sin 30°＝.‎ 答案：C ‎3．△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若S△ABC＝(b2＋c2－a2)，则角A的大小为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：∵S＝bcsin A＝(b2＋c2－a2)，‎ 6‎ ‎∴sin A＝＝cos A，又∵A∈(0，π)，∴A＝.‎ 答案：B ‎4．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，a＝2csin A，c＝，且a＋b＝5，则△ABC的面积为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由a＝2csin A及正弦定理得＝＝，‎ ‎∵sin A≠0，∴sin C＝，故在锐角△ABC中，C＝.‎ 再由a＋b＝5及余弦定理可得7＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝25－3ab，解得ab＝6，‎ 故△ABC的面积为ab·sin C＝.‎ 答案：A ‎5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acos C＝4csin A，若△ABC的面积S＝10，b＝4，则a的值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由3acos C＝4csin A，得＝.又由正弦定理＝，得＝，∴tan C＝，∴sin C＝.又S＝bcsin A＝10，b＝4，∴csin A＝5.根据正弦定理，得a＝＝＝，故选B.‎ 答案：B ‎6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b＝3，c＝2，△ABC的面积为，则sin A＝________.‎ 解析：∵S△ABC＝bcsin A，∴sin A＝＝＝.‎ 答案： 6‎ ‎7．若△ABC的面积为，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于________．‎ 解析：在△ABC中，由面积公式，得S＝BC·AC·sin C＝AC＝，∴AC＝2，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝2.‎ 答案：2‎ ‎8．锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则AB＝________.‎ 解析：由三角形面积公式得×3×4·sin C＝3，sin C＝.‎ 又∵△ABC为锐角三角形，∴C＝60°.‎ 根据余弦定理AB2＝16＋9－2×4×3×＝13.AB＝.‎ 答案： ‎9．已知△ABC中，B＝30°，AB＝2，AC＝2，求△ABC的面积．‎ 解析：由正弦定理，得sin C＝＝＝.‎ ‎∵AB>AC，‎ ‎∴C＝60°或C＝120°.‎ 当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝AB·AC＝2；‎ 当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝AB·ACsin A＝.‎ 故△ABC的面积为2或.‎ ‎10．已知△ABC的三个内角A、B、C满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，求边BC上的中线AD的长．‎ 解析：∵2B＝A＋C，‎ ‎∴A＋B＋C＝3B＝180°，‎ ‎∴B＝60°，∵BC＝4，D为BC中点，∴BD＝2，‎ 在△ABD中，由余弦定理知：‎ AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B ‎＝12＋22－2×1×2·cos 60°‎ ‎＝3，‎ ‎∴AD＝.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．如图，四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于(　　)‎ 6‎ A. B．5 C．6 D．7 解析：连接BD(图略)，在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，∴∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C，知BD2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，∴BD＝2，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5.‎ 答案：B ‎2．已知△ABC中，a比b大2，b比c大2，且最大角的正弦值为，则△ABC的面积为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由题目条件，知a＝c＋4，b＝c＋2，故角A为△ABC中的最大角，即sin A＝，解得A＝60°(舍去)或A＝120°.由余弦定理，得cos A＝cos 120°＝＝－，解得c＝3，所以b＝5，所以S△ABC＝bcsin A＝.‎ 答案：A ‎3．(2015·高考天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为________．‎ 解析：因为0