高中数学必修1教案：第三章（第9课时）等比数列的前n项和1 7页

课 题：3.5 等比数列的前n项和（一）‎ 教学目的：‎ ‎1．掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路．‎ ‎2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题 教学重点：等比数列的前n项和公式推导 教学难点：灵活应用公式解决有关问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教材分析：‎ 本节是对公式的教学，要充分揭示公式之间的内在联系，掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的导出方法，理解公式的成立条件．也就是让学生对本课要学习的新知识有一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和条件，直接记忆公式的结论是降低教学要求，违背教学规律的做法 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ 首先回忆一下前两节课所学主要内容：‎ ‎1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）‎ ‎2.等比数列的通项公式: ‎ ‎， ‎ ‎3．｛｝成等比数列=q（,q≠0）‎ ‎ “≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件 ‎4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． ‎ ‎5．等比中项：G为a与b的等比中项. 即G=±（a,b同号）.‎ ‎6．性质：若m+n=p+q，‎ ‎7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 ‎8．等比数列的增减性：当q>1, >0或01, <0,或00时, {}是递减数列;当q=1时, {}是常数列;当q<0时, {}是摆动数列;‎ ‎ 二、讲解新课： ‎ ‎ 例如求数列1，2，4，…262，263的各项和 即求以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的和，可表示为：‎ ‎ ①‎ ‎2 ②‎ 由②—①可得：‎ 这种求和方法称为“错位相减法” “错位相减法”，是研究数列求和的一个重要方法 等比数列的前n项和公式：‎ ‎ ∴当时， ① 或 ②‎ 当q=1时，‎ 当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②.‎ 公式的推导方法一：‎ 一般地，设等比数列它的前n项和是 由 得 ‎ ‎ ‎∴当时， ① 或 ②‎ 当q=1时，‎ 公式的推导方法二：‎ 有等比数列的定义，‎ 根据等比的性质，有 即 （结论同上）‎ 围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．‎ 公式的推导方法三：‎ ‎ ＝‎ ‎ ＝＝‎ ‎（结论同上）‎ ‎ “方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决 三、例题讲解 例1 求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.‎ 解：由 ‎， ‎ 从第5项到第10项的和为-=1008‎ 例2一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？‎ 解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项的等比数列 则：一天内获知此信息的人数为：‎ 例3  已知{}为等比数列，且=a，=b，（ab≠0），求．‎ 分析：要求，需知，q，而已知条件为和．能否进一步挖掘题目的条件，使已知和未知沟通起来？‎ 当时 ＝a ①‎ ‎＝＝＝b ②‎ ‎②/①得 ③‎ 将③代入①，得 ‎ ‎∴＝＝＝‎ 以下再化简即可．‎ 这样处理问题很巧妙．没有分别求得与q的值，而改为求与的值，这样使问题变得简单但在分析的过程中是否完备？‎ 第①式就有问题，附加了条件q≠1．而对q=1情况没有考虑．‎ 使用等比数列前n项和公式时，要特别注意适用条件，即 q=1时，=n；当时， 或 ‎（含字母已知数的等比数列求和题目，学生常忽略q=1情况，要引起足够重视，以培养学生思维的严密性）‎ 解法1：设等比数列{}的公比为q．‎ 若q=1（此时数列为常数列），则=n=a，=b，‎ 从而有2a=b ∴（或）‎ 若q≠1（即2a≠b），由已知 ‎＝a ① ＝b ②‎ ‎   又ab0, ②/①得 , ③‎ 将③代入①，得 ‎ ‎∴＝＝＝‎ ‎＝‎ 解法2：由，－，－成等比数列（练习中证此结论），‎ 即a,b-a, －b成等比，所以a(－b)=( b-a)‎ 从而有 ＝ （包含了q=1的情况）‎ 四、练习：‎ 是等比数列，是其前n项和，数列 （）是否仍成等比数列？‎ ‎ 解：设首项是，公比为q,‎ ‎①当q=－1且k为偶数时，不是等比数列.‎ ‎∵此时， =0.‎ 例如：数列1,－1,1,－1,…是公比为－1的等比数列，S2=0,‎ ‎ ②当q≠－1或k为奇数时，‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎（）成等比数列 评述：应注意等比数列中的公比q的各种取值情况的讨论，还易忽视等比数列的各项应全不为0的前提条件.‎ 五、小结 1. 等比数列求和公式：当q=1时，‎ 当时， 或 ； ‎ ‎2．是等比数列的前n项和，‎ ‎①当q=－1且k为偶数时，不是等比数列.‎ ‎②当q≠－1或k为奇数时， 仍成等比数列 ‎3．这节课我们从已有的知识出发，用多种方法（迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法）推导出了等比数列的前n项和公式，并在应用中加深了对公式的认识．‎ 六、课后作业：‎ ‎ 已知数列是等比数列，是其前n项的和，求证,－,－成等比数列.‎ 解：（1）①当q=1时，=7,=14,‎ ‎－=14－7=7,－=21－14a1=7‎ ‎∴,－,－为以7为首项，1为公比的等比数列.‎ ‎②当q≠1时，=‎ ‎∴=‎ ‎∴,－,－成等比数列.‎ ‎［这一过程也可如下证明：‎ ‎－=－‎ ‎===‎ 同理，－== ‎ ‎∴,－,－为等比数列.‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎ ‎ ‎