陕西省宝鸡市宝鸡中学2019届高三上学期10月第一次模拟考试数学（理）试题 Word版含解析 20页

宝鸡中学2016级高三模拟考试（一）试题 数学（理）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．‎ ‎1.已知实数集R，集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合B，得到，再求.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 又因为，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.‎ ‎2.下列说法正确的是（ ）‎ A. ，“”是“”的必要不充分条件 B. “为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件 C. 命题“”的否定是：“使得”‎ D. 命题p：“”，则是真命题 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A. 根据判断.B. 根据“为真命题”，p，q都是真命题，“为真命题”， p，q都是真命题或一真一假判断.C. 根据全称命题的否定判断.D. 根据 命题p是真命题，结合命题的否定判断.‎ ‎【详解】因为，所以 推不出“”故不充分，能推出，故必要，故A正确.‎ ‎ 因为“为真命题”，p，q都是真命题，“为真命题”， p，q都是真命题或一真一假，故充分不必要，故B错误.‎ 命题“”的否定应该是：“使得”，故C错误.‎ 因为，所以命题p是真命题，故是假命题，故D错误.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查判断命题的真假，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.‎ ‎3.若角终边经过点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据角度终边上点的坐标，即可容易求得结果.‎ ‎【详解】因为角终边经过点，‎ 则.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查由角度终边上的一点求三角函数值，属基础题.‎ ‎4.设向量，，如果与共线且方向相反，则t的值为（ ）‎ A. 1 B. -1 C. -2 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据与共线，利用共线向量定理求解.‎ 详解】已知向量，，‎ 因为与共线，‎ 所以， ‎ 又因为方向相反，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查共线向量定理，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.‎ ‎5.函数在区间的图像大致为（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：判断的奇偶性，在上的单调性，计算的值，结合选项即可得出答案.‎ 详解：设，‎ 当 时，，‎ 当时，，即函数在上为单调递增函数，排除B；‎ 由当时，，排除D；‎ 因为，‎ 所以函数为非奇非偶函数，排除C，故选A.‎ 点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎6.在内，使的的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵，∴，∴，在同一坐标系中画出与的图象，观察图象易得．‎ 考点：正、余弦函数图象的简单应用.‎ ‎7.已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先研究函数的单调性，根据在上是减函数求解.‎ ‎【详解】因为在上是减函数，且， ‎ 在上是减函数，且，‎ 所以在上是减函数，‎ 又因为，‎ 所以， ‎ 解得. ‎ 所以实数a的取值范围是.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查分段函数单调性的应用，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.‎ ‎8.若,则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎.‎ ‎9.的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数则函数的图象( )‎ A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据周期确定，然后结合变换后的函数是奇函数可求，再研究对称性可得选项.‎ ‎【详解】因为的最小正周期为，，所以；‎ 向左平移个单位后得到的函数为，‎ 由奇函数可得,解得，所以；‎ 因为，‎ 所以函数的图象既不关于点对称，也不关于直线对称；‎ 因为，‎ 所以函数的图象关于直线对称；‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及三角函数的性质，图象变换时注意系数对解析式的影响，三角函数的性质一般利用整体代换进行求解，侧重考查数学抽象的核心素养.‎ ‎10.在中，，则是（ ）‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，利用正弦定理转化为：，整理为 再转化为角判断.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以由正弦定理得：，‎ 所以 ，‎ 即 ，‎ 所以或 ，‎ 所以或，‎ 所以是等腰或直角三角形.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎11.若同一平面内向量两两所成的角相等，且，则等于( )‎ A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】因为同一平面内向量两两所成的角相等，所以当三个向量所成的角都是120°时，，即；当三个向量所成的角都是0°时，.故或5.选C.‎ ‎【点睛】平面向量数量积的类型及求法 ‎(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.‎ ‎(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.‎ ‎12.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则对任意的 ‎，方程的根的个数至多有（ ）‎ A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 9个 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用导数研究当时，的单调性，得到其图象，再利用是定义在R上的奇函数，画出的图象，利用数形结合法求解.‎ ‎【详解】当时，，所以，‎ 所以在 上递减，在 上递增，‎ 且 ，当 时， ，‎ 又因为是定义在R上的奇函数，‎ 所以 ，‎ 所以的图象如图所示：‎ ‎ ‎ 令 ，则 ，‎ 当时，没有零点，‎ 当时，至多有3个零点， ‎ 如图：不妨设，则 或 因为，没有零点，‎ 当时，至多有3个零点，‎ 所以方程的根的个数至多有3个.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及函数零点问题，还考查了数形结合分类讨论的思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13.某人吃完饭后散步，在0到3小时内速度与时间的关系为，这3小时内他走过的路程为________km．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定积分的物理意义求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以其原函数是：，‎ 所以这3小时内他走过的路程为 .‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查定积分的物理意义，属于基础题.‎ ‎14.在点处与相切的直线方程为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据 ，求导，得到，写出切线方程.‎ ‎【详解】因为 ，‎ 所以，‎ 所以，‎ 在点处的切线方程为：.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的几何意义，要熟记求导公式，属于基础题.‎ ‎15.非零向量满足：，,则与夹角的大小为_______‎ ‎【答案】135°或者 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设，，则，结合题意分析可得△OAB为等腰直角三角形，结合向量夹角的定义分析可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，设，，则，‎ 若||＝||，，即||＝||，且⊥，‎ 则△OAB为等腰直角三角形，‎ 则与的夹角为180°﹣45°＝135°，‎ 故答案为135°．‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式．‎ ‎16.2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是 的值等于________________．‎ ‎【答案】-‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据正方形的面积=边长2，可知大正方形及小正方形的边长，根据图形，大正方形的边长即是直角三角形的斜边，小正方形的边长即是直角三角形两个直角边的差，从而可求相应三角函数的值．．解：由题意，大正方形的边长为1，小正方形的边长为，设θ所对的直角边为x，则由勾股定理得：x2+(x+)2=1，∴x=，∴sinθ=，cosθ=，∴=-故答案为-‎ 考点：三角函数模型 点评：本题的考点是在实际问题中建立三角函数模型，主要考查求解三角函数，关键是理解题意，正确利用勾股定理 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.已知，，.‎ ‎（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) m≥4.(2) [-3，-2）∪（4，7]‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）通过解不等式化简命题p，将p是q的充分不必要条件转化为[-2，4]是[2﹣m，2+m]的真子集，列出不等式组，求出m的范围．‎ ‎（2）将复合命题的真假转化为构成其简单命题的真假，分类讨论，列出不等式组，求出x的范围 试题解析：‎ ‎(1)记命题p的解集为A=[-2，4]， ‎ 命题q的解集为B=[2-m，2+m]， ‎ ‎∵是的充分不必要条件 ∴p是q的充分不必要条件，∴， ‎ ‎∴，解得：. ‎ ‎(2)∵“”为真命题，“”为假命题，‎ ‎∴命题p与q一真一假，‎ ‎①若p真q假，则，无解， ‎ ‎②若p假q真，则，解得：. ‎ 综上得：.‎ ‎18.已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若将的图像向左平移个单位，得到函数的图像，求函数在区间上的最大值和最小值，并求出取得最值时的x值．‎ ‎【答案】（1），；（2）时，函数取得最小值为；时，函数取得最大值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角恒等变换，将函数转化为再利用正弦函数的性质求解.‎ ‎（2）利用图象变换得到，再根据整体思想，利用余弦函数的性质求解.‎ ‎【详解】（1）函数 ‎．‎ 令，‎ 求得，‎ 所以函数的增区间为，．‎ ‎（2）若将的图像向左平移个单位，得到函数的图像，‎ 因为上，，‎ 所以当时，即时，‎ 函数取得最小值为．‎ 当时，即时，‎ 函数取得最大值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质以及图象变换，三角恒等变换，还考查了整体思想的应用，属于中档题.‎ ‎19.已知在中，角、、的对边分别是、、， ， ，且.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若边长，求周长的最大值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)9.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由可得，再根据正弦定理可得的值，根据的取值范围，即可求出答案 根据余弦定理可求得，化简即可求得，当且仅当时取等号，求得周长的最大值 解析：（Ⅰ）∵ ∴‎ 由正弦定理得 即∴，在中， ∴‎ ‎∴， ∵,∴‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理可得：‎ 即∴∴ ∴，‎ 当且仅当时取等号，∴周长的最大值为6+3=9‎ ‎20.某中学高二年级组织外出参加学业水平考试，出行方式为：乘坐学校定制公交或自行打车前往，大数据分析显示，当的学生选择自行打车，自行打车的平均时间为 (单位:分钟) ,而乘坐定制公交的平均时间不受影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题: ‎ ‎（1）当在什么范围内时,乘坐定制公交的平均时间少于自行打车的平均时间?‎ ‎（2）求该校学生参加考试平均时间的表达式:讨论的单调性,并说明其实际意义.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意知得到关于x不等式，求解不等式即可确定乘坐定制公交的平均时间少于自行打车的平均时间时x的取值范围.‎ ‎（2）分类讨论0＜x≤30和30＜x＜100两种情况下函数的单调性并说明其实际意义即可.‎ 详解】（1）由题意知，当30＜x＜100时，‎ f（x）=2x+-90＞40，‎ 即x2-65x+900＞0，‎ 解得x＜20或x＞45，‎ ‎∴x∈（45，100）时，乘坐定制公交的平均时间少于自行打车的平均时间；‎ ‎（2）当0＜x≤30时，‎ g（x）=30•x%+40（1-x%）=40-；‎ 当30＜x＜100时，‎ g（x）=（2x+-90）•x%+40（1-x%）=-x+58；‎ ‎∴g（x）=，‎ 当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；‎ 当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；‎ 在上单调递减,在上单调递增，‎ 说明当以上的人自驾时，人均通勤时间开始增加.‎ ‎【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．‎ ‎(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．‎ ‎21.在平行四边形ABCD中，边，，，若M，N分别是边BC，‎ CD上的点，且满足．‎ ‎（1）当时，若，求；‎ ‎（2）试求取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据且，用 作基底，表示，，，从而得到再根据，利用待定系数法求解.‎ ‎（2）建立直角坐标系， ，，再利用数量积公式求解.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 所以，，，‎ 所以 又因为，‎ 所以．‎ ‎（2）如图所示，建立直角坐标系 则，，，，‎ 因为，，‎ 则，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 设，‎ 在上是减函数，，‎ 的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理和数量积运算，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）当时，求的最小值；‎ ‎（2）若，讨论的单调性；‎ ‎（3）若，为在上的最小值，求证：．‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，在单调递减，在单调递增．当或时在单调递减，，单调递增；当时， 在单调递增；（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，，利用导数法求最值.‎ ‎（2）根据．求导，分，即和分类讨论求解 ‎（3）根据（2）的结论，当，在单调递减，在单调递增．得到．要证，只需求得最大值即可.‎ ‎【详解】（1）当时，，．‎ 当时，，当时，．‎ 所以当时，取最小值．‎ ‎（2）．‎ ‎，‎ 若，即时，则由得，‎ 当时，；当时，；‎ 在单调递减，在单调递增．‎ 若，则由得或，‎ 构造函数，则．由，得，‎ 在单调递减，在单调递增．，‎ ‎（当且仅当时等号成立）．‎ 若，，在单调递增．‎ 若或，当时，；当时，；‎ 在单调递减，在，单调递增；‎ 综上：当时，在单调递减，在单调递增．‎ 当或时在单调递减，在，单调递增；‎ 当时， 在单调递增．‎ ‎（3）证明：由（2）知，若，在单调递减，在单调递增．‎ ‎．‎ 令．‎ 则，‎ 令，，‎ 所以在上单调递减，，．‎ 存在唯一的，使得，‎ 在单调递增，在单调递减，‎ 故当时，，‎ 又．，‎ 当时，．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，还考查了转化化归、分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.‎