高考数学专题复习教案： 空间向量及其运算 2页

空间向量及其运算 主标题：空间向量及其运算 副标题：为学生详细的分析空间向量及其运算的高考考点、命题方向以及规律总结。‎ 关键词：空间向量，坐标运算，数量积 难度：2‎ 重要程度：4‎ 考点剖析：‎ ‎1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．‎ ‎2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．‎ ‎3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. ‎ 命题方向：本问题主要以选择题、填空题及解答题的形式进行考查，重点是空间线线、线面平行关系和垂直关系的证明。‎ 规律总结：‎ ‎1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．‎ ‎2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．‎ ‎3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．其中合理选取基底是优化运算的关键 知 识 梳 理 ‎1．空间向量 在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的长度或模．‎ ‎2．空间向量中的有关定理 ‎(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.‎ ‎(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.‎ ‎(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.‎ ‎3．两个向量的数量积 ‎(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos.‎ ‎(2)空间向量数量积的运算律 ‎①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)．‎ ‎②交换律：a·b＝b·a.‎ ‎③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.‎ ‎4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).‎ 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3‎ 共线 a＝λb(b≠0)‎ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3‎ 垂直 a·b＝0‎ ‎(a≠0，b≠0)‎ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0‎ 模 ‎|a|‎ 夹角 ‎(a≠0，b≠0)‎ cos＝