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- 2021-06-24 发布
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二项式定理备考策略
主标题:二项式定理备考策略
副标题:通过考点分析高考命题方向,把握高考规律,为学生备考复习打通快速通道。
关键词:二项式定理,二项式系数,项系数,备考策略
难度:2
重要程度:4
考点一 通项公式及其应用
【例1】 (1)设二项式5的展开式中常数项为A,则A=________.
(2)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a等于( ).
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
解析 (1)Tr+1=C()5-rr=,令-r=0,得r=3,∴A=-C=-10.
(2)(1+ax)(1+x)5=(1+x)5+ax(1+x)5,
又(1+x)5中含有x与x2的项为T2=Cx,T3=Cx2.
∴展开式中x2的系数为C+a·C=5,∴a=-1.
答案 (1)-10 (2)D
【备考策略】 (1)二项式定理的核心是通项公式,求解此类问题可以分两步完成:第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r,如常数项指数为零、有理项指数为整数等);第二步是根据所求的指数,再求所求解的项.
(2)求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.
考点二 二项式系数的性质与各项系数和
【例2】 (1)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a1+a2+…+an=63,则展开式中系数最大的项是( ).
A.15x2 B.20x3 C.21x3 D.35x3
(2)若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为________.
审题路线 (1)先赋值求a0及各项系数和,进而求得n值,再运用二项式系数性质与通项公式求解.
(2)根据二项式系数性质,由C=C,确定n的值,求出的系数.
解析 (1)∵(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,
令x=0,得a0=1.
令x=1,则(1+1)n=a0+a1+a2+…+an=64,∴n=6,
又(1+x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大,
∴(1+x)6的展开式系数最大项为T4=Cx3=20x3.
(2)由题意知,C=C,∴n=8.
∴Tr+1=C·x8-r·r=C·x8-2r,
当8-2r=-2时,r=5,∴的系数为C=C=56.
答案 (1)B (2)56
【备考策略】 (1)第(1)小题求解的关键在于赋值,求出a0与n的值;第(2)小题在求解过程中,常因把n的等量关系表示为C=C,而求错n的值.
(2)求解这类问题要注意:①区别二项式系数与展开式中项的系数,灵活利用二项式系数的性质;②根据题目特征,恰当赋值代换,常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1,-1.
考点三 二项式定理的应用
【例3】设a∈Z,且0≤a<13,若512 012+a能被13整除,则a=( ).
A.0 B.1 C.11 D.12
解析 512 012+a=(52-1)2 012+a
=C·522 012-C·522 011+…+C×52·(-1)2 011+C·(-1)2 012+a,
∵C·522 012-C·522 011+…+C×52·(-1)2 011能被13整除.
且512 012+a能被13整除,
∴C·(-1)2 012+a=1+a也能被13整除.
因此a可取值12.
答案 D
【备考策略】 (1)本题求解的关键在于将512 012变形为(52-1)2 012
,使得展开式中的每一项与除数13建立联系.
(2)用二项式定理处理整除问题,通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式,再用二项式定理展开,但要注意两点:一是余数的范围,a=cr+b,其中余数b∈[0,r),r是除数,切记余数不能为负,二是二项式定理的逆用.