2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§1-2　充分条件与必要条件、全称量词与存在量词（讲解部分） 12页

考点一　充分条件与必要条件 1.充分条件与必要条件 (1)若 p ⇒ q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的① 　必要     条件. (2)若 p ⇒ q ,且 q ⇒ / p ,则 p 是 q 的充分不必要条件. (3)若 p ⇒ / q ,且 q ⇒ p ,则 p 是 q 的必要不充分条件. (4)若 p ⇔ q ,则 p 与 q 互为② 　充要条件     . (5)若 p ⇒ / q ,且 q ⇒ / p ,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 2.充分条件与必要条件的两种判断方法 考点清单 条件 定义法 集合法: A ={ x | p ( x )}, B ={ x | q ( x )} p 是 q 的充分条件 p ⇒ q ③      A ⊆ B      p 是 q 的必要条件 q ⇒ p A ⊇ B p 是 q 的充要条件 p ⇒ q 且 q ⇒ p A = B p 是 q 的充分不必要条件 p ⇒ q 且 q ⇒ / p ④       A ⫋ B      p 是 q 的必要不充分条件 p ⇒ / q 且 q ⇒ p A ⫌ B p 是 q 的既不充分也不必要条件 p ⇒ / q 且 q ⇒ / p A ⊈ B 且 A ⊉ B 考点二　全称量词与存在量词 　　1.全称量词和存在量词 2.全称命题和特称命题 名称 常见量词 符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等 ∃ 名称 结构 符号表示 全称命题 对 M 中任意一个 x ,有 p ( x )成立 ⑤      ∀ x ∈ M , p ( x )     特称命题 存在 M 中的一个 x 0 ,使 p ( x 0 )成立 ⑥      ∃ x 0 ∈ M , p ( x 0 )     3.全称命题和特称命题的否定 4.全(特)称命题真假的判断方法 命题 命题的否定 ∀ x ∈ M , p ( x ) ⑦      ∃ x 0 ∈ M ,¬ p ( x 0 )     ∃ x 0 ∈ M , p ( x 0 ) ⑧      ∀ x ∈ M ,¬ p ( x )     全称命题 特称命题 真假 真 假 真 假 方法一 证明所有对象使 命题为真 存在一个对象使 命题为假 存在一个对象使 命题为真 证明所有对象使 命题为假 方法二 否定为假 否定为真 否定为假 否定为真 考法一 　 充分条件与必要条件的判断方法 知能拓展 例1　 (1)(2019黑龙江哈尔滨六中二模,3)“0< a <1且0< b <1”是“log a b >0” 的   (　　) A.充分而不必要条件　    B.必要而不充分条件 C.充分必要条件　    D.既不充分也不必要条件 (2)(2018天津,4,5分)设 x ∈R,则“   <   ”是“ x 3 <1”的   (　　) A.充分而不必要条件　    B.必要而不充分条件 C.充要条件　    D.既不充分也不必要条件 解析 　(1)充分性:因为0< a <1,所以 y =log a x 在(0,+ ∞ )上为单调递减函数,且恒 过点(1,0).又因为0< b <1,所以log a b >log a 1=0,故充分性成立. 必要性:因为log a b >0,所以log a b >log a 1, 当 a >1时, b >1,当0< a <1时,0< b <1.所以必要性不成立. 故“0< a <1且0< b <1”是“log a b >0”的充分而不必要条件,故选A. (2)由   <   得-   < x -   <   ,解得0< x <1. 由 x 3 <1得 x <1.当0< x <1时,能得到 x <1一定成立; 当 x <1时,0< x <1不一定成立. 所以“   <   ”是“ x 3 <1”的充分而不必要条件. 答案 　(1)A　(2)A 方法总结 　判断充分、必要条件的常用方法: 1.定义法:直接判断“若 p ,则 q ”“若 q ,则 p ”的真假; 2.利用集合间的包含关系判断:若 A ⊆ B ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要 条件;若 A = B ,则 A 是 B 的充要条件. 考法二 　 全(特)称命题真假的判断方法 例2 　(1)(2019江西师大附中月考,6)已知定义域为R的函数 f ( x )不是偶函数, 则下列命题一定为真命题的是   (　　) A. ∀ x ∈R, f (- x ) ≠ f ( x )　    B. ∀ x ∈R, f (- x ) ≠ - f ( x ) C. ∃ x 0 ∈R, f (- x 0 ) ≠ f ( x 0 )　    D. ∃ x 0 ∈R, f (- x 0 ) ≠ - f ( x 0 ) (2)下列4个命题: p 1 : ∃ x 0 ∈(0,+ ∞ ),   <   ; p 2 : ∃ x 0 ∈(0,1),lo   x 0 >lo   x 0 ; p 3 : ∀ x ∈(0,+ ∞ ),   >lo   x ; p 4 : ∀ x ∈   ,     成立,故 p 1 是假命题;对于 p 2 ,当 x 0 =   时,有1=lo     =lo     >lo     成立,即lo     >lo     ,故 p 2 是真命题; 对于 p 3 ,结合指数函数 y =   与对数函数 y =lo   x 在(0,+ ∞ )上的图象(如图1) 可以判断 p 3 是假命题; 对于 p 4 ,结合指数函数 y =   与对数函数 y =lo   x 在   上的图象(如图2) 可以判断 p 4 是真命题. 综上可知,真命题为 p 2 , p 4 ,故选D. 答案 　(1)C　(2)D 方法总结 　1.否定全称命题和特称命题时,一是要改写量词,全称量词改写 为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论. 2.判定全称命题“ ∀ x ∈ M , p ( x )”是真命题,需要对集合 M 中的每一个元 素 x ,证明 p ( x )成立;判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一 个 x = x 0 ,使 p ( x 0 )成立. 考法三　 与全(特)称命题有关的参数的求解方法 例3　 已知命题“ ∀ x ∈R,sin x -2 a ≥ 0”是真命题,则 a 的取值范围是 　　         . 解析　 因为“ ∀ x ∈R,sin x -2 a ≥ 0”是真命题, 所以 a ≤   =-   , 则 a 的取值范围是   . 答案        方法总结 　解决与全称命题或特称命题有关的参数取值范围问题(本质是 恒成立问题或有解问题,最终转化为最值问题)的主要方法是分离变量法. 在使用该方法时一定要明确,在分离的过程中,把题目中所求范围的量放在 一边,其余的放在另一边,一定要注意这种分离过程是不是恒等变形.