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- 2021-06-25 发布
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§5.4
解三角形及其综合应用
高考数学
考点一 正弦定理和余弦定理
1.正弦定理和余弦定理
正弦定理
余弦定理
内容
=
=
=2
R
(
R
为△
ABC
外接圆半径)
a
2
=
b
2
+
c
2
-2
bc
·cos
Ab
2
=
c
2
+
a
2
-2
ca
·cos
Bc
2
=①
a
2
+
b
2
-2
ab
·cos
C
考点
清单
变形
形式
(1)
a
=2
R
sin
A
,
b
=2
R
sin
B
,
c
=2
R
sin
C
;
(2)sin
A
=
,sin
B
=
,sin
C
=
;
(3)
a
∶
b
∶
c
=②
sin
A
∶sin
B
∶sin
C
;
(4)
=③
=④
2
R
cos
A
=
;
cos
B
=
;
cos
C
=
解决的问题
(1)已知两角和任意一边,求另一角和其他两条边;
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角
(1)已知三边,求各角;
(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角
2.解三角形
(1)利用余弦定理求边长,实质是解一元二次方程,解出后可根据已知条件
对方程的根进行取舍.
(2)在△
ABC
中,已知
a
,
b
和
A
,利用正弦定理解三角形时,会出现解不确定的
情况,一般可根据三角形中“大边对大角和三角形内角和定理”来取舍.在
△
ABC
中,已知
a
,
b
和
A
时,具体解的情况如下表:
A
为锐角
A
为钝角或直角
图形
关系式
a
=
b
sin
A
b
sin
A
<
a
<
b
a
≥
b
a
>
b
解的个数
一解
两解
一解
一解
上表中,若
A
为锐角,则当
a
<
b
sin
A
时无解;若
A
为钝角或直角,则当
a
≤
b
时无解.
3.三角形中常用的结论
在△
ABC
中,角
A
,
B
,
C
所对的边分别是
a
,
b
,
c
,常见的结论有:
(1)
A
+
B
+
C
=π;
(2)在△
ABC
中,大角对大边,大边对大角,如:
a
>
b
⇔
A
>
B
⇔
sin
A
>sin
B
;
(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;
(4)在锐角三角形
ABC
中,sin
A
>cos
B
⇔
A
+
B
>
;
(5)在斜△
ABC
中,tan
A
+tan
B
+tan
C
=tan
A
·tan
B
·tan
C
;
(6)有关三角形内角的常用三角恒等式:sin(
A
+
B
)=sin
C
;cos(
A
+
B
)=-cos
C
;tan
(
A
+
B
)=-tan
C
;sin
=cos
;cos
=sin
.
考点二 解三角形及其综合应用
1.实际问题中的常用术语
术语
名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线所成的
角中,目标视线在水平视线上方
的角叫做仰角,目标视线在水平
视线下方的角叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时
针方向到目标方向线之间的水
平夹角叫做方位角.方位角
α
范
围是0
°
≤
α
<360
°
方向角
正北或正南方向线与目标方向
线所成的锐角,通常表达为北
(南)偏东(西)
××
度
北偏东
m
°
坡角
坡面与水平面的夹角
设坡角为
α
,坡度为
i
,则
i
=
=tan
α
坡度
坡面的垂直高度
h
和水平宽度
l
的比
2.实际测量中的常见问题
求
AB
图形
需要测量
的元素
解法
∠
ACB
=
α
,
BC
=
a
解直角三角形
AB
=
a
tan
α
∠
ACB
=
α
,
∠
ADB
=
β
,
CD
=
a
解两个直角三角
形
AB
=
∠
ACB
=
α
,
AC
=
b
,
BC
=
a
用余弦定理
AB
=
∠
ACB
=
α
,
∠
ABC
=
β
,
CB
=
a
用正弦定理
AB
=
∠
ADC
=
α
,
∠
BDC
=
β
,
∠
BCD
=
δ
,
∠
ACD
=
γ
,
CD
=
a
在△
ADC
中,
AC
=
;
在△
BCD
中,
BC
=
;
在△
ABC
中,应用
余弦定理求
AB
3.三角形的面积公式
(1)已知三角形一边及该边上的高,利用
S
=
ah
(
h
表示边
a
上的高);
(2)已知三角形的两边及其夹角,利用
S
=
ab
sin
C
S
=
ac
sin
B
,
S
=
bc
sin
A
.
知识拓展 (1)已知三角形的三边,利用
S
=
;
(2)已知三角形的三边及内切圆半径,利用
S
=
(
a
+
b
+
c
)
r
(
r
为三角形的内切圆
半径).
(3)
S
=
=2
R
2
sin
A
sin
B
sin
C
(
R
为△
ABC
外接圆的半径).
考法一
利用正、余弦定理解三角形
知能拓展
例1
(1)在△
ABC
中,分别根据所给条件指出解的个数.
①
a
=4,
b
=5,
A
=30
°
;
②
a
=5,
b
=4,
A
=60
°
;
③
a
=
,
b
=
,
B
=120
°
;
④
a
=
,
b
=
,
A
=60
°
.
(2)(2017课标全国Ⅲ,17,12分)△
ABC
的内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
.已知
sin
A
+
cos
A
=0,
a
=2
,
b
=2.
①求
c
;
②设
D
为
BC
边上一点,且
AD
⊥
AC
,求△
ABD
的面积.
解析
(1)①∵
a
<
b
,
b
sin
A
=
<4,∴有两解.
②∵
a
>
b
,
A
<90
°
,∴
B
<
A
,∴有一解.③∵
B
>90
°
,
a
>
b
,∴无解.
④∵
a
<
b
,
b
sin
A
=
×
=
.∴
a
<
b
sin
A
<
b
,∴无解.
(2)①由已知可得tan
A
=-
,所以
A
=
.在△
ABC
中,由余弦定理得28=4+
c
2
-4
c
cos
,即
c
2
+2
c
-24=0.解得
c
=-6(舍去)或
c
=4.
②由题设可得∠
CAD
=
,
所以∠
BAD
=∠
BAC
-∠
CAD
=
.
故△
ABD
面积与△
ACD
面积的比值为
=1.
又△
ABC
的面积为
×
4
×
2sin∠
BAC
=2
,所以△
ABD
的面积为
.
方法总结
1.已知两角
A
、
B
与一边
a
,由
A
+
B
+
C
=π及
=
=
,可先
求出角
C
,再求出
b
、
c
.
2.已知两边
b
、
c
及其夹角
A
,由
a
2
=
b
2
+
c
2
-2
bc
cos
A
,先求出
a
,再由正弦定理求
出角
B
、
C
.
3.已知三边
a
、
b
、
c
,由余弦定理可求出角
A
、
B
、
C
.
4.已知两边
a
、
b
及其中一边
a
的对角
A
,由
=
可求出另一边
b
的对角
B
,由
C
=π-(
A
+
B
)可求出
C
,再由
=
可求出
c
,而通过
=
求
B
时,
可能有一解、两解或无解的情况.
考法二
三角形形状的判断
例2
(2019豫北名校1月联考,8)在△
ABC
中,
a
,
b
,
c
分别表示三个内角
A
,
B
,
C
的对边,如果(
a
2
+
b
2
)sin(
A
-
B
)=(
a
2
-
b
2
)·sin(
A
+
B
),则△
ABC
的形状为
( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
解题导引
解法一:首先对原式进行化简,然后利用正弦定理把边化成角,
从而判断三角形的形状.
解法二:首先对原式进行化简,然后利用正、余弦定理把角化成边,从而判
断三角形的形状.
解析
解法一:已知等式可化为
a
2
[sin(
A
-
B
)-sin(
A
+
B
)]=
b
2
[-sin(
A
+
B
)-sin(
A
-
B
)],∴2
a
2
cos
A
sin
B
=2
b
2
cos
B
sin
A
.由正弦定理,得sin
2
A
cos
A
sin
B
=sin
2
B
cos
B
sin
A
,∴sin
A
sin
B
(sin
A
cos
A
-sin
B
cos
B
)=0,
∵
A
,
B
均为△
ABC
的内角,∴sin
A
≠
0,sin
B
≠
0,
∴sin 2
A
-sin 2
B
=0,即sin 2
A
=sin 2
B
.
由
A
,
B
∈(0,π)得0<2
A
<2π,0<2
B
<2π,得2
A
=2
B
或2
A
+2
B
=π,即
A
=
B
或
A
+
B
=
.
∴△
ABC
为等腰三角形或直角三角形,故选D.
解法二:(同解法一)可得2
a
2
cos
A
sin
B
=2
b
2
cos
B
sin
A
.
由正、余弦定理,可得
a
2
·
·
b
=
b
2
·
·
a
.
∴
a
2
(
b
2
+
c
2
-
a
2
)=
b
2
(
a
2
+
c
2
-
b
2
),即(
a
2
-
b
2
)(
a
2
+
b
2
-
c
2
)=0.∴
a
=
b
或
a
2
+
b
2
=
c
2
,
∴△
ABC
为等腰三角形或直角三角形.故选D.
答案
D
方法总结
要判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考,主要
看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、等腰直
角三角形或锐角三角形,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形
或直角三角形”的区别.依据已知条件中的边角关系判断时,主要有以下两
条途径:
(1)通过正弦定理、余弦定理化边为角,利用三角恒等变换得出三角形内角
之间的关系进行判断;
(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边,通过代数恒等变换,求出三条边之
间的关系进行判断.
考法三
与三角形的面积、范围有关的问题
例3
(1)已知△
ABC
的三个内角
A
,
B
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c
,若
b
=1,
c
=
,且
2sin(
B
+
C
)cos
C
=1-2cos
A
sin
C
,则△
ABC
的面积是
( )
A.
B.
C.
或
D.
或
(2)(2018吉林长春一模,15)在△
ABC
中,三个内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
,
若
cos
A
=sin
A
cos
C
,且
a
=2
,则△
ABC
面积的最大值为
.
解析
(1)因为2sin(
B
+
C
)cos
C
=1-2cos
A
sin
C
,所以2sin
A
cos
C
=1-2cos
A
sin
C
,所以2sin
A
cos
C
+2cos
A
sin
C
=1,所以2sin(
A
+
C
)=1,所以2sin
B
=1,所以sin
B
=
.
因为
b
<
c
,所以
B
<
C
,所以角
B
为锐角,
所以cos
B
=
=
,所以由余弦定理
b
2
=
a
2
+
c
2
-2
ac
cos
B
,可得1=
a
2
+3-2
×
a
×
×
,
整理可得
a
2
-3
a
+2=0,解得
a
=1或
a
=2.
故当
a
=1时,△
ABC
的面积
S
=
ac
sin
B
=
×
1
×
×
=
;
当
a
=2时,△
ABC
的面积
S
=
ac
sin
B
=
×
2
×
×
=
.故选C.
(2)因为
cos
A
=sin
A
cos
C
,
所以
b
cos
A
-sin
C
cos
A
=sin
A
cos
C
,
所以
b
cos
A
=sin(
A
+
C
),
所以
b
cos
A
=sin
B
,
所以
=
,
又
=
,
a
=2
,
所以
=
,得tan
A
=
,则
A
=
,
由余弦定理得(2
)
2
=
b
2
+
c
2
-2
bc
·
=
b
2
+
c
2
-
bc
,
由基本不等式得
bc
≤
12,当且仅当
b
=
c
=2
时等号成立.
从而△
ABC
面积的最大值为
×
12
×
=3
.
答案
(1)C (2)3
方法总结
1.与三角形面积有关的问题主要有两种:一是求三角形面积;二
是给出三角形的面积,求其他量.解题时主要应用三角形面积公式
S
=
ab
sin
C
=
ac
sin
B
=
bc
sin
A
,此公式既与边长的乘积有关,又与角的三角函数值
有关,由此可以与正弦定理、余弦定理综合起来求解.
2.解与三角形中边角有关的量的取值范围时,主要是利用已知条件和有关
定理,将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来,结合三角形边角
取值范围等求解即可.
考法四
解三角形的实际应用
例4
如图所示,某公路
AB
一侧有一块空地△
OAB
,其中
OA
=3 km,
OB
=3
km,∠
AOB
=90
°
,当地政府拟在中间开挖一个人工湖△
OMN
,其中
M
,
N
都在
边
AB
上(
M
,
N
不与
A
,
B
重合,
M
在
A
,
N
之间),且∠
MON
=30
°
.
(1)若
M
在距离
A
点2 km处,求点
M
,
N
之间的距离;
(2)为节省投入资金,人工湖△
OMN
的面积要尽可能小,试确定
M
的位置,使
△
OMN
的面积最小,并求出最小面积.
解题导引
(1)由已知求出∠
OAB
=60
°
.在△
OAM
中求得
OM
=
.在△
OAN
中,sin∠
ONA
=sin(∠
A
+∠
AON
),在△
OMN
中,由正弦定理求出
MN
.
(2)在△
OAM
,△
OAN
中,用正弦定理求得
OM
及
ON
,
S
△
OMN
=
OM
·
ON
·sin∠
MON
,化简
S
△
OMN
的表达式,由
θ
<
求得
S
△
OMN
的最小值.
解析
(1)在△
OAB
中,因为
OA
=3,
OB
=3
,∠
AOB
=90
°
,所以∠
OAB
=60
°
.
在△
OAM
中,由已知及余弦定理得
OM
2
=
AO
2
+
AM
2
-2
AO
·
AM
·cos
A
=7,
所以
OM
=
,所以cos∠
AOM
=
=
,
在△
OAN
中,sin∠
ONA
=sin(∠
A
+∠
AON
)=sin(∠
AOM
+90
°
)=cos∠
AOM
=
.
在△
OMN
中,由
=
得
MN
=
×
=
.
故点
M
,
N
之间的距离为
km.
(2)设∠
AOM
=
θ
,0<
θ
<
.
在△
OAM
中,由
=
得
OM
=
.
在△
OAN
中,由
=
得
ON
=
=
.所以
S
△
OMN
=
OM
·
ON
·sin∠
MON
=
·
·
·
=
=
=
=
,
因为0<
θ
<
,所以2
θ
+
∈
,
所以当2
θ
+
=
,即
θ
=
时,
S
△
OMN
取最小值
.
所以应设计∠
AOM
=
,可使△
OMN
的面积最小,最小面积是
km
2
.
方法总结
解三角形应用题的方法
(1)解三角形应用题的一般步骤:
(2)解三角形应用题的两种情形:
①实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用
正弦定理或余弦定理求解.
②实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形,
这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求出其他三角形中
的解,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程,解方程得出所要求的
解.
(3)解三角形应用题应注意的问题:
①画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形,如等边三角形、直角三角形
等,这样可以优化解题过程.
②解三角形时,为避免误差的累积,应尽可能用已知的数据(原始数据),少用
间接求出的量.
例
如图,现要在一块半径为1 m,圆心角为
的扇形白铁片
AOB
上剪出一
个平行四边形
MNPQ
,使点
P
在弧
AB
上,点
Q
在
OA
上,点
M
,
N
在
OB
上,设∠
BOP
=
θ
,平行四边形
MNPQ
的面积为
S
.
(1)求
S
关于
θ
的函数关系式;
(2)求
S
的最大值及相应的
θ
角.
实践探究
解题导引
(1)虽然
P
点变化但
OP
不变,通过构造
与角
θ
所在的直角三角
形,将平行四边形的底和高用角
θ
表示,从而求出
S
关于
θ
的函数关系式.(2)利
用三角恒等变换先化简,再求
S
的最大值及相应的
θ
角.
解析
(1)分别过
P
,
Q
作
PD
⊥
OB
于点
D
,
QE
⊥
OB
于点
E
,则四边形
QEDP
为
矩形.
由扇形半径为1 m,得
PD
=sin
θ
,
OD
=cos
θ
.
在Rt△
OEQ
中,
OE
=
QE
=
PD
.
MN
=
QP
=
DE
=
OD
-
OE
=cos
θ
-
sin
θ
,
则
S
=
MN
·
PD
=
·sin
θ
=sin
θ
cos
θ
-
sin
2
θ
,
θ
∈
.
(2)由(1)得
S
=
sin 2
θ
-
(1-cos 2
θ
)
=
sin 2
θ
+
cos 2
θ
-
=
sin
-
,
因为
θ
∈
,
所以2
θ
+
∈
,sin
∈
.
当
θ
=
时,
S
max
=
m
2
.
规律方法
(1)结合具体图形引进角为参数,利用三角函数的有关公式进行
化简,解决问题.
(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样,先建模,再讨论变
量的范围,最后作出结论并回答问题.
题目价值
本题以生活问题为背景,考查三角函数的实际应用.考查数学建
模的核心素养,以及学生处理信息的思维能力.
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