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- 2021-06-25 发布
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解答题通关练
1.三角函数与解三角形
1.已知函数f(x)=mcos x+sin的图象经过点P.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若f(α)=,α∈,求sin α的值.
解 (1)由题意可知f =,
即+=,
解得m=1.
所以f(x)=cos x+sin
=cos x+sin x
=sin,
令-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,
得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)由f(α)=,得sin=.
所以sin=.
又α∈,
所以α+∈,sin=<,
所以cos=-=-.
所以sin α=sin=×-×=.
2.已知△ABC中, AC=2,A=,cos C=3sin B.
(1)求AB;
(2)若D为BC边上一点,且△ACD的面积为,求∠ADC的正弦值.
解 (1)因为A=,
所以B=-C,
由cos C=3sin B得,cos C=sin,
所以cos C=
=cos C-sin C,
所以cos C=sin C,即tan C=.
又因为C∈(0,π),
所以C=,从而得B=-C=,
所以AB=AC=2.
(2)由已知得·AC·CDsin=,
所以CD=,
在△ACD中,由余弦定理得,AD2=AC2+CD2-2AC·
CDcos C=,即AD=,
由正弦定理得,=,
故sin∠ADC==.
3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos 2A+=2cos A.
(1)求角A的大小;
(2)若a=1,求△ABC的周长l的取值范围.
解 (1)根据倍角公式cos 2x=2cos2x-1,
得2cos2A+=2cos A,
即4cos2A-4cos A+1=0,
所以(2cos A-1)2=0,
所以cos A=,
又因为0<A<π,
所以A=.
(2)根据正弦定理==,
得b=sin B,c=sin C,
所以l=1+b+c=1+(sin B+sin C),
因为A=,所以B+C=,
所以l=1+=1+2sin,
因为0<B<,所以l∈(2,3].
4.已知函数f(x)=sin 2ωxcos φ+cos2ωxsin φ+cos(0<φ<π),其图象上相邻两条对称轴之间的距离为π,且过点.
(1)求ω和φ的值;
(2)求函数y=f(2x),x∈的值域.
解 (1)f(x)=sin 2ωxcos φ+sin φ-sin φ
=(sin 2ωxcos φ+cos 2ωxsin φ)=sin(2ωx+φ).
由题意可知,T=2π=,则ω=±,
当ω=时,把点代入f(x)=sin(2ωx+φ)中,可得φ=+2kπ,k∈Z,而0<φ<π,解得φ=.
当ω=-时,把点代入f(x)=sin(2ωx+φ)中,
可得φ=+2kπ,k∈Z,
而0<φ<π,
解得φ=.
(2)由题意可知,当ω=时,f(2x)=sin,0≤x≤,
∴≤2x+≤,
则函数f(2x)的值域为.
当ω=-时,f(2x)=sin=sin,
∵0≤x≤,
∴≤2x+≤,
则函数f(2x)的值域为.
综上,函数f(2x)的值域为.
5.已知函数f(x)=1+2sin cos -2cos2,△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.
(1)求f(A)的取值范围;
(2)若A为锐角且f(A)=,2sin A=sin B+sin C,△ABC的面积为,求b的值.
解 (1)f(x)=sin x-cos x=2sin,
∴f(A)=2sin,
由题意知,0
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