2019年高考数学练习题汇总压轴提升练(一) 4页

压轴提升练(一) ‎ ‎1．(本题满分12分)近年来，随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展，国内企业的国际竞争力得到大幅提升．伴随着国内市场增速放缓，国内有实力的企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来．如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设30多个分支机构，需要国内公司外派大量70后、80后中青年员工．该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方法从70后和80后的员工中随机调查了100位，得到数据如表：‎ 愿意被外派 不愿意被外派 总计 ‎70后 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎80后 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 总计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎(1)根据调查的数据，是否有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，并说明理由；‎ ‎(2)该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排6名参与调查的70后、80后员工参加.70后员工中有愿意被外派的3人和不愿意被外派的3人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为x；80后员工中有愿意被外派的4人和不愿意被外派的2人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为y.求x＜y的概率．‎ 参考数据：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.‎ 解：(1)有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，理由如下：K2＝＝＝≈2.778＞2.706，‎ 所以有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”．‎ ‎(2)“x＜y”包含“x＝0，y＝‎1”‎“x＝0，y＝‎2”‎“x＝0，y＝‎3”‎“x＝1，y＝‎2”‎“x＝1，y＝‎3”‎“x＝2，y＝‎3”‎六个事件，‎ 且P(x＝0，y＝1)＝×＝，P(x＝0，y＝2)＝×＝，‎ P(x＝0，y＝3)＝×＝，P(x＝1，y＝2)＝×＝，‎ P(x＝1，y＝3)＝×＝，P(x＝2，y＝3)＝×＝，‎ 所以P(x＜y)＝＝＝.‎ 即x＜y的概率为.‎ ‎2．(本题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，AD＝AP＝2，AB＝DP＝2，E为CD的中点，点F在线段PB上．‎ ‎(1)求证：AD⊥PC；‎ ‎(2)试确定点F的位置，使得直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等．‎ 解：(1)在平行四边形ABCD中，连接AC(图略)，AB＝2，BC＝2，∠ABC＝45°，‎ 由余弦定理得AC2＝8＋4－2×2×2×cos 45°＝4，得AC＝2，‎ 所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC，又AD∥BC，‎ 所以AD⊥AC，‎ 又AD＝AP＝2，DP＝2，所以PA⊥AD，又AP∩AC＝A，‎ 所以AD⊥平面PAC，又PC⊂面PAC，所以AD⊥PC.‎ ‎(2)因为侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD，所以直线AC，AD，AP两两互相垂直，以A为坐标原点，AD，AC，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，D(－2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，E(－1，1，0)，P(0，0，2)，所以＝(0，2，－2)，＝(－2，0，－2)，＝(2，2，－2)，‎ 设＝λ(λ∈[0，1])，‎ 则＝(2λ，2λ，－2λ)，F(2λ，2λ，－2λ＋2)，‎ 所以＝(2λ＋1，2λ－1，－2λ＋2)，‎ 易得平面ABCD的法向量m＝(0，0，1)．‎ 设平面PDC的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 由得 令x＝1，得n＝(1，－1，－1)．‎ 因为直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等，‎ 所以|cos〈，m〉|＝|cos〈，n〉|，即＝，所以|－2λ＋2|＝||，‎ 即|λ－1|＝|λ|，解得λ＝，所以＝.‎ ‎3．(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于－2，记顶点C的轨迹为曲线E.‎ ‎(1)求曲线E的方程；‎ ‎(2)设直线y＝kx＋2(0＜k＜2)与y轴相交于点P，与曲线E相交不同的两点Q，R(点R在点P和点Q之间)，且＝λ，求实数λ的取值范围．‎ 解：(1)设C(x，y)．‎ 由题意，可得·＝－2(x≠±1)，‎ ‎∴曲线E的方程为x2＋＝1(x≠±1)．‎ ‎(2)设R(x1，y1)，Q(x2，y2)．‎ 联立，得消去y，‎ 可得(2＋k2)x2＋4kx＋2＝0，‎ ‎∴Δ＝8k2－16＞0，∴k2＞2.‎ 又0＜k＜2，∴＜k＜2.‎ 由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，　①‎ x1x2＝.　②‎ ‎∵＝λ，点R在点P和点Q之间，‎ ‎∴x2＝λx1(λ＞1)．　③‎ 联立①②③，可得＝.‎ ‎∵＜k＜2，‎ ‎∴＝∈，‎ ‎∴4＜＜，‎ ‎∴ ‎∴ ‎∴＜λ＜3，且λ≠1.‎ ‎∵λ＞1，∴实数λ的取值范围为(1，3)．‎