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- 2021-06-24 发布
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高考解答题仿真练2
1．已知函数f(x)＝(1＋tan x)cos2x.
(1)求函数f(x)的定义域和最小正周期；
(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．
解 (1)函数f(x)的定义域为
，
因为f(x)＝(1＋tan x)cos2x
＝cos2x
＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x
＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由x∈，得<2x＋<，
所以－b>0)的右顶点、上顶点分别为A，B，坐标原点到直线AB的距离为，且a＝b.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l交椭圆于M，N两点，且该椭圆上存在点P，使得四边形MONP(图形上的字母按此顺序排列)恰好为平行四边形，求直线l的方程．
解 (1)直线AB的方程为bx＋ay－ab＝0，坐标原点到直线AB的距离为＝，
所以＝，
又a＝b，解得a＝4，b＝2，
故椭圆的方程为＋＝1.
(2)由(1)可求得椭圆的左焦点为F1(－2，0)，
易知直线l的斜率不为0，
故可设直线l：x＝my－2，
点M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为四边形MONP为平行四边形，所以
＝＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，
所以P(x1＋x2，y1＋y2)，
联立得(m2＋2)y2－4my－8＝0，
因为Δ＝64(m2＋1)>0，
且y1,2＝，
所以y1＋y2＝，
所以x1＋x2＝－，
因为点P(x1＋x2，y1＋y2)在椭圆上，
所以(x1＋x2)2＋2(y1＋y2)2＝16，
即2＋22＝16，解得m＝±，
所以直线l的方程为x±y＋2＝0.
5．已知函数f(x)＝ax－xln a＋x2－5(a>0，且a≠1)的导函数为f′(x)．
(1)当a＝(e为自然对数的底数)时，求与曲线f(x)相切且与x轴平行的直线l的方程；
(2)当a＝e时，若不等式f(x)<0的解集为(m，n)(m0，
则F(x)单调递增，且F(0)＝0，
故由f′(x)＝0，得x＝0.
又f(0)＝－4，则直线l的方程为y＋4＝0.
(2)证明 当a＝e时，f(x)＝ex－x＋x2－5，
f′(x)＝ex－1＋3x，
令G(x)＝ex－1＋3x，则G′(x)＝ex＋3>0，
则G(x)单调递增，且G(0)＝0，
故由f′(x)＝0得x＝0，
且当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
且f(1)＝e－<0，f(2)＝e2－1>0，
f(－2)＝e－2＋3>0，f(－1)＝e－1－<0，
则－21，当x<0时，3x<0，ax－1<0，ln a>0，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x>0时，3x>0，ax－1>0，ln a>0，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴f′(x)在[－1,0]上单调递减，在(0,1]上单调递增，
∴f(x)min＝f(0)＝－4，f(x)max＝max{f(－1)，f(1)}．
f(1)－f(－1)＝a－ln a＋－5－＝a－－2ln a.
令g(a)＝a－－2ln a，
则g′(a)＝1＋－＝>0，g(a)单调递增，
∴g(a)>g(1)＝0，
即f(1)>f(－1)，∴f(x)max＝f(1)＝a－ln a－，
∴a－ln a－＋4＝a－ln a＋≥e－，
a－ln a≥e－1，
令h(a)＝a－ln a，a>1，
则h′(a)＝1－>0，则h(a)在(1，＋∞)上单调递增，
∵h(a)≥h(e)，∴a≥e.
②若00，ln a<0，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x>0时，3x>0，ax－1<0，ln a<0，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴f(x)在[－1,0]上单调递减，在(0,1]上单调递增，
∴f(x)min＝f(0)＝－4，f(x)max＝max{f(－1)，f(1)}，
由①知g(a)单调递增，
又00.
由a2a3＝15，S4＝16，得
解得或(舍去)，
所以an＝2n－1.
(2)①因为b1＝a1，bn＋1－bn＝，
所以b1＝a1＝1，bn＋1－bn＝＝
＝，
所以b1＝a1＝1，
b2－b1＝，
b3－b2＝，
…，
bn－bn－1＝(n≥2)，
累加得bn－b1＝＝，
所以bn＝，n≥2.
b1＝1也符合上式．故bn＝，n∈N*.
②假设存在正整数m，n(m≠n)，使得b2，bm，bn成等差数列，则b2＋bn＝2bm.
又b2＝，bn＝＝－，
bm＝－，
所以＋＝2，
化简得2m＝＝7－.
当n＋1＝3，即n＝2时，m＝2(舍去)；
当n＋1＝9，即n＝8时，m＝3，符合题意．
所以存在正整数m＝3，n＝8，使得b2，bm，bn成等差数列．
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