高中数学（人教版必修2）配套练习 第四章4.2.1 直线与圆的位置关系 4页

§4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系 一、基础过关 1．直线 3x＋4y＋12＝0 与圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝9 的位置关系是 ( ) A．过圆心 B．相切 C．相离 D．相交 2．直线 l 将圆 x2＋y2－2x－4y＝0 平分，且与直线 x＋2y＝0 垂直，则直线 l 的方程为( ) A．y＝2x B．y＝2x－2 C．y＝1 2x＋3 2 D．y＝1 2x－3 2 3．若圆 C 半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x－3y＝0 和 x 轴都相切，则该圆的标准 方程是 ( ) A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1 4．若直线 ax＋by＝1 与圆 x2＋y2＝1 相交，则点 P(a，b)的位置是 ( ) A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．都有可能 5．过原点 O 作圆 x2＋y2－6x－8y＋20＝0 的两条切线，设切点分别为 P、Q，则线段 PQ 的 长为________． 6．已知圆 C 过点(1,0)，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l：y＝x－1 被该圆所截得的弦长为 2 2，则圆 C 的标准方程为____________． 7．已知圆 C 和 y 轴相切，圆心 C 在直线 x－3y＝0 上，且被直线 y＝x 截得的弦长为 2 7， 求圆 C 的方程． 8．已知圆 C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问是否存在斜率为 1 的直线 l，使 l 被圆 C 截得的弦 AB 满足：以 AB 为直径的圆经过原点． 二、能力提升 9．由直线 y＝x＋1 上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1 引切线，则切线长的最小值为 ( ) A．1 B．2 2 C. 7 D．3 10．圆 x2＋y2＋2x＋4y－3＝0 上到直线 l：x＋y＋1＝0 的距离为 2的点有 ( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 11．由动点 P 向圆 x2＋y2＝1 引两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，且∠APB＝60°，则动 点 P 的轨迹方程为__________________． 12．已知 P 是直线 3x＋4y＋8＝0 上的动点，PA、PB 是圆 C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0 的两条 切线，A、B 是切点． (1)求四边形 PACB 面积的最小值； (2)直线上是否存在点 P，使∠BPA＝60°，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明 理由． 三、探究与拓展 13．圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线 l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)． (1)证明：不论 m 取什么数，直线 l 与圆 C 恒交于两点； (2)求直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度，并求此时 m 的值． 答案 1．D 2．A 3．A 4．B 5．4 6．(x－3)2＋y2＝4 7．解 设圆心坐标为(3m，m)，∵圆 C 和 y 轴相切，得圆的半径为 3|m|，∴圆心到直线 y ＝x 的距离为|2m| 2 ＝ 2|m|. 由半径、弦心距的关系得 9m2＝7＋2m2， ∴m＝±1.∴所求圆 C 的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9 或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9. 8．解 假设存在且设 l 为：y＝x＋m，圆 C 化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心 C(1，－2)． 解方程组 y＝x＋m y＋2＝－x－1 得 AB 的中点 N 的坐标 N(－m＋1 2 ，m－1 2 )， 由于以 AB 为直径的圆过原点，所以|AN|＝|ON|. 又|AN|＝ |CA|2－|CN|2＝ 9－m＋32 2 ， |ON|＝ －m＋1 2 2＋m－1 2 2. 所以 9－3＋m2 2 ＝ －m＋1 2 2＋ m－1 2 2，解得 m＝1 或 m＝－4. 所以存在直线 l，方程为 x－y＋1＝0 和 x－y－4＝0，并可以检验，这时 l 与圆是相交于 两点的． 9．C 10．C 11．x2＋y2＝4 12．解 (1)如图，连接 PC，由 P 点在直线 3x＋4y＋8＝0 上，可设 P 点坐标为(x，－2－3 4x)． 圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1， 所以 S 四边形 PACB＝2S△PAC＝2×1 2 ×|AP|×|AC|＝|AP|. 因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1， 所以当|PC|2 最小时，|AP|最小． 因为|PC|2＝(1－x)2＋(1＋2＋3 4x)2＝(5 4x＋1)2＋9. 所以当 x＝－4 5 时，|PC|2min＝9. 所以|AP|min＝ 9－1＝2 2. 即四边形 PACB 面积的最小值为 2 2. (2)假设直线上存在点 P 满足题意． 因为∠APB＝60°，|AC|＝1， 所以|PC|＝2. 设 P(x，y)，则有 x－12＋y－12＝4， 3x＋4y＋8＝0. 整理可得 25x2＋40x＋96＝0， 所以Δ＝402－4×25×96<0.所以这样的点 P 是不存在的． 13．(1)证明 ∵直线 l 的方程可化为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0(m∈R)． ∴l 过 2x＋y－7＝0 x＋y－4＝0 的交点 M(3,1)． 又∵M 到圆心 C(1,2)的距离为 d＝ 3－12＋1－22＝ 5<5， ∴点 M(3,1)在圆内，∴过点 M(3,1)的直线 l 与圆 C 恒交于两点． (2)解 ∵过点 M(3,1)的所有弦中，弦心距 d≤ 5，弦心距、半弦长和半径 r 构成直角三 角形，∴当 d2＝5 时，半弦长的平方的最小值为 25－5＝20. ∴弦长 AB 的最小值|AB|min＝4 5. 此时，kCM＝－1 2 ，kl＝－2m＋1 m＋1 . ∵l⊥CM，∴1 2·2m＋1 m＋1 ＝－1， 解得 m＝－3 4. ∴当 m＝－3 4 时，取到最短弦长为 4 5.