高中数学必修1教案：第九章直线平面简单几何体(B)(第3课)基本性质(3) 7页

课 题： 9．1平面的基本性质(三)‎ 教学目的：‎ ‎1.理解公理三的三个推论.‎ ‎2.进一步掌握“点线共面”的证明方法 ‎ ‎3．将三条定理及三个推论用符号语言表述，提高几何语言水平．‎ ‎4．通过公理3导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力．‎ 教学重点：用反证法和同一法证明命题的思路．‎ 教学难点：对公理3的三个推论的存在性与唯一性的证明及书写格式． ‎ 授课类型：新授课 ‎ 课时安排：1课时 ‎ 教 具：多媒体、实物投影仪 ‎ 教学过程：‎ 一、复习引入： ‎ ‎1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 ‎2．平面的画法及其表示方法：‎ ‎①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画 ‎②一般用一个希腊字母、、……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面等 ‎3．空间图形是由点、线、面组成的 点、线、面的基本位置关系如下表所示：‎ 图形 符号语言 文字语言（读法）‎ 点在直线上 点不在直线上 点在平面内 点不在平面内 直线、交于点 直线在平面内 直线与平面无公共点 直线与平面交于点 平面、相交于直线 ‎（平面外的直线）表示或 ‎4平面的基本性质 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 推理模式：． 如图示：‎ 应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面．‎ 公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．‎ 公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 推理模式：且且唯一如图示： ‎ 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上 公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．‎ 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 推理模式：与重合 应用：①确定平面；②证明两个平面重合 ‎ ‎“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．‎ ‎5平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形 二、讲解新课：‎ 推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.‎ 已知：直线，点是直线外一点.‎ 求证：过点和直线有且只有一个平面 ‎ 证明：（存在性）：在直线上任取两点、，‎ ‎∵，∴不共线．‎ 由公理3，经过不共线的三点可确定一个平面，‎ ‎∵点在平面内，根据公理1，‎ ‎∴，即平面是经过直线和点的平面.‎ ‎（唯一性）：∵，，，∴点，‎ 由公理3，经过不共线的三点的平面只有一个，‎ 所以，经过和点的平面只有一个 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面 已知：直线.‎ 求证：过直线和直线有且只有一个平面 证明：（存在性）：在直线上任取一点A，直线上任取一点都与P不重合 ‎∵，∴不共线．‎ 由公理3，经过不共线的三点可确定一个平面，‎ ‎∵点在平面内，根据公理1，‎ ‎∴，即平面是经过直线和直线的平面.‎ ‎（唯一性）：∵，，，‎ ‎∴点，‎ 由公理3，经过不共线的三点的平面只有一个，‎ 所以，经过直线和直线的平面只有一个 推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面 已知：直线.‎ 求证：过直线和直线有且只有一个平面 证明：（存在性）： ‎ ‎∵ ∴由平行线的定义，直线和直线在同一个平面内，‎ 即平面是经过直线和直线的平面.‎ ‎（唯一性）：取，，‎ ‎∵ ∴点A,B,C不共线且，‎ 由公理3，经过不共线的三点的平面只有一个，‎ 所以，经过直线和直线的平面只有一个 三、讲解范例：‎ 例1 两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内 已知：直线两两相交，交点分别为 求证：直线共面 证法一：∵直线，∴直线和可确定平面，‎ ‎∵，，∴，，‎ ‎∴，即 ‎ 即直线共面 证法二：因为A直线BC上，所以过点A和直线BC确定平面α．（推论1）‎ 因为A∈α， B∈BC，所以B∈α．故AB α，‎ 同理AC α，‎ 所以AB，AC，BC共面．‎ 证法三：‎ 因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面α． ‎ 因为A∈α，B∈α，所以AB α． ‎ 同理BC α，AC α，所以AB，BC，CA三直线共面．‎ 问题：在这题中“且不过同一点”这几个字能不能省略，为什么？‎ 例2 在正方体中，①与是否在同一平面内？②点是否在同一平面内？③画出平面与平面的交线，平面与平面的交线 解：①在正方体中，‎ ‎∵，∴由推论3可知，与可确定平面，‎ ‎∴与在同一平面内 ‎②∵点不共线，由公理3可知，点可确定平面，‎ ‎∴点在同一平面内 ‎③∵，，∴点平面，平面，‎ 又平面，平面，∴平面平面，‎ 同理平面平面．‎ 例3 若，，，试画出平面与平面的交线 解：（1）若时，如图（1）；（2）若时，如图（2）‎ ‎ ‎ 四、课堂练习：‎ ‎1．选择题 ‎（1）下列图形中不一定是平面图形的是 （ ）‎ ‎ （A）三角形 （B）菱形 （C）梯形 （D）四边相等的四边形 ‎（2）空间四条直线，其中每两条都相交，最多可以确定平面的个数是（ ）‎ ‎ （A）一个 （B）四个 （C）六个 （D）八个 ‎（3）空间四点中，无三点共线是四点共面的 （ ）‎ ‎ （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要 ‎（4）若a Ì a，b Ì b，a∩b=c，a∩b=M，则 （ ）‎ ‎ （A）MÎc （B）MÏc （C）MÎa （D）MÎb 答案：⑴ D ⑵ C ⑶ D ⑷ A ‎2．已知直线a//b//c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面. ‎ 证明：因为a//b，由推论3，存在平面，使得 又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，‎ 下面用反证法证明直线：‎ 假设，则,在平面内过点C作，‎ 因为b//c，则，此与矛盾.故直线.‎ 综上述，a、b、c、d四线共面. ‎ ‎3．求证：一个平面和不在这个平面内的一条直线最多只有一个公共点.‎ 证明：（用反证法）假设一个平面和不在这个平面内的一条直线有2个公共点，则由公理1，这条直线上的每一个点都在这个平面内，此与条件矛盾.所以一个平面和不在这个平面内的一条直线最多只有一个公共点.‎ 五、小结 ：公理3的三个推论是以公理3为主要的推理论证的依据，是命题间逻辑关系的体现，为使命题的叙述和论证简明、准确，应将其证明过程用数学的符号语言表述 ‎ 六、课后作业：‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎