高中数学必修1教案：第九章直线平面简单几何体(B)(第32课)球(2) 3页

课 题：9．11球(二) ‎ 教学目的：‎ ‎1.了解球的体积公式的推导过程，体会其基本思想方法；‎ ‎2.会用球的体积公式解决有关问题 教学重点：球的体积公式及应用；球的体积公式的推导 教学难点：球的体积公式及应用；球的体积公式的推导 授课类型：新授课 ‎ 课时安排：1课时 ‎ 教 具：多媒体、实物投影仪 ‎ 教学过程：‎ 一、复习引入： ‎ ‎1 球的概念：‎ ‎ 与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球定点叫球心，定长叫球的半径与定点距离等于定长的点的集合叫做球面一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球．‎ ‎2．球的截面：‎ 用一平面去截一个球，设是平面的垂线段，为垂足，且，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以为半径的一个圆，截面是一个圆面 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆 ‎3．经度、纬度：‎ 经线：球面上从北极到南极的半个大圆；‎ 纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；‎ 经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数；‎ 纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数 ‎4．两点的球面距离：‎ 球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离 二、讲解新课：‎ ‎1 半球的底面：‎ ‎ 已知半径为的球，用过球心的平面去截球，球被截面分成大小相等的两个半球，截面圆（包含它内部的点），叫做所得半球的底面 ‎2．球的体积：‎ 如图，把垂直于底面的半径作等分，经过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成层，每一层都近似于一个圆柱形的“薄圆片”，这些“薄圆片”的体积之和就是半球的体积 由于“薄圆片”近似于圆柱形状，它的体积近似于相应的圆柱的体积圆柱的高就是“薄圆片”的厚度，底面就是“薄圆片”的下底面 由勾股定理可得，第层（由下向上数），“薄圆片”的下底面半径是，，‎ ‎∴第层“薄圆片”的体积是 ‎，，‎ ‎∴半球体积是 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴半球的体积 ①‎ 容易看出，当不断变大时，①式越来越精确，若变为无穷大时，趋向于，‎ 由此，可由①式推出球的体积公式．‎ 三、讲解范例：‎ 例1 有一种空心钢球，质量为，测得外径等于，求它的内径（钢的密度为，精确到）．‎ 解：设空心球内径(直径)为，‎ 则钢球质量为，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴直径，‎ 答：空心钢球的内径约为． ‎ 四、课堂练习：‎ ‎1球的大圆面积增大为原来的倍，则体积增大为原来的 倍；‎ ‎2．三个球的半径之比为，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍；‎ ‎3.若球的大圆面积扩大为原来的倍，则球的体积比原来增加 倍；‎ ‎4.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ；‎ ‎5.正方体全面积是，它的外接球的体积是，内切球的体积是 ．‎ 答案：1. 8 2.3 3. 7 4. 6 5. ‎ 五、小结 ：球的体积公式的推导；球的体积公式的应用 ‎ 六、课后作业：‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎