高中数学必修1教案：第二章（第7课时）函数单调性2 5页

课 题：2.3.2函数的单调性2‎ 教学目的：‎ ‎1.. 巩固函数单调性的概念；熟练掌握证明函数单调性的方法和步骤；初步了解复合函数单调性的判断方法.‎ ‎2.会求复合函数的单调区间. 明确复合函数单调区间是定义域的子集.‎ 教学重点：熟练证明函数单调性的方法和步骤.‎ 教学难点：单调性的综合运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎1.对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 ‎⑴若当<时，都有<,则说在这个区间上是增函数；‎ ‎⑵若当<时，都有 >,则说在这个区间上是减函数.‎ ‎2.若函数在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.‎ ‎3.判断证明函数单调性的一般步骤是：⑴设,是给定区间内的任意两个值，且<；⑵作差－，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断－的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据－的符号确定其增减性.‎ 二、讲解新课：‎ ‎1．函数单调性的证明 例1．判断并证明函数的单调性 证明：设则 ‎∵ ∴ ，,‎ ‎∴即 （注：关键的判断）‎ ‎∴在R上是增函数. ‎ ‎2．复合函数单调性的判断 对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表：‎ 增 ↗‎ 减 ↘‎ 增 ↗‎ 减 ↘‎ 增 ↗‎ 减 ↘‎ 增 ↗‎ 减 ↘‎ 减 ↘‎ 增 ↗‎ 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.‎ 证明：①设，且 ‎∵在上是增函数，‎ ‎∴，且 ‎∵在上是增函数，∴.‎ 所以复合函数在区间上是增函数 ‎②设，且，∵在上是增函数，‎ ‎∴，且 ‎∵在上是减函数，∴.‎ 所以复合函数在区间上是减函数 ‎③设，且，∵在上是减函数，‎ ‎∴，且 ‎∵在上是增函数，∴.‎ 所以复合函数在区间上是减函数 ‎④设，且，∵在上是减函数，‎ ‎∴，且 ‎∵在上是减函数，∴.‎ 所以复合函数在区间上是增函数 例2．求函数的值域，并写出其单调区间 解：题设函数由和复合而成的复合函数，‎ 函数的值域是，‎ 在上的值域是.‎ 故函数的值域是.‎ 对于函数的单调性，不难知二次函数在区间上是减函数，在区间上是增函数；‎ 二次函数区间上是减函数，在区间上是增函数 当时，，即，或.‎ 当时，，即，.‎ 因此，本题应在四个区间，，，上考虑 ‎① 当时，，‎ 而在上是增函数，在上是增函数，所以，函数在区间上是增函数 ‎②当时，，‎ 而在上是增函数，在上是减函数，‎ 所以，函数在区间上是减函数 ‎③当时，，‎ 而在上是减函数，在上是减函数，‎ 所以，函数在区间上是增函数 ‎④当时，，‎ 而在上是增函数，在上是减函数，所以，函数在区间上是减函数 综上所述，函数在区间、上是增函数；在区间、上是减函数 另外，本题给出的复合函数是偶函数，在讨论具有奇偶性的函数的单调性时，应注意应用其奇函数或偶函数的性质，以使解题过程简捷、清楚、具有条理性 三、课堂练习：课本P60练习：3，4‎ ‎ 四、小结 本节课学习了以下内容：函数单调性的证明方法 五、课后作业：课本第60习题2.3：4，5，6，7‎ 六、板书设计（略）‎ 七、课后记：‎