高中数学 数列专题 18页

高中数学 数列专题复习 目录 问题一：等差数列、等比数列的证明问题 ‎ 题型一：利用等差（等比）数列的定义 ‎ 题型二：运用等差或等比中项性质 ‎ 题型三：反证法 ‎ 题型四：利用通项公式与前n项和公式，证明判断等差（等比）数列 ‎ 题型五：运用数学归纳法 ‎ ‎☺迁移运用☺ ‎ 问题二：数列中的最值问题 ‎ 题型一：求数列的最大项 ‎ 题型二： 的最值问题 ‎ 题型三：求满足数列的特定条件的 最值 ‎ 题型四：求满足条件的参数的最值 ‎ 题型五：实际问题中的最值 ‎ ‎☺迁移运用☺ ‎ 问题三：由复杂递推关系求解数列的通项公式问题 ‎ 题型一：用累加法求数列的通项 ‎ 题型二：利用累乘法求数列的通项 ‎ 题型三：用构造法求数列的通项 ‎ 题型四：利用 与 的关系求数列的通项 ‎ 题型五：递推公式为 （其中 ， 均为常数）‎ ‎☺迁移运用☺ ‎ 问题四：如何顺畅求解复杂数列的求和问题 ‎ 题型一：公式法 ‎ 题型二：分组法 ‎ 题型三：裂项相消法 ‎ 题型四：错位相减法 ‎ 题型五：数列{|an|}的前n项和问题 ‎ ‎☺迁移运用☺ ‎ 问题五：数列与不等式的相结合问题 ‎ 题型一：最值问题 ‎ 题型二：恒成立问题 ‎ 题型三：证明问题 ‎ 题型四：探索性问题 ‎ 题型五：新定义题型 ‎ ‎☺迁移运用☺ ‎ 问题六：数列中探索性问题 ‎ 题型一：条件探索性问题 ‎ 题型二：结论探索性问题 ‎ 题型三：存在性探索问题 ‎ 问题一：等差数列、等比数列的证明问题 ‎ 翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，主要证明方法有：利用等差、等比数列的定义、运用等差或等比中项性质、反证法、利用通项公式与前 项和公式，证明或判断等差（等比）数列即数学归纳法.‎ 题型一：利用等差（等比）数列的定义 用定义法判断一个数列是等差数列，常采用的两个式子 和 有差别，前者必须加上“ ”，否则 时 无意义；在等比数列中一样有： 时，有 （常数 ）；② 时，有 （常数 ）．‎ ‎【例1】在数列 中， ．‎ ‎（1）证明数列 成等比数列，并求 的通项公式；‎ ‎（2）令 ，求数列 的前 项和 ．‎ ‎【小试牛刀】已知数列 满足 ．‎ ‎（1）求证： 为等比数列，并求出 的通项公式；‎ ‎（2）若 ，求 的前n项和 ．‎ ‎【答案】（1） ；（2） ．‎ 题型二：运用等差或等比中项性质 ‎ 是等差数列， 是 等比数列，这是证明数列 为等差（等比）数列的另一种主要方法．‎ ‎【例2】正数数列 和 满足：对任意自然数 成等差数列， 成等比数列．证明：数列 为等差数列．‎ ‎【小试牛刀】设数列 的前项为 ，已知 ，且 其中 为常数．‎ ‎ （1）求 与 的值； ‎ ‎ （2）证明数列 为等差数列．‎ 题型三：反证法 ‎ 解决数学问题的思维过程，一般总是从正 面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．‎ ‎【例3】设 是公比不相等的两等比数列， ．证明数列 不是等比数列．‎ ‎【小试牛刀】 设{an}是公比为q的等比数列．‎ ‎ （1）推导{an}的前n项和公式；‎ ‎ （2）设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．‎ 题型四：利用通项公式与前n项和公式，证明判断等差（等比）数列 ‎【例4】若 是数列 的前 项和， ，则 是( 　　)‎ A．等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C．等差数列，而且也是等比数列 D.既非等数列又非等差数列 利用常规结论，证明或判断等差（等比）数列 ‎ 1、若数列 是公比为 的等比数列，则 ‎（1）数列 （ 为不等于零的常数）仍是公比为 的等比数列；‎ ‎（2）若数列 是公比为 的等比数列，则数列 是公比为 的等比数列；‎ ‎（3）数列 是公比为 的等比数列；‎ ‎（4）数列 是公比为 的等比数列；‎ ‎（5）在数列 中，每隔 项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且 公比为 ；‎ ‎（6） ， ， 等都是等比数列；‎ ‎（7）若 成等差数列时， 成等比数列；‎ ‎（8） 均不为零时，则 成等比数列；‎ ‎2、若数列 是公差为 等差数列，则 ‎（1） 成等差数列，公差为 （其中 是实常数）；‎ ‎（2） ，（ 为常数），仍成等差数列，其公差为 ；‎ ‎（3）若 都是等差数列，公差分别为 ，则 是等差数列，公差为 ；‎ ‎（4） 成等差数列时， 成等差数列．　　‎ ‎【小试牛刀】正数数列{an}对任意p，q N＋，都有ap＋q＝ap＋aq，若a2＝4，则a9＝(　　)‎ A．6　　　　　　　　　B．9 C．18 D．20‎ ‎【答案】B 题型五：运用数学归纳法 ‎【例5】数列 的前 项和记为 ，已知 ， ．‎ 证明：数列 是等比数列． ‎ ‎【小试牛刀】已知数列 满足 .‎ ‎（1）写出 ， ， ，并推测 的表达式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明推测的结论.‎ ‎☺迁移运用☺‎ ‎1、已知在正整数数列{an}中，前n项和Sn满足：Sn＝18(an＋2)2，则{an}为（ ）数列．‎ A. 等差 B. 等比 ‎ C. 常数列 D. 可能是等差数列也可能是等比数列 ‎【答案】A ‎2、等差数列 的前 项和为30，前 项和为100则它的前 项和为（　　）‎ A．130 B．170 C．210 D．260‎ ‎【答案】C ‎3、已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，n∈N*，则(　　)‎ A．{an}是递增的等比数列 B．{an}是递增数列，但不是等比数列 C．{an}是递减的等比数列 D．{an}不是等比数列，也不单调 ‎【答案】B ‎4、等差数列 的公差 ， ，前 项和为 ，对正整数 ，下列四个结论中：‎ ‎（1） 成等差数列，也可能成等比数列；‎ ‎（2） 成等差数列，但不可能成等比数列；‎ ‎（3） 可能成等比数列，但不可能成等差数列；‎ ‎（4） 不可能成等比数列，也不可能成等差数列；‎ 正确的是 （ ）‎ A.（1）（3） B.（1）（4） C.（2）（3） D.（2）（4）‎ ‎【答案】D ‎5、已知数列 的前 项和为 ， ， ， ，其中 为常数．‎ ‎ （1）证明： ；‎ ‎ （2）当 为何值时，数列 为等差数列？并说明理由．‎ ‎6、设数列 的前 项和为 ，已知 ， ，其中 .‎ ‎ （1）求证: 是等差数列；‎ ‎ （2）求证: ；‎ ‎ （3）求证: .‎ ‎7、设数列 满足： .‎ ‎（1）求证：数列 是等比数列；‎ ‎（2）若 ，且对任意的正整数 ，都有 ，求实数 的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2） 或 .‎ ‎8、设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=4an﹣p，其中p是不为零的常数．‎ ‎（1）证明：数列{an}是等比数列；‎ ‎（2）当p=3时，若数列{bn}满足bn+1=bn+an（n N*），b1=2，求数列{bn}的通项公式．‎ ‎9、在数列{an}中，已知 ， ， ‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求证：数列{bn}是等差数列；‎ ‎（3）设数列{cn}满足cn=an+bn，求{cn}的前n项和Sn．‎ ‎【答案】（1） ，n N*；（2）见解析；（3） ‎ ‎10、设数列{an}满足当n＞1时， ，且 ．‎ ‎（1）求证：数列 为等差数列；‎ ‎（2）试问a1a2是否是数列{an}中的项．如果是，是第几项；如果不是，说明理由．‎ ‎11、已知数列 的前 项和为 ，若 （ ），且 ．‎ ‎（1）求证：数列 为等差数列；‎ ‎（2）设 ， 数列 的前 项和为 ，证明: （ ）．‎ ‎12、已知数列 的各项均不为0，其前n项和为 ，且满足 ， ．‎ ‎（1）求 的值；‎ ‎（2）求证 是等差数列；‎ ‎（3）若 ，求数列 的通项公式 ，并求 ‎ ‎【答案】（1） ；（2）见解析；‎ ‎（3） ， ．‎ 问题二：数列中的最值问题 ‎ 数列中的最值常见题型有：求数列的最大项或最小项、与 有关的最值、求满足数列的特定条件的 最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等.‎ 题型一：求数列的最大项 ‎【例1】已知数列 的通项公式为 = ，求 的最大项．‎ ‎【小试 牛刀】等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最大值为_____．‎ ‎【答案】4‎ 题型二： 的最值问题 ‎【例2】已知数列{an}的前n项和Sn＝－12n2＋kn(其中k∈N＋)，且Sn的最大值为8.‎ ‎（1）确定 常数k，并求an；‎ ‎ (2)求数列 的前n项和Tn.‎ ‎【小试牛刀】设向量 ， （ ），若 ，设数列 的前 项和为 ，则 的最小值为 ．‎ ‎【答案】1 ‎ 题型三：求满足数列的特定条件的 最值 ‎【例3】数列 是等差数列，若 ，且它的前n项和 有最大值，那么当 取得最小正值时，n等于（ ）‎ A．17 B．16 C．15 D．14‎ ‎【小试牛刀】已知数列 的前 项和 ，数列{ }满足 ，且 ．‎ ‎(1) 求 ， ； (2) 设 为数列{ }的前 项和，求 ，求满足 7时 的最大值．‎ 题型四：求满足条件的参数的最值 ‎【例4】 各项均不相等的等差数列 的前四项和 ，且 ， ， 成等比数列．‎ ‎(1) 求数列 的通项公式；‎ ‎(2) 设 为 数列 的前 项和，若 对 恒成立，求实数 的最小值．‎ ‎【小试牛刀】已知数列 的通项公式为 ，前 项和为 ，若对任意的正整数 ，不等式 恒成立，则常数 所能取得的最大整数为 .‎ ‎【答案】5‎ 题型五：实际问题中的最值 ‎【例5】为了保障幼儿园儿童的人身安全，国家计划在甲、乙两省试行政府规范购置校车方案，计划若干时间内（以月为单位）在两省共新购1000辆校车．其中甲省采取的新购方案是：本月新购校车10辆，以后每月的新购量 比上一月增加50％；乙省采取的新购方案是：本月新购校车40辆，计划以后每月比上一月多新购m辆．‎ ‎ （1）求经过n个月，两省新购校车的总数S(n)；‎ ‎ （2）若两省计划在3个月内完成新购目标，求m的最小值．‎ ‎【小试牛刀】某企业为节能减排，用 万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用 万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加 万元，该设备每年生产的收入均为 万元. 设该设备使用了 年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则 等于（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎☺迁移运用☺‎ ‎1、设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是(　　)．‎ A.163 B.133 C．4 D．0‎ ‎【答案】D ‎2、等差数列 中， ， 是前n项和且 ，则当 （ ）时， 最大.‎ A.12 B.13 C．12或13 D．13或14 ‎ ‎【答案】D ‎3、等差数列{ an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是(　　)‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】 C　‎ ‎4、数列{an}满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1 025的最小n值是(　　)．‎ A．9 B．10 C．11 D．12‎ ‎【答案】C ‎5、在数列{an}中，an＝n－2 013n－2 014，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是 (　　)‎ A．a1，a50 B．a1，a44 C．a45，a44 D．a45，a50‎ ‎【答案】C ‎6、已知函数 ，且 ，设等差数列 的前 项和为 ， 若 ，则 的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】‎ ‎7、在正项等比数列{an}中，a5＝12，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整数n的值为________．‎ ‎【答案】12‎ ‎8、等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为 ．‎ ‎9、已知数列 满足 ， ，则 的最小值为 ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎10、已知等差数列 满足： ，且 ， ， 成等比数列. ‎ ‎ （1）求数列 的通项公式；‎ ‎（2）记 为数列 的前 项和，是否存在正整数n，使得 ？若存在，‎ 求 的最小值；若不存在，说明理由. ‎ ‎11、已知首项为32的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n N*)，且S3＋a3，‎ S5＋a5，S4＋a4成等差数列．‎ ‎(1) 求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2) 设Tn＝Sn－1Sn(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．‎ ‎12、公差不为零的等差数列{an}中，a1、a2、a5成等比数列，且该数列的前10项和为100．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=an﹣10，求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．‎ ‎【答案】（1）an=2n﹣1；（2）﹣25．‎ ‎13、已知数列 满足： ， ，且 ‎ ，记集合 .‎ ‎（1）若 ，写出集合 的所有元素；‎ ‎（2）若集合 存在一个元素时3的倍数，证明： 的所有元素都是3的倍数；‎ ‎（3）求集合 的元素个数的最大值.‎ ‎14、设数列 （ ）的前 项和 满足 ，且 ， ， 成等差数列.‎ ‎（1）求数列 的通项公式；‎ ‎（2）设数列 的前 项和为 ，求使得 成立的 的最小值. ‎ 问题三：由复杂递推关系求解数列的通项公式问题 递推公式是给出数列的一种重要方法，利用递推关系式求数列的通项时，通常将所给 递 推关系式进行适当的变形整理，如累加、累乘、待定系数等，构造或转化为等差数列或等比数列，然后求通项. ‎ 题型一：用累加法求数列的通项 ‎【例1.】在数列 中， ， ，则该数列的通项公式 = ．‎ ‎【小试牛刀】在数列{an}中，已知a1＝1，当n ≥ 2时，有an＝an－1＋2n－1(n ≥ 2)，求数列的通项公式.‎ 题型二：利用累乘法求数列的通项 ‎【例2】 是首项为1的正项数列，且 ，则 .‎ ‎【小试 牛刀】在数列{an}中，已知a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n ≥ 2)，则数列{an}的通项公式为 ．‎ 题型三：用构造法求数列的通项 ‎【例3】已知数列满足 ，且 =2，则 =__________．‎ ‎【小试牛刀】已知数列 满足 ， ， ， ，‎ 则 ．‎ ‎【答案】 ．‎ 题型四：利用 与 的关系求数列的通项 ‎【例4】设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.‎ ‎（1）求a1的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式．‎ ‎【小试牛刀】已知数列 的前 项和 满足 ，则 __________．‎ ‎【答案】 ‎ 题型五：递推公式为 （其中 ， 均为常数）.‎ ‎【例5.】数列 ： ， ，求数列 的通项公式.‎ ‎【小试牛刀】已知数列 满足 ‎ ‎ （1）证明：数列 是等比数列；‎ ‎ （2）求数列 的通项公式；‎ ‎（3）若数列 满足 证明 是等差数列 ‎ ‎☺迁移运用☺‎ ‎1、已 知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是(　　)‎ A．2n－1 B. C．n2 D．n ‎【答案】D ‎2、数列 中， ， ， （ ， ），则 ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎3、数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N＋)．若b3＝－2，b10＝12，‎ 则a8＝(　　)‎ A．0　　　　　 　B．3 C．8 D．11‎ ‎【答案】B ‎4、正项数列{an}满足：a1＝1，a2＝2，2a2n＝a2n＋1＋a2n－1(n∈N*，n ≥ 2)，则a7＝________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎5、在数列{an}中，a1＝1，112an＝14an－1＋13(n ≥ 2)，则{an}的通项公式为 ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎6、已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an2an＋1，则其通项公式为________．‎ ‎【答案】36n－5‎ ‎7、数列{an}满足：a1＝1，(n－1)an＝n×2nan－1(n∈N，n ≥ 2)，则数列{an}的通项公式为_____．‎ ‎【答案】 ‎ ‎8、在数列 中， ， 则数列 的通项通项 ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎9、已知数列 的前n项和为 ，且 ．‎ ‎（1）求出数列 的通项公式；‎ ‎（2）设数列 满足 ，若 对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围．‎ ‎【答案】（1） ；（2） ．‎ ‎10、已知{an}的前n项和Sn，an＞0且an2+2an=4Sn+3‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）若 ，求{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【答案】（1）an=2n+1；（2） ．‎ ‎11、已知数列{an}的前n项和为Sn，且 ， ‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设 ，n∈N*，若bn ≤ λ，n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．‎ ‎（3）设 ， ，Tn是数列{Cn}的前n项和，证明 ．‎ ‎12、已知数列 的首项 ，且满足 ．‎ ‎（1）求数列 的通项公式；‎ ‎（2）设 ，求数列 的前n项和 ．‎ ‎【答案】（1） ；（2） ．‎ ‎13、设数列 的前 项和为 ，已知 ， ，且 .‎ ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）求 .‎ ‎【答案】(2) ‎ ‎14、已知数列 和 满足， ‎ ‎ .‎ ‎(1) 求 与 ;‎ ‎(2) 记数列 的前 项和为 ，求 .‎ 问题四：如何顺畅求解复杂数列的求和问题 ‎ 数列求和数历年高考命题的热点，数列求和的方法取决于其通项公式的形式，基本思路是将其转化为等成数列或等比数列的求和问题进行求解.‎ 题型一：公式法 ‎ 公式法是数列求和的最基本的方法．也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和.利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时 ，应对其是否为1进行讨论．‎ ‎【例1】设 为等差数列， 为数列 的前n项和，已知 ， ， 为数列 的前n项和，求 ．‎ ‎【小试牛刀】 的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B 题型二：分组法 将数列的每一项拆成多项，然后重新分组，将一般的数列求和问题转化成特殊数列求和问题.运用这种方法的关键是将通项变形.‎ ‎“合项”法是利用加法的交换律和结合律将“不规则和”转化为“规则和”，化繁为简.‎ ‎【例2】 已知数列 中， ，且 ，则数列 的前 项和为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A．‎ ‎【小试牛刀】已知数列 的通项公式为 ，数列 是以函数 的最小正周期为首项，以 为公比的等比数列，求数列 的前 项和 . ‎ 题型三：裂项相消法 此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了．只剩下有限的几项．注意：①余下的项前后的位置前后是对称的．②余下的项前后的正负性是相反的．‎ ‎【例3】已知数列 前 项和为 ，首项为 ，且 ， ， 成等差数列．‎ ‎ （1）求数列 的通项公式；‎ ‎ （2）数列 满足 ，求证： ．‎ ‎【小试牛刀】数列1， ， ，…， 的前 项和 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B 题型四：错位相减法 若数列 是等差数列，数列 是等比数列，由这两个数列的对应项的乘积组成的新数列 ，当求数列的前 项和时，常常采用将 各项乘以 的公比 ，并向后错一项与原 的同次项对应相减的方法.错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题. 注意：①要考虑当公比 为1时为特殊情况 ， ②错位相减时要注意末项.‎ ‎【例4】 已知数列 ， 满足 ， ， ， .‎ ‎ （1）求证数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；‎ ‎ （2）令 求数列 的前 项和 .‎ ‎【小试牛刀】已知数列 的首项 ，且满足 ．‎ ‎（1）求数列 的通项公式；‎ ‎（2）设 ，求数列 的前n项和 ．‎ 题型五：数列{|an|}的前n项和问题 ‎【例5】在公差为d的等差数列{an}中， 已知a1＝10，且a1，2a2＋2，5a3成等比数列．‎ ‎ (1)求d，an；‎ ‎ （2）若d < 0，求|a1|＋|a2|＋…＋|an|.‎ ‎【牛刀小试】数列 的前 项和为 ，则 ；数列 的前10项和 ．‎ ‎【答案】 ， ．‎ ‎☺迁移运用☺‎ ‎1、已知数列 满足： ，且 ，则 的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎ 2、函数f(x)＝x2＋2bx过(1，2)点，若数列 的前n项和为Sn，则S2 014的值为(　　)‎ A. 2 0122 011 B. 2 0102 011 C. 2 0142 013 D. 2 0142 015‎ ‎【答案】D ‎3、已知函数f(n)＝n2(当n为奇数时)，－n2(当n为偶数时)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于（ ）‎ ‎ A．0 B．100 C．－100 D．10 200‎ ‎【答案】B ‎4、已知数列 的前n项和为 ，令 ，记数列 的前n项为 ，则 ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎5、数列 的通项公式是 ，则该数列的前100项之和为 A． B． C．200 D．100‎ ‎【答案】D ‎6、设f(x)＝4x4x＋2，若S＝f(12 015)＋f(22 015)＋…＋f(2 0142 015)，则S＝________.‎ ‎【答案】1 007‎ ‎7、数列 的通项为 ，前 项和为 ，则 = ．‎ ‎【答案】200‎ ‎8、已知数列{an}满足a1＝1，an＋1•an＝2n(n∈N*)，则S2 012 。‎ ‎【答案】 ‎ ‎9、数列 的通项 ，其前 项和为 ，则 为 ．‎ ‎【答案】470．‎ ‎10、数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________．‎ ‎【答案】1830‎ ‎11、设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－12n，n∈N＋，则：‎ ‎(1) a3＝________；‎ ‎(2) S1＋S2＋…＋S100＝________.‎ ‎【答案】(1)－116　（2） ‎ ‎12、已知等差数列 的公差 ，其前 项和为 ，若 ，且 成等比数列．‎ ‎（1）求数列 的通项公式；‎ ‎（2）记 ，且数列 的前 项和为 ，证明： ．‎ ‎【答案】（1） ；（2）证明见解析.‎ ‎13、直线ln：y＝x－2n与圆Cn：x2＋y2＝2an＋n交于不同的两点An，Bn，n∈N＋.数列{an}‎ 满足：a1＝1，an＋1＝14|AnBn|2.‎ ‎(1) 求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn＝2n－1(n为奇数)，an(n为偶数)，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【答案】Tn＝n2－n2＋23(2n－1)(n为偶数)，n2＋n2＋13(2n－2)(n为奇数).‎ ‎14、在数列 中，其前 项和为 ，满足 .‎ ‎ （1）求数列 的通项公式;‎ ‎ （2）设 （ 为正整数），求数列 的前 项和 .‎ ‎15、在等比 数列{an}中，an>0(n∈N＋)，公比q∈(0，1)，且a3a5＋2a4a6＋a3a9＝100，又4是a4与a6的等比中项．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn＝log2an，求数列{|bn|}的前n项和Sn.‎ 问题五：数列与不等式的相结合问题 数列与不等式的交汇题，是高考数学的常见题型. 对数列不等式综合题的解答，往往要求能够熟练应用相关的基础知识和基本技能，同时还应具备比较娴熟的代数变换技能和技巧. ‎ 近年数列与不等式交汇题考查点：‎ ‎1．以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇.‎ ‎2．以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大.‎ ‎3．将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查，主要考查转化及方程的思想.‎ 题型一：最值问题 求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：（1）建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最 值；（2）首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；（3）利用条件中的不等式关系确定最值.‎ ‎【例1】设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ， 则 的最大值为______.‎ ‎【小试牛刀】已知等差数列 的等差 ，且 ， ， 成等比数列，若 ， 为数列 的 前 项和，则 的最小值为（ ）‎ A．4 B． 3 C． D． ‎ ‎【答案】A．‎ 题型二：恒成立问题 求解数列与不等式结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：（1）若函数 在定义域为 ，则当 时，有 恒成立 ； 恒成立 ；（2）利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得. ‎ ‎【例2】已知正项数列 的首项 ，前 项和 满足 ．‎ ‎ （1）求证： 为等差数列，并求数列 的通项公式；‎ ‎ （2）记数列 的前 项和为 ，若对任意的 ，不等式 4恒成立，求实数 的取值范围．‎ ‎【小试牛刀】设等差数列 的前 项和为 ，且满足 ，对任意正整数 ，都有 ，则 的值为( )‎ A. 1006 B. 1007 C. 1008 D. 1009‎ ‎【答案】C 题型三：证明问题 此类不等式的证明常用的方法：（1）比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；（2）分析法与综合法， 一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；（3）放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.‎ ‎【例3】设数列 满足 ， ，其中 为实数.‎ ‎(1) 证明： 对任意 成立的充分必要条件是 ；‎ ‎(2) 设 ，证明： ；‎ ‎(3) 设 ，证明： .‎ ‎【小试牛刀】已知等差数列 的公差 ，其前 项和为 ，若 ，‎ 且 成等比数列．‎ ‎（1）求数列 的通项公式；‎ ‎（2）记 ，且数列 的前 项和为 ，证明： ．‎ ‎【答案】（1） ；（2）证明见解析.‎ 题型四：探索性问题 数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在.若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果.‎ ‎【例4】已知等差数列 满足： ，且 、 、 成等比数列.‎ ‎ （1）求数列 的通项公式.‎ ‎ （2）记 为数列 的前 项和，是否存在正整数 ，使得 若存在，求 的最小值；若不存在，说明理由.‎ ‎ ‎ ‎【小试牛刀】是否存在一个等比数列 同时满足下列三个条件：‎ ‎① 且 ；‎ ‎② ；‎ ‎③至少存在一个 ，使得 ， ， 依次构成等差数列？若存在，求出通项公式；若不存在，说明理由.‎ 题型五：新定义题型 ‎【例5】对于数列 ，若 ， ，都有 （t为常数）成立，‎ 则称数列 具有性质P(t)．‎ ‎（1）若数列 的通项公式为 ，且具有性质P(t)，则t的最大值为 ；‎ ‎（2）若数列 的通项公式为 ，且具有性质P(10)，则实数a的取值范围是 ．‎ ‎【答案】（1） ；（2） ‎ ‎【小试牛刀】若有穷数列 （ 是正整数），满足 ，即 （ 是正整数，且 ），就称该数列为“对称数列”.‎ ‎(1) 已知数列 是项数为7的对称数列，且 成等差数列， ，试写出 的每一项.‎ ‎(2) 已知 是项数为 的对称数列，且 构成首项为50，公差为 的等差数列，数列 的前 项和为 ，则当 为何值时， 取到最大值？最大值为多少？‎ ‎(3) 对于给定的正整数 ，试写出所有项数不超过 的对称数列，使得 成为数列中的连续项；当 时，试求其中一个数列的前2008项和 .‎ ‎ ‎ ‎☺迁移运用☺‎ ‎1、已知 是等差数列，公差 不为零，前 项和是 ，若 成等比数列，则（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎2、设 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）.‎ A.若 ，则 B.若 ，则 ‎ C.若 ，则 D.若 ，则 ‎ ‎【答案】C ‎3、设数列 是等比数列，则“ ”是数列 是递增数列的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎4、设 是公差为 的无穷等差数列 的前 项和，则下列命题错误的是（ ）‎ A.若 ，则数列 有最大项 B.若数列 有最大项，则 ‎ C.若数列 是递增数列，则对任意 ，均有 ‎ D. 若对任意 ，均有 ，则数列 是递增 数列 ‎【答案】C ‎5、函 数 若数列 满足 ，且 是递增数列，则实数 的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎6、各项均为正数的数列 的前 项之积为 ，若 ， 的最小值为（ ）．‎ A．7 B．8 C． D． ‎ ‎【答案】A ‎7、已知数列 满足： ，则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎8、已知函数 的定义域为 ，当 时， ，且对任意的实数 ，等式 成立，若数列 满足 ， ，且 ，则下列结论成立的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎9、已知数列 的通项公式为 = ，其中a、b、c均为正数，那么 与 的大小是 （ ）‎ A． > B． < C． = D．与n的取值有关 ‎【答案】B ‎10、已知 ，设 为数列 的最大项，则 ．‎ ‎【答案】8‎ ‎11、已知数列 和 满足 ，若 为等比数列，且 ‎ .‎ ‎（1）求 与 ；‎ ‎（2）设 ，记数列 的前 项和为 ‎ ‎( )求 ；‎ ‎( )求正整数 ，使得对任意 ，均有 .‎ ‎12、在 平面上有一点列 ， ，…， ，…，对每个自然数 ，点 位于函数 的图象上，且点 、点 与点 构成一个以 为顶点的等腰三角形.‎ ‎（1）求点 的纵坐标 的表达式；‎ ‎（2）对每个自然数 ，以 ， ， 为边长能构成一个三角形，求 的取值范围；‎ ‎（3 ）设 .若 取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列 的最大项的项数.‎ ‎13、设 （ ， ）， （ ， ）是函数 的图象上的任意两点．‎ ‎（1）当 时，求 + 的值；‎ ‎（2）设 ，其中 ，求 ‎ ‎（3）对应（2）中 ，已知 ，其中 ，设 为数列 的前 项和，求证： .‎ ‎ ‎ ‎14、已知数列 中 ，函数 ．‎ ‎（1）若正项数列 满足 ，试求出 ， ， ，由此归纳出通项 ，并加以证明；‎ ‎（2）若正项数列 满足 （n∈N*），数列 的前项和为Tn，且 ，求证： ．‎ ‎【答案】（1） ， ；（2）证明见解析．‎ 问题六：数列中探索性问题 ‎ 近几年的高考试卷中经常出现以数列为载体的探索性问题，这类问题不仅考查学生的探索能力，而且给学生提供了创新思维的空间，而这类问题有下列三类题型：规律探索性问题；条件探索性问题；结论探索性问题.现将这三类问题的解法总结如下，供同学们学习时参考.‎ 题型一：条件探索性问题 对于条件开放的探索性问题，往往采用分析法，从结论和部分已知的条件入手，执果索因，导出所需的条件．另外，需要注意的是，这一类问题所要求的往往是问题的充分条件，而不一定是充要条件，因此 ，直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答．‎ ‎【例1】已知数列 为等差数列， ， 的前 和为 ，数列 为等 比数列，且 对任意的 恒成立．‎ ‎（1）求数列 、 的通项公式；‎ ‎（2）是否存在非零整数 ，使不等式 对一切 都成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．‎ ‎（3）各项均为正整数的无穷等差数列 ，满足 ，且存在正整数k，使 成等比数列，若数列 的公差为d，求d的所有可能取值之和．‎ ‎ ‎ ‎【小试牛刀】 数列 满足： .‎ ‎（1）证明：数列 是单调递减数列的充分必要条件是 ；‎ ‎（2）求 的取值范围，使数列 是单调递增数列.‎ 题型二：结论探索性问题 探索结论型问题是指那些题目结论不明确、或者答案不唯一，给同学们留有较大探索余地的试题．一般是由给定的已知条件求相应的结论。它要求同学们充分利用已知条件进行猜想、透彻分析，发现规律、获取结论，这一类问题立意于对发散思维能力的培养和考察，具有开放性，解法活、形式新，无法套用统一的解题模式，不仅有利于考查和区分同学们的数学素质和创新能力，而且还可以有效地检测和区分考生的学习潜能，因而受到各方面的重视，近年来已成为高考试题的一个新亮点．‎ ‎【例2】数列 中， （ 为非零常数），其前n项和 满足 ．‎ ‎（1）求数列 的通项公式；‎ ‎（2）若 ，且 ，求 的值；‎ ‎（3）是否存在实数 ，使得对任意正整数 ，数列 中满足 的最大项恰为第 项？若存在，分别求出 与 的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎【小试牛刀】数列 中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列 的一个子列.‎ ‎ （1）写出数列 的一个是等比数列的子列；‎ ‎ （2）若 是无穷等比数列，首项 ，公比 且 ，则数列 是否存在 一个子列为无穷等差数列？若存在，写出该子列的通项公式；若不存在，证明你的结论. ‎ 题型三：存在性探索问题 ‎ 通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出 肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．‎ ‎【例3】设等差数列 的前 项和为 ， 数列 的前 项和为 满足 ‎ ‎（1）求数列 的通项公式及数列 的前 项和；‎ ‎（2）是否存在非零实数 ，使得数列 为等比数列？并说明理由 ‎【小试牛刀】在等差数列 和等比数列 中， ， ， 是 前 项和． ‎ ‎（1）若 ，求实数 的值；‎ ‎（2）是否存在正整数 ，使得数列 的所有项都在数列 中？若存在，求出所有的 ，若不存在，说明理由；‎ ‎（3）是否存在正实数 ，使得数列 中至少有三项在数列 中，但 中的项不都在数列 中？若存在，求出一个可能的 的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎☺迁移运用☺‎ ‎1、已知数列 是首项为 ，公差为1的等差数列， 若对任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围_______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎2、已知数列 的通项公式为 ，前 项和为 ，若对任意的正整数 ，不等式 恒成立，则常数 所能取得的最大整数为 .‎ ‎【答案】5‎ ‎3、设等差数列 满足公差 ， ，且数列 中任意两项之和也是该数列的一项.若 ，则 的所有可能取值之和为_________________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎4、数列 满足 （ ），‎ ‎（1）证明 为等差数列并求 ；‎ ‎（2）设 ，数列 的前n 项和为 ，求 ；‎ ‎（3）设 ， ，是否存在最小的正整数 使对任意 ，有 成立？设若存在，求出 的值，若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）详见答案；（2） ；（3） ‎ ‎5、已知等比数列 的前 项和为 ， 成等差数列，且 ‎ ‎（1）求 的通项公式 ； ‎ ‎（2）求 ，并求满足 的 值．‎ ‎【答案】（1） ；（2） ，满足 的 值为2．‎ ‎ ‎ ‎6、已知数列 ‎ ‎（1）若 ，对于任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围 ‎（2）求证： ( )‎ ‎【答案】（1） ；（2）详见解析．‎ ‎7、数列 的前 项和 ，数列 满 ．‎ ‎（1）求 ；‎ ‎（2）设 为数列 的前 项和，求 ，并求满足 时 的最大值．‎ ‎【答案】（1） ， ；（2） ， 的最大值为3．‎ ‎8、在等差数列 中，已知 ， . ‎ ‎ （1）求 ；‎ ‎ （2）若 ，设数列 的前 项和为 ，比较 与 的大小．‎ ‎9、已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3， 且an＋1＝an＋2an－1(n≥2)．‎ ‎（1）设bn＝an＋1＋λan，是否存在实数λ，使数列{bn}为等比数列．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；‎ ‎（2）求数列{an}的前n项和Sn.‎ ‎10、等差数列 的公差为 ，且 ．若设 是从 开始的前 项数列的和，即 ， ，如此下去，其中数列 是从第 开始到第 )项为止的数列的 和，即 ．‎ ‎(1) 若数列 ，试找出一组满足条件的 ，使得： ；‎ ‎ (2) 试证明对于数列 ，一定可通过适当的划分，使所得的数列 中的各数都为平方数；‎ ‎(3) 若等差数列 中 ．试探索该数列中是否存在无穷整数数列 ，使得 为等比数列，如存在，就求出数列 ；如不存在，则说明理由．‎