高中数学必修2教案：空间点 直线 平面之间的位置关系小结 5页

课时42 空间点、直线、平面之间的位置关系小结 一、选择题 ‎1. a,b是两条异面直线， （ ）‎ A．若P为不在a、b上的一点，则过P点有且只有一个平面与a，b都平行 B．过直线a且垂直于直线b的平面有且只有一个 C．若P为不在a、b上的一点，则过P点有且只有一条直线与a，b都平行 D．若P为不在a、b上的一点，则过P点有且只有一条直线与a，b都垂直 ‎2.若三棱锥S—ABC的项点S在底面上的射影H在△ABC的内部，且是在△ABC的垂心，则 ( )‎ A．三条侧棱长相等 B．三个侧面与底面所成的角相等 C．H到△ABC三边的距离相等 D．点A在平面SBC上的射影是△SBC的垂心 ‎3. a、b是异面直线，下面四个命题：‎ ‎①过a至少有一个平面平行于b；②过a至少有一个平面垂直于b；③至少有一条直线与a、b都垂直；④至少有一个平面分别与a、b都平行，其中正确命题的个数是（ ）‎ ‎ A．0 B．‎1 C．2 D．3‎ ‎4. 把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的正棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为 ( )‎ A. 90° B .60° C. 45° D.30°‎ ‎5. 在长方体ABCD—A1B‎1C1D1中，A‎1A=AB=2，若棱AB上存在一点P，使得D1P⊥PC，则棱AD的长的取值范围是 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题 ‎6. 已知直线m，n，平面，给出下列命题：‎ ‎①若；②若；‎ ‎③若；④若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直. 其中正确的命题的题号为 ③④‎ ‎7. 设是三条不同的直线，是三个不同的平面，下面有四个命题：‎ ‎ ① ②‎ ‎ ③ ④‎ E N A F C B D M 其中假命题的题号为 ①③‎ ‎8. 在右图所示的是一个正方体的展开图，在原来的正方体中，有下列命题： ①AB与EF所在的直线平行；②AB与CD所在的直线异面；③MN与BF所在的直线成60°角；④MN与CD所在的直线互相垂直.其中正确的命题是 ② ④‎ ‎9. 有6根细木棒，其中较长的两根分别为，，其余4根均为，用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线所成的角的余弦值为 . ‎ ‎10. 下面是关于四棱柱的四个命题：‎ ‎ ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ‎②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ‎③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱 ‎④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的编号是　　 ②④ 　(写出所有真命题的编号)．‎ 三、解答题 ‎11. 下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，求能得出⊥面MNP的图形的序号(写出所有符合要求的图形序号)‎ ‎ ‎ ‎12. 如图，正三棱柱ABC—A1B‎1C1的底面边长的3，侧棱AA1=D是CB延长线上一点，且BD=BC.‎ ‎ （Ⅰ）求证：直线BC1//平面AB1D；‎ ‎ （Ⅱ）求二面角B1—AD—B的大小；‎ ‎ （Ⅲ）求三棱锥C1—ABB1的体积.‎ ‎13. A B C D E S 如图，已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的一点. (1)求证：平面EBD⊥平面SAC； (2)设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离； (3)当的值为多少时，二面角B－SC－D的大小为120º. ‎ ‎14. 如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为各边的中点将△ABC沿DE、EF、DF折叠，使A、‎ B、C三点重合，构成三棱锥A— DEF ．‎ ‎(I)求平面ADE与底面DEF所成二面角的余弦值 ‎(Ⅱ)设点M、N分别在AD、EF上， (λ＞O，λ为变量)‎ ‎①当λ为何值时，MN为异面直线AD与EF的公垂线段? 请证明你的结论②设异面直线MN与AE所成的角为a，异面直线MN与DF所成的角为β，试求a+β 的值 ‎【课时42答案】‎ ‎1.D ‎2.D ‎3.A ‎4.C ‎5.D ‎6.③、④‎ ‎7.①、③‎ ‎8.②、④‎ ‎9. ‎ ‎10.②、④‎ ‎11. 为了得到本题答案，必须对5个图形逐一进行判别．对于给定的正方体，l位置固定，截面MNP变动，l与面MNP是否垂直，可从正、反两方面进行判断．在MN、NP、MP三条线中，若有一条不垂直l，则可断定l与面MNP不垂直；若有两条与l都垂直，则可断定l⊥面MNP；若有l的垂面∥面MNP，也可得l⊥面MNP．‎ ‎ 解法1 作正方体ABCD－A1B ‎1 C1 D1如附图，与题设图形对比讨论．在附图中，三个截面BA1D、EFGHKR和CB 1 D1都是对角线l (即 AC1)的垂面．‎ ‎ 对比图①，由MN∥BA l，MP∥BD，知面MNP∥面BA l D，故得l⊥面MNP．‎ ‎ 对比图②，由MN与面CB1D1相交，而过交点且与l垂直的直线都应在面CBl Dl内，所以MN不垂直于l，从而l不垂直于面MNP．‎ ‎ 对比图③，由MP与面BA l D相交，知l不垂直于MN，故l不垂直于面MNP．‎ ‎ 对比图④，由MN∥BD，MP∥BA．知面 MNP∥面BA 1 D，故l⊥面MNP．‎ ‎ 对比图⑤，面MNP与面EFGHKR重合，故l⊥面MNP．‎ ‎ 综合得本题的答案为①④⑤．‎ ‎ 解法2 如果记正方体对角线l所在的对角截面为．各图可讨论如下：‎ ‎ 在图①中，MN,NP在平面上的射影为同一直线，且与l垂直，故 l⊥面MNP．事实上，还可这样考虑：l在上底面的射影是MP的垂线，故l⊥MP；l在左侧面的射影是MN的垂线，故l⊥MN，从而l⊥面 MNP．‎ ‎ 在图②中，由MP⊥面，可证明MN在平面上的射影不是l的垂线，故l不垂直于MN．从而l不垂直于面MNP．‎ ‎ 在图③中，点M在上的射影是l的中点，点P在上的射影是上底面的内点，知MP在上的射影不是l的垂线，得l不垂直于面 MNP．‎ ‎ 在图④中，平面垂直平分线段MN，故l⊥MN．又l在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP垂直，从而l⊥MP，故l⊥面 MNP．‎ ‎ 在图⑤中，点N在平面上的射影是对角线l的中点，点M、P在平面上的射影分别是上、下底面对角线的4分点，三个射影同在一条直线上，且l与这一直线垂直．从而l⊥面MNP．‎ ‎ 至此，得①④⑤为本题答案．‎ ‎12. （Ⅰ）证明：CD//C1B1，又BD=BC=B‎1C1， ∴ 四边形BDB‎1C1是平行四边形， ∴BC1//DB1.‎ 又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，∴直线BC1//平面AB1D.‎ ‎（Ⅱ）解：过B作BE⊥AD于E，连结EB1，‎ ‎∵B1B⊥平面ABD，∴B1E⊥AD ，‎ ‎∴∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角，‎ ‎∵BD=BC=AB，‎ ‎∴E是AD的中点， ‎ 在Rt△B1BE中，‎ ‎∴∠B1EB=60°．‎ 即二面角B1—AD—B的大小为60°‎ ‎（Ⅲ）解法一：过A作AF⊥BC于F，∵B1B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB1C1C，‎ ‎∴AF⊥平面BB1C1C，且AF= ∴ ‎ 即三棱锥C1—ABB1的体积为 ‎ 解法二：在三棱柱ABC—A1B‎1C1中，‎ 即三棱锥C1—ABB1的体积为 A B C D E S O ‎13. ‎ ‎(1)证明：∵SA⊥底面ABCD，BDÌ底面ABCD，∴SA⊥BD ∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD ∴BD⊥平面SAC，又BDÌ平面EBD ∴平面EBD⊥平面SAC. ‎ ‎ (2)解：设AC∩BD＝O，连结SO，则SO⊥BD 由AB＝2，知BD＝2 SO＝ ∴S ‎△SBD＝ BD·SO＝·2·3＝6 令点A到平面SBD的距离为h，由SA⊥平面ABCD, 则·S△SBD·h＝·S△ABD·SA ∴6h＝·2·2·4 Þ h＝ ∴点A到平面SBD的距离为 ‎ ‎14. （Ⅰ）如图，取DE的中点G，连接AG、FG ‎ ‎ 由题意AD=AE，△DEF为正三角形，得AG⊥DE，‎ ‎∴∠AGF为平面ADE与底面DEF所成二面角的平面角 ‎ 由题意得AG=FG=．在△AGF中，‎ ‎∴平面ADF与底面DEF所成二面角的余弦值为 ‎（Ⅱ）（1）λ=1时，MN为异面直线AD与EF公垂线段 ‎ 当λ=1，M为AD的中点，N为FF的中点，连结AN、DN，‎ 则由题意，知AN=DN=，∴MN⊥AD，同理可证MN⊥EF ‎ ‎ ∴λ=1时，MN为异面直线AD与EF公垂线段． ‎ ‎（2）过点M作MH∥DF，交AF于点H，则∠HMN为异面直线 MN与DF所成的角 ． ‎ 由MH∥DF，得 ，∴ ‎ ‎∴HN//AE，∠MNH为异面直线 MN与AE所成的角 ． ‎ ‎ ∴α+β=∠MNH+∠HMN=π—∠MHN ‎ 由题意得，三棱锤A—DEF是正棱锤，则点A在底面DEF上的射影为底面△DEF的中心，记为O． ‎ ‎∵ AE在底面DEF上的射影EO⊥DF， ∴AE⊥DF ‎ 又∵HN//AE，MH//DF，∴∠MNH= ，∴ ‎