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- 2021-06-25 发布
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河北省青龙满族自治县逸夫中学高中数学必修1第3章 函数的应用-3.示范教案(2.1 几类不同增长的函数模型 第1课时)
教学分析
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同,应用函数模型解决简单问题.课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用,都是通过实例来实现的,通过教学让学生认识到数学来自现实生活,数学在现实生活中是有用的.
三维目标
1.借助信息技术,利用函数图象及数据表格,比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.
2.恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题.
3.让学生体会数学在实际问题中的应用价值,培养学生学习兴趣.
重点难点
教学重点:认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同.
教学难点:应用函数模型解决简单问题.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时 几类不同增长的函数模型
导入新课
思路1.(事例导入)
一张纸的厚度大约为0.01 cm,一块砖的厚度大约为10 cm,请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度,列出函数关系式,并计算n=20时它们的厚度.你的直觉与结果一致吗?
解:纸对折n次的厚度f(n)=0.01·2n(cm),n块砖的厚度:g(n)=10n(cm),f(20)≈105 m,g(20)=2 m.
也许同学们感到意外,通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解.
思路2.(直接导入)
请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象性质,本节我们通过实例比较它们的增长差异.
推进新课
新知探究
提出问题
①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克,需要支付y元,把y表示为x的函数.
②正方形的边长为x,面积为y,把y表示为x的函数.
③某保护区有1单位面积的湿地,由于保护区努力湿地每年以5%的增长率增长,经过x年后湿地的面积为y,把y表示为x的函数.
④分别用表格、图象表示上述函数.
⑤指出它们属于哪种函数模型.
⑥讨论它们的单调性.
⑦比较它们的增长差异.
⑧另外还有哪种函数模型.
活动:先让学生动手做题后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
①总价等于单价与数量的积.
②面积等于边长的平方.
③由特殊到一般,先求出经过1年、2年、….
④列表画出函数图象.
⑤引导学生回忆学过的函数模型.
⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性.
⑦让学生自己比较并体会.
⑧另外还有与对数函数有关的函数模型.
讨论结果:
①y=x.
②y=x2.
③y=(1+5%)x,
④如下表
x
1
2
3
4
5
6
y=x
1
2
3
4
5
6
y=x2
1
4
9
16
25
36
y=(1+5%)x
1.05
1.01
1.16
1.22
1.28
1.34
它们的图象分别为图3-2-1-1,图3-2-1-2,图3-2-1-3.
图3-2-1-1 图3-2-1-2 图3-2-1-3
⑤它们分别属于:y=kx+b(直线型),y=ax2+bx+c(a≠0,抛物线型),y=kax+b(指数型).
⑥从表格和图象得出它们都为增函数.
⑦在不同区间增长速度不同,随着x的增大y=(1+5%)x的增长速度越来越快,会远远大于另外两个函数.
⑧另外还有与对数函数有关的函数模型,形如y=logax+b,我们把它叫做对数型函数.
应用示例
思路1
例1假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:
方案一:每天回报40元;
方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;
方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.
请问,你会选择哪种投资方案?
活动:学生先思考或讨论,再回答.教师根据实际,可以提示引导:我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型,再通过比较它们的增长情况,为选择投资方案提供依据.
解:设第x天所得回报是y元,则方案一可以用函数y=40(x∈N*)进行描述;方案二可以用
函数y=10x(x∈N*)进行描述;方案三可以用函数y=0.4×2x-1(x∈N*)进行描述.三个模型中,第一个是常函数,后两个都是递增函数模型.要对三个方案作出选择,就要对它的增长情况进行分析.我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况.
x/天
方案一
方案二
方案三
y/元
增加量/元
y/元
增加量/元
y/元
增加量/元
1
40
10
0.4
2
40
0
20
10
0.8
0.4
3
40
0
30
10
1.6
0.8
4
40
0
40
10
3.2
1.6
5
40
0
50
10
6.4
3.2
6
40
0
60
10
12.8
6.4
7
40
0
70
10
25.6
12.8
8
40
0
80
10
51.2
25.6
9
40
0
90
10
102.4
51.2
10
40
0
100
10
204.8
102.4
30
40
0
300
10
214748364.8
107374182.4
再作出三个函数的图象(3-2-1-4).
图3-2-1-4
由表和图(3214)可知,方案一的函数是常数函数,方案二、方案三的函数都是增函数,但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同.可以看到,尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍,但它们的增长量固定不变,而方案三是“指数增长”,其“增长量”是成倍增加的,从第7天开始,方案三比其他两方案增长得快得多,这种增长速度是方案一、方案二无法企及的.从每天所得回报看,在第1~3天,方案一最多;在第4天,方案一和方案二一样多,方案三最少;在第5~8天方案二最多;第9天开始,方案三比其他两个方案所得回报多得多,到第30天,所得回报已超过2亿元.
下面再看累积的回报数.通过计算机或计算器列表如下:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
一
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
440
二
10
30
60
100
150
210
180
360
450
550
660
三
0.4
1.2
2.8
6
12.4
25.2
50.8
102
204.4
409.2
818.8
因此,投资1~6天,应选择方案一;投资7天,应选择方案一或方案二;投资8~10天,应选择方案二;投资11天(含11天)以上,则应选择方案三.
针对上例可以思考下面问题:
①选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数.
②课本把两种回报数都列表给出的意义何在?
③由此得出怎样结论.
答案:①选择哪种方案依据的是累积回报数.
②让我们体会每天回报数增长变化.
③上述例子只是一种假想情况,但从中我们可以体会到,不同的函数增长模型,其增长变化存在很大差异.
变式训练
某市移动通讯公司开设了两种通讯业务:全球通使用者先缴50元基础费,然后每通话1分钟付话费0.4元;神州行不交月基础费,每通话1分钟付话费0.6元,若设一个月内通话x分钟,两种通讯业务的费用分别为y1元和y2元,那么
(1)写出y1、y2与x之间的函数关系式;
(2)在同一直角坐标系中画出两函数的图象;
(3)求出或寻求出一个月内通话多少分钟,两种通讯业务费用相同;
(4)若某人预计一个月内使用话费200元,应选择哪种通讯业务较合算.
思路分析:我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型,再通过比较它们的变
化情况,为选择哪种通讯提供依据.(1)全球通的费用应为两种费用的和,即月基础费和通话费,神州行的费用应为通话费用;(2)运用描点法画图,但应注意自变量的取值范围;(3)可利用方程组求解,也可以根据图象回答;(4)寻求出当函数值为200元时,哪个函数所对应的自变量的值较大.
解:(1)y1=50+0.4x(x≥0),y2=0.6x(x≥0).
(2)图象如图(3-2-1-5)所示.
图3-2-1-5
(3)根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250,所以在一个月内通话250分钟时,两种通讯业务的收费相同.
(4)当通话费为200元时,由图象可知,y1所对应的自变量的值大于y2所对应的自变量的值,即选取全球通更合算.
另解:当y1=200时有0.4x+50=200,∴x1=375;
当y2=200时有0.6x=200,x2=.显然375>,
∴选用全球通更合算.
点评:在解决实际问题过程中,函数图象能够发挥很好的作用,因此,我们应当注意提高读图的能力.另外,本例题用到了分段函数,分段函数是刻画现实问题的重要模型.
例2某公司为了实现1 000万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随着利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求?
活动:
学生先思考或讨论,再回答.教师根据实际,可以提示引导:某个奖励模型符合公司要求,就是依据这个模型进行奖励时,奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%,由于公司总的利润目标为1000万元,所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是只需在区间[10,1000]上,检验三个模型是否符合公司要求即可.不妨先作出函数图象,通过观察函数的图象,得到初步结论,再通过具体计算,确认结果.
解:借助计算器或计算机作出函数y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的图象(图3-2-1-6).
图3-2-1-6
观察函数的图象,在区间[10,1 000]上,模型y=0.25x,y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方,只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方,这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求.
下面通过计算确认上述判断.
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.
对于模型y=0.25x,它在区间[10,1 000]上递增,而且当x=20时,y=5,因此,当x>20时,y>5,所以该模型不符合要求;
对于模型y=1.002x,由函数图象,并利用计算器,可知在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0=5,由于它在区间[10,1 000]上递增,因此当x>x0时,y>5,所以该模型也不符合要求;
对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1 000]上递增,而且当x=1 000时,y=log71 000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
再计算按模型y=log7x+1奖励时,奖金是否不超过利润的25%,即当x∈[10,1 000]时,是否有=≤0.25成立.
图3217
令f(x)=log7x+1-0.25x,x∈[10,1 000].利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象(图3217),由函数图象可知它是递减的,因此
f(x)0),销售数量就减少kx%(其中k为正常数).目前,该商品定价为a元,统计其销售数量为b个.
(1)当k=时,该商品的价格上涨多少,就能使销售的总金额达到最大?
(2)在适当的涨价过程中,求使销售总金额不断增加时k的取值范围.
解:依题意,价格上涨x%后,销售总金额为
y=a(1+x%)·b(1-kx%)=[-kx2+100(1-k)x+10 000].
(1)取k=,y=(x2+50x+10 000),
所以x=50,即商品价格上涨50%,y最大为ab.
(2)因为y=[-kx2+100(1-k)x+10 000],
此二次函数的开口向下,对称轴为x=,在适当涨价过程后,销售总金额不断增加,即要求此函数当自变量x在{x|x>0}的一个子集内增大时,y也增大.
所以>0,解得00.
当00,g(x)-h(x)>0,g(x)>h(x);
当87≤x<216时,432-5x<0,g(x)-h(x)<0,g(x)20000时,y2>y1.
当x=20000时,y1=y2;当x<20 000时,y20且a≠1).
∴由图知2=a1.
∴a=2,即底数为2.
②∵25=32>30,∴说法正确.
③∵指数函数增加速度越来越快,∴说法不正确.
④t1=1,t2=log23,t3=log26,∴说法正确.
⑤∵指数函数增加速度越来越快,∴说法不正确.
课堂小结
活动:学生先思考或讨论,再回答.教师提示、点拨,及时评价.
引导方法:从基本知识和基本技能两方面来总结.
答案:(1)建立函数模型;(2)利用函数图象性质分析问题、解决问题.
作业
课本P107习题3.2A组1、2.
设计感想
本节设计由学生熟悉素材入手,结果却出乎学生的意料,由此使学生产生浓厚的学习兴趣.课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型的应用,而且体会到它们之间的差异;我们补充的例题与之相映生辉,是课本的补充和提高,其难度适中是各地高考模拟经常选用的素材.其中拓展提升中的问题紧贴本节主题,很好地体现了指数函数的性质特点,是一个不可多得的素材.
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