2019年高考数学练习题汇总解答题通关练 3 5页

‎3.立体几何 ‎1.(2018·北京11中模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝，AC∩BD＝O，且PO⊥平面ABCD，PO＝，点F，G分别是线段PB，PD的中点，E在PA上，且PA＝3PE.‎ ‎(1)求证：BD∥平面EFG；‎ ‎(2)求直线AB与平面EFG所成角的正弦值.‎ ‎(1)证明　(1)在△PBD中，因为点F，G分别是线段PB，PD的中点，‎ 所以FG∥BD，‎ 因为BD⊄平面EFG，FG⊂平面EFG，‎ 所以BD∥平面EFG.‎ ‎(2)解　因为底面ABCD是边长为2的菱形，‎ 所以OA⊥OB，‎ 因为PO⊥平面ABCD，又OA，OB⊂平面ABCD，‎ 所以PO⊥OA，PO⊥OB，‎ 如图，以O为原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，‎ 则依题意可得A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－1，0，0)，D(0，－，0)，P(0，0，)，E，F，G，‎ 所以＝(－1，，0)，＝，＝(0，，0)，‎ 设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则由可得 令z＝，可得n＝，‎ 因为cos〈，n〉＝＝.‎ 所以直线AB与平面EFG所成角的正弦值为.‎ ‎2.直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为棱AB，BB′的中点.‎ ‎(1)求证：CE⊥A′D；‎ ‎(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.‎ ‎(1)证明　设＝a，＝b，＝c，‎ 根据题意得|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0，‎ ‎∴＝b＋c，＝－c＋b－a，‎ ‎∴·＝－c2＋b2＝0，‎ ‎∴⊥，即CE⊥A′D.‎ ‎(2)解　∵＝－a＋c，||＝|a|，||＝|a|，·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝，‎ 即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.‎ ‎3.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.‎ ‎(1)证明：PA∥平面DBE；‎ ‎(2)证明：PB⊥平面EFD；‎ ‎(3)求二面角C－PB－D 的大小.‎ ‎(1)证明　连接AC交BD于点O，连接OE.‎ 在△PAC中，∵O，E分别是AC，PC的中点，‎ ‎∴OE是△PAC的中位线，‎ ‎∴OE∥PA，‎ 又∵PA⊄平面DBE，OE⊂平面DBE，‎ ‎∴PA∥平面DBE.‎ ‎(2)证明　∵PD⊥平面ABCD，‎ 又DC⊂平面ABCD，‎ ‎∴PD⊥DC.‎ 又PD＝DC，∴△PDC是等腰直角三角形，而E是斜边PC的中点，‎ ‎∴DE⊥PC.同理可证PD⊥BC.‎ ‎∵底面ABCD是正方形，‎ ‎∴DC⊥BC，又PD∩DC＝D，PD，DC⊂平面PDC，‎ ‎∴BC⊥平面PDC.‎ 又DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE，‎ ‎∵BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，‎ ‎∴DE⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC，‎ ‎∴DE⊥PB，‎ 又EF⊥PB且DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面DEF，‎ ‎∴PB⊥平面EFD.‎ ‎(3)解　由(2)知PB⊥DF，‎ ‎∴∠EFD是二面角C－PB－D的平面角.‎ 设正方形ABCD的边长为a，则PD＝DC＝a，BD＝a，‎ PB＝＝a，PC＝＝a，‎ DE＝PC＝a，‎ 在Rt△PDB中，DF＝＝＝a，‎ 在Rt△EFD中，sin∠EFD＝＝＝，‎ ‎∴∠EFD＝60°.‎ ‎∴二面角C－PB－D的大小为60°.‎ ‎4.如图，在等腰梯形ABCD中，AE⊥CD，BF⊥CD，AB＝1，AD＝2，∠ADE＝60°，沿AE，BF折成三棱柱AED－BFC.‎ ‎(1)若M，N分别为AE，BC的中点，求证：MN∥平面CDEF；‎ ‎(2)若BD＝，求二面角E－AC－F的余弦值.‎ ‎(1)证明　取AD的中点G，连接GM，GN，‎ 在△ADE中，∵M，G分别为AE，AD的中点，‎ ‎∴MG∥DE，‎ ‎∵DE⊂平面CDEF，MG⊄平面CDEF，‎ ‎∴MG∥平面CDEF.‎ 由于G，N分别为AD，BC的中点，‎ 由棱柱的性质可得GN∥DC，‎ ‎∵CD⊂平面CDEF，GN⊄平面CDEF，‎ ‎∴GN∥平面CDEF.‎ 又GM⊂平面GMN，GN⊂平面GMN，MG∩NG＝G，‎ ‎∴平面GMN∥平面CDEF，‎ ‎∵MN⊂平面GMN，∴MN∥平面CDEF.‎ ‎(2)解　连接EB，在Rt△ABE中，AB＝1，AE＝，‎ ‎∴BE＝2，又ED＝1，DB＝，‎ ‎∴EB2＋ED2＝DB2，∴DE⊥EB，又DE⊥AE且AE∩EB＝E，AE，EB⊂平面ABFE，∴DE⊥平面ABFE.‎ 以E为原点，分别以EA，EF，ED所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 可得E(0，0，0)，A(，0，0)，F(0，1，0)，C(0，1，1)，＝(－，1，1)，＝(－，0，0)，＝(0，0，1).‎ 设平面AFC的法向量为m＝(x，y，z)，‎ 则 则z＝0，令x＝1，得y＝，则m＝(1，，0)为平面AFC的一个法向量，‎ 设平面ACE的法向量为n＝(x1，y1，z1)，‎ 则 则x1＝0，令y1＝1，得z1＝－1，‎ ‎∴n＝(0，1，－1)为平面ACE的一个法向量.‎ 设m，n所成的角为θ，则cos θ＝＝＝，‎ 由图可知二面角E－AC－F的余弦值是.‎