2009年高考试题—数学理（全国卷1）解析版 10页

‎09年全国卷Ⅰ理科数学试题全析全解（一）‎ 河北望都中学 汤敏军 ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试高.考.资.源.网 理科数学（必修+选修Ⅱ）高.考.资.源.网 高.考.资.源.网 ‎ 本试卷分第错误！未找到引用源。卷（选择题）和第错误！未找到引用源。卷（非选择题）两部分．第错误！未找到引用源。卷1至2页，第错误！未找到引用源。卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．高.考.资.源.网 第Ⅰ卷高.考.资.源.网 考生注意：高.考.资.源.网 ‎ 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．高.考.资.源.网 ‎ 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．高.考.资.源.网 ‎ 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．高.考.资.源.网 高.考.资.源.网 参考公式：高.考.资.源.网 ‎ 如果事件互斥，那么 球的表面积公式高.考.资.源.网 ‎ 高.考.资.源.网 ‎ 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径高.考.资.源.网 ‎ 球的体积公式高.考.资.源.网 ‎ 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 高.考.资.源.网 ‎ 次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径高.考.资.一、选择题 ‎(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中的元素共有（A）‎ ‎（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解：，故选A。也可用摩根律：‎ ‎（2）已知=2+i,则复数z=（B ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 解： 故选B。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(3) 不等式＜1的解集为（ D ）‎ ‎（A）｛x (B)‎ ‎（C） (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解：验x=-1即可。 ‎ ‎(4)设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C )‎ ‎（A） （B）2 （C） （D） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解：设切点，则切线的斜率为.由题意有又 解得: . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(5) 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )‎ ‎（A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有种选法; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ (2) 乙组中选出一名女生有种选法.故共有345种选法.选D ‎（6）设、、是单位向量，且·＝0，则的最小值为 ( D )‎ ‎（A） （B） （C） (D)‎ 解: 是单位向量 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 故选D.‎ ‎（7）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，‎ 在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ D ）‎ ‎（A） （B） （C） (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.故选D w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（8）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（A）（A） （B） （C） (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解: 函数的图像关于点中心对称w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 由此易得.故选A ‎ (9) 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为( B ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2‎ 解:设切点，则,又 ‎.故答案选B w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（10）已知二面角α-l-β为 ，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ C ）‎ ‎(A) (B)2 (C) (D)4 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解:如图分别作 ‎ ‎，连 ‎，‎ 又 当且仅当，即重合时取最小值。故答案选C。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（11）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( D ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D) 是奇函数 解: 与都是奇函数，，‎ 函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。故选D ‎12.已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=‎ ‎(A). (B). ‎2 ‎ (C). (D). 3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解:过点B作于M,并设右准线与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.故选A w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 第II卷 二、填空题： ‎ ‎13. 的展开式中，的系数与的系数之和等于 。‎ 解: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎14. 设等差数列的前项和为，若,则= 。‎ 解: 是等差数列,由,得 ‎. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎15. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎16. 若，则函数的最大值为 。‎ 解:令, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.‎ 解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解法二:由余弦定理得: .又,。‎ 所以…………………………………①‎ 又，‎ ‎，即 由正弦定理得，故………………………②‎ 由①，②解得。‎ 评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。www.ks5u.com ‎ 18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面， ，点M在侧棱上，=60°‎ ‎（I）证明：M在侧棱的中点 ‎（II）求二面角的大小。‎ ‎（I）解法一：作∥交于N，作交于E，‎ 连ME、NB，则面，,‎ 设，则,‎ 在中，。‎ 在中由 解得，从而 M为侧棱的中点M. ‎ 解法二:过作的平行线.‎ 解法三:利用向量处理. 详细可见09年高考参考答案. ‎ ‎（II）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。‎ 过作∥交于,作交于,作交于,则∥,面,面面,面即为所求二面角的补角.‎ 分析二：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为AM的中点，取SA的中点G，连GF，易证，则即为所求二面角.‎ 分析三：利用空间向量求。在两个半平面内分别与交线AM垂直的两个向量的夹角即可。‎ 另外：利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等，这些方法也能奏效。‎ 总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。‎ ‎19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎ 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。‎ ‎ （I）求甲获得这次比赛胜利的概率；‎ ‎ （II）设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求得分布列及数学期望。‎ 分析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。‎ 需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题。‎ 另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。‎ ‎20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 在数列中，‎ ‎ （I）设，求数列的通项公式 ‎ （II）求数列的前项和 分析：（I）由已知有 ‎ 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()‎ ‎（II）由（I）知,‎ ‎=‎ 而,又是一个典型的错位相减法模型，‎ 易得 =‎ 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。‎ ‎21（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎ 如图，已知抛物线与圆相交于、、、四个点。‎ ‎ （I）求得取值范围；‎ ‎ （II）当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标 分析：（I）这一问学生易下手。将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（＊）‎ 抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根即可.易得.考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．‎ ‎（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的 方法处理本小题是一个较好的切入点．‎ ‎ 设四个交点的坐标分别为、、、。‎ 则由（I）根据韦达定理有，‎ 则 ‎ ‎ 令，则 下面求的最大值。‎ 方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。‎ 方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。‎ 下面来处理点的坐标。设点的坐标为：‎ 由三点共线，则得。‎ 以下略。‎ ‎22. 本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效）‎ 设函数在两个极值点，且 ‎（I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；‎ ‎(II)证明：‎ 分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。‎ 大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根 则有 故有 ‎ 右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。‎ ‎(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。‎ 解： 由题意有．．．．．．．．．．．．①‎ 又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②‎ ‎　　　消去可得．‎ 又，且 ‎ www.ks5u.com