1951年全国高考数学试题 6页

‎1951年全国高考数学试题 第一部分：‎ ‎1．设有方程组x+y=8，2x-y=7，求x，y.‎ ‎2．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？‎ ‎3．当太阳的仰角是600时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？‎ ‎5．试题10道，选答8道，则选法有几种？‎ ‎6．若一点P的极坐标是（r,θ），则它的直角坐标如何？‎ ‎7．若方程x2+2x+k=0的两根相等，则k=？‎ ‎8．列举两种证明两个三角形相似的方法 ‎9．当（x+1)(x-2)＜0时，x的值的范围如何？‎ ‎10．若一直线通过原点且垂直于直线ax+by+c=0，求直线的方程 ‎11．（+)6展开式中的常数项如何？‎ ‎12．的通解是什么？‎ ‎13．系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？‎ ‎14．‎ ‎ ‎ ‎15．x2-4y2=1的渐近线的方程如何？‎ ‎16．三平行平面与一直线交于A，B，C三点，又与另一直线交于A＇，B＇，C＇三点，已知AB=3，BC=7及A＇B＇=9求A＇C＇‎ ‎17．有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积 ‎18．已知lg2=0.3010,求lg5‎ ‎19．二抛物线y2=12x与2x2=3y的公共弦的长度是多少？‎ ‎20．国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？‎ 第二部分：‎ ‎1．P，Q，R顺次为△ABC中BC，CA，AB三边的中点，求证圆ABC在A点的切线与圆PQR在P点的切线平行 ‎2．设△ABC的三边BC=4pq,CA=3p2+q2,AB=3p2+2pq-q2,求∠B，并证∠B为∠A及∠C的等差中项 ‎3．（1）求证，若方程x3+ax2+bx+c=0的三根可排成等比数列，‎ 则a‎3c=b3.‎ ‎（2）已知方程x3+7x2-21x-27=0的三根可以排成等比数列，求三根 ‎4．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线 参考答案与试题解析 第一部分 ‎1.‎ ‎2. 证：设△ABC的重心与外接圆的圆心均为O（图1）∵OA=OC，E为AC的中点，∴BE⊥AC；同理，CD⊥AB，AF⊥BC在Rt△ABE与Rt△ACD中，∠A为公共角，BE=CD=R+R=R（R为外接圆半径），所以△ABE≌△ACD，AB=AC，同理可得AB=BC由此可知△ABC为等边三角形 ‎3. 丈 ‎ ‎ ‎5. ‎ ‎6. x=r,y=r ‎7. 由Δ=b2‎-4ac=0,得k=1‎ ‎8. 略 ‎9. -1＜x＜2‎ ‎10. bx-ay=0‎ ‎11. 由通项公式可求得是T4=20‎ ‎12. ‎ ‎13. 最少是一个，最多是三个 ‎14. 原式=‎ ‎15. ‎ ‎16. 如图易证:‎ ‎17. 6立方尺 ‎18. 略：lg5=1-lg2=0.6990‎ ‎19. 解略：解方程组得两公共点为（0，0）及（3，6）故其公共弦长为：‎ ‎20. 解：由图可知：∠AFG=∠C+∠E=2∠C,‎ ‎∠AGF=∠B+∠D=2∠B,‎ ‎∴∠A+∠AFG+∠AGF=∠A+2∠C+2∠B=5∠A ‎∴5∠A=1800，∴∠A=360‎ 第二部分 ‎1. 证：如图：由AD是大圆的切线，‎ 可得： ∠1=∠2‎ 由RQ∥BC，可得：∠2=∠3，‎ 由QP∥AB，可得：∠3=∠4‎ 由PE是小圆的切线，‎ 可得： ∠4=∠5‎ 由RP∥AC，可得：∠5=∠6‎ 综上可得：∠1=∠6，故AD∥PE ‎2. 解：由余弦定理可得：‎ ‎3.(1) 证：设α，β，γ是方程x3+ax2+bx+c=0的三根，由根与系数关系可知：α+β+γ=-a ‎ αβ+βγ+γα=b ‎ αβγ=-c 又因α，β，γ排成等比数列，于是β2=αγ ‎(2) 解：由⑴可知β3=-c，∴β3=27，∴β=3代入α+β+γ=-7‎ 可得α+γ=-10，又由α，β，γ成等比数列，∴β2=αγ，‎ 即αγ=9，故可得方程组：‎ 于是，所求之三根为-9，3，-1或-1，3，-9‎ ‎4. 证：设抛物线方程为y2=2px……………①‎ 过抛物线顶点O任作互相垂直的二弦OA和 OB，设OA的斜率为k，则直线OB的斜率为 ‎-，于是直线OA的方程为：‎ y =kx………………………②‎ 直线OB的方程为：‎ ‎③ ‎ 设点A（x1 ,y1),点B(x2 ,y2)由①，②可得：‎ 由①，③可得：‎ x2=2pk2, y2=-2pk 设P（x，y）为AB的中点，由上可得： ‎ ‎ ④ ‎ ‎ ⑤ ‎ 由⑤可得：‎ ‎ ⑥‎ 由④可知：‎ px,代入⑥‎ 所以，点P的轨迹为一抛物线