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  • 2021-06-30 发布

高中数学人教a版选修1-1学业分层测评17函数的极值与导数word版含解析

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学业分层测评 (建议用时:45分钟) [学业达标] 一、选择题 1.函数 y=x3-3x2-9x(-2<x<2)的极值情况是( ) A.极大值为 5,极小值为-27 B.极大值为 5,极小值为-11 C.极大值为 5,无极小值 D.极小值为-27,无极大值 【解析】 y′=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3), 令 y′=0,得 x=-1或 x=3. 当-2<x<-1时,y′>0; 当-1<x<2时,y′<0. 所以当 x=-1时,函数有极大值,且极大值为 5;无极小值. 【答案】 C 2.已知函数 f(x)=2x3+ax2+36x-24在 x=2处有极值,则该函 数的一个递增区间是( ) A.(2,3) B.(3,+∞) C.(2,+∞) D.(-∞,3) 【解析】 因为函数 f(x)=2x3+ax2+36x-24在 x=2处有极值, 所以有 f′(2)=0,而 f′(x)=6x2+2ax+36,代入得 a=-15.现令 f′(x) >0,解得 x>3或 x<2,所以函数的一个递增区间是(3,+∞). 【答案】 B 3.设函数 f(x)=xex,则( ) A.x=1为 f(x)的极大值点 B.x=1为 f(x)的极小值点 C.x=-1为 f(x)的极大值点 D.x=-1为 f(x)的极小值点 【解析】 ∵f(x)=xex, ∴f′(x)=ex+xex=ex(1+x). ∴当 f′(x)≥0时, 即 ex(1+x)≥0,即 x≥-1, ∴x≥-1时,函数 f(x)为增函数. 同理可求,x<-1时,函数 f(x)为减函数. ∴x=-1时,函数 f(x)取得极小值. 【答案】 D 4.(2016·邢台期末)函数 f(x)=1 3 ax3+ax2+x+3有极值的充要条 件是( ) A.a>1或 a≤0 B.a>1 C.0<a<1 D.a>1或 a<0 【解析】 f(x)有极值的充要条件是 f′(x)=ax2+2ax+1=0有两 个不相等的实根,即 4a2-4a>0,解得 a<0或 a>1.故选 D. 【答案】 D 5.已知 a∈R,且函数 y=ex+ax(x∈R)有大于零的极值点,则 ( ) A.a<-1 B.a>-1 C.a<-1 e D.a>-1 e 【解析】 因为 y=ex+ax,所以 y′=ex+a. 令 y′=0,即 ex+a=0,则 ex=-a,即 x=ln(-a),又因为 x>0, 所以-a>1,即 a<-1. 【答案】 A 二、填空题 6.(2016·临沂高二检测)若函数 y=-x3+6x2+m 的极大值为 13, 则实数 m 等于__________. 【解析】 y′=-3x2+12x=-3x(x-4). 由 y′=0,得 x=0或 4. 且 x∈(-∞,0)∪(4,+∞)时,y′<0;x∈(0,4)时,y′>0. ∴x=4时函数取到极大值.故-64+96+m=13,解得 m=-19. 【答案】 -19 7.函数 f(x)=aln x+bx2+3x 的极值点为 x1=1,x2=2,则 a= ________,b=________. 【导学号:26160089】 【解析】 f′(x)=a x +2bx+3=2bx2+3x+a x , ∵函数的极值点为 x1=1,x2=2, ∴x1=1,x2=2是方程 f′(x)=2bx2+3x+a x =0的两根,也即 2bx2 +3x+a=0的两根. ∴由根与系数的关系知 - 3 2b =1+2, a 2b =1×2, 解得 a=-2, b=- 1 2 . 【答案】 -2 - 1 2 8.已知函数 f(x)=ax3+bx2+c,其导数 f′(x)的图象如图 3-3 -7所示,则函数的极小值是________. 图 3-3-7 【解析】 由图象可知, 当 x<0时,f′(x)<0, 当 00, 故 x=0时,函数 f(x)取到极小值 f(0)=c. 【答案】 c 三、解答题 9.设 a 为实数,函数 f(x)=ex-2x+2a,x∈R,求 f(x)的单调区 间与极值. 【解】 由 f(x)=ex-2x+2a,x∈R,知 f′(x)=ex-2,x∈R. 令 f′(x)=0,得 x=ln 2.于是当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情 况如下表: x (-∞,ln 2) ln 2 (ln 2,+∞) f′(x) - 0 + f(x) 2(1-ln 2+a) 故 f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 2),单调递增区间是(ln 2,+ ∞). 所以 f(x)在 x=ln 2 处取得极小值,极小值为 f(ln 2)=eln 2-2ln 2 +2a=2(1-ln 2+a). 10.函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 的图象如图 3-3-8所示,且与 y =0在原点相切,若函数的极小值为-4,求 a,b,c 的值. 图 3-3-8 【解】 ∵函数的图象经过(0,0)点,∴c=0. 又图象与 x 轴相切于(0,0)点,且 f′(x)=3x2+2ax+b. ∴f′(0)=0,即 0=3×02+2a×0+b,得 b=0. ∴f(x)=x3+ax2. 令 f(x)=x3+ax2=0,得 x=0或 x=-a,由图象知 a<0. 令 f′(x)=3x2+2ax=x(3x+2a)=0, ∴当 0-2 3 a 时,f′(x)>0. ∴当 x=- 2 3 a 时,函数有极小值-4. 即 - 2 3 a 3+a - 2 3 a 2=-4,解得 a=-3. ∴a=-3,b=0,c=0. [能力提升] 1.设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,以下 结论一定正确的是( ) A.∀x∈R,f(x)≤f(x0) B.-x0是 f(-x)的极小值点 C.-x0是-f(x)的极小值点 D.-x0是-f(-x)的极小值点 【解析】 不妨取函数为 f(x)=x3-3x,则 f′(x)=3(x-1)(x+1), 易判断 x0=-1为 f(x)的极大值点,但显然 f(x0)不是最大值,故排除 A; 因为 f(-x)=-x3+3x,f′(-x)=-3(x+1)(x-1),易知-x0=1 为 f(-x)的极大值点,故排除 B; 又-f(x)=-x3+3x,[-f(x)]′=-3(x+1)(x-1),易知-x0=1 为-f(x)的极大值点,故排除 C; ∵-f(-x)的图象与 f(x)的图象关于原点对称,由函数图象的对称 性,可得-x0应为函数-f(-x)的极小值点.故 D正确. 【答案】 D 2.如图 3-3-9所示是函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的大致图象, 则 x21+x 22等于( ) 图 3-3-9 A.2 3 B.4 3 C.8 3 D.12 3 【解析】 函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的图象过点(0,0),(1,0), (2,0),得 d=0,b+c+1=0,4b+2c+8=0,则 b=-3,c=2,f′(x) =3x2+2bx+c=3x2-6x+2,且 x1,x2是函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的两个极值点,即 x1,x2是方程 3x2-6x+2=0的实根,x21+x22=(x1 +x2)2-2x1x2=4-4 3 = 8 3 . 【答案】 C 3.已知函数 f(x)=x3+3ax2+3bx+c 在 x=2处有极值,其图象 在 x=1处的切线平行于直线 6x+2y+5=0,则极大值与极小值之差 为________. 【导学号:26160090】 【解析】 ∵f′(x)=3x2+6ax+3b, ∴ 3×22+6a×2+3b=0, 3×12+6a×1+3b=-3 ⇒ a=-1, b=0. ∴f′(x)=3x2-6x, 令 3x2-6x=0,得 x=0或 x=2, ∴f(x)极大值-f(x)极小值=f(0)-f(2)=4. 【答案】 4 4.若函数 f(x)=2x3-6x+k 在 R 上只有一个零点,求常数 k 的 取值范围. 【解】 f(x)=2x3-6x+k, 则 f′(x)=6x2-6, 令 f′(x)=0,得 x=-1或 x=1, 可知 f(x)在(-1,1)上是减函数, f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数, f(x)的极大值为 f(-1)=4+k,f(x)的极小值为 f(1)=-4+k. 要使函数 f(x)只有一个零点, 只需 4+k<0或-4+k>0(如图所示), 即 k<-4或 k>4. ∴k 的取值范围是(-∞,-4)∪(4,+∞).