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- 2021-06-30 发布
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学业分层测评
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.函数 y=x3-3x2-9x(-2<x<2)的极值情况是( )
A.极大值为 5,极小值为-27
B.极大值为 5,极小值为-11
C.极大值为 5,无极小值
D.极小值为-27,无极大值
【解析】 y′=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3),
令 y′=0,得 x=-1或 x=3.
当-2<x<-1时,y′>0;
当-1<x<2时,y′<0.
所以当 x=-1时,函数有极大值,且极大值为 5;无极小值.
【答案】 C
2.已知函数 f(x)=2x3+ax2+36x-24在 x=2处有极值,则该函
数的一个递增区间是( )
A.(2,3) B.(3,+∞)
C.(2,+∞) D.(-∞,3)
【解析】 因为函数 f(x)=2x3+ax2+36x-24在 x=2处有极值,
所以有 f′(2)=0,而 f′(x)=6x2+2ax+36,代入得 a=-15.现令 f′(x)
>0,解得 x>3或 x<2,所以函数的一个递增区间是(3,+∞).
【答案】 B
3.设函数 f(x)=xex,则( )
A.x=1为 f(x)的极大值点
B.x=1为 f(x)的极小值点
C.x=-1为 f(x)的极大值点
D.x=-1为 f(x)的极小值点
【解析】 ∵f(x)=xex,
∴f′(x)=ex+xex=ex(1+x).
∴当 f′(x)≥0时,
即 ex(1+x)≥0,即 x≥-1,
∴x≥-1时,函数 f(x)为增函数.
同理可求,x<-1时,函数 f(x)为减函数.
∴x=-1时,函数 f(x)取得极小值.
【答案】 D
4.(2016·邢台期末)函数 f(x)=1
3
ax3+ax2+x+3有极值的充要条
件是( )
A.a>1或 a≤0 B.a>1
C.0<a<1 D.a>1或 a<0
【解析】 f(x)有极值的充要条件是 f′(x)=ax2+2ax+1=0有两
个不相等的实根,即 4a2-4a>0,解得 a<0或 a>1.故选 D.
【答案】 D
5.已知 a∈R,且函数 y=ex+ax(x∈R)有大于零的极值点,则
( )
A.a<-1 B.a>-1
C.a<-1
e
D.a>-1
e
【解析】 因为 y=ex+ax,所以 y′=ex+a.
令 y′=0,即 ex+a=0,则 ex=-a,即 x=ln(-a),又因为 x>0,
所以-a>1,即 a<-1.
【答案】 A
二、填空题
6.(2016·临沂高二检测)若函数 y=-x3+6x2+m 的极大值为 13,
则实数 m 等于__________.
【解析】 y′=-3x2+12x=-3x(x-4).
由 y′=0,得 x=0或 4.
且 x∈(-∞,0)∪(4,+∞)时,y′<0;x∈(0,4)时,y′>0.
∴x=4时函数取到极大值.故-64+96+m=13,解得 m=-19.
【答案】 -19
7.函数 f(x)=aln x+bx2+3x 的极值点为 x1=1,x2=2,则 a=
________,b=________. 【导学号:26160089】
【解析】 f′(x)=a
x
+2bx+3=2bx2+3x+a
x
,
∵函数的极值点为 x1=1,x2=2,
∴x1=1,x2=2是方程 f′(x)=2bx2+3x+a
x
=0的两根,也即 2bx2
+3x+a=0的两根.
∴由根与系数的关系知
-
3
2b
=1+2,
a
2b
=1×2,
解得
a=-2,
b=-
1
2
.
【答案】 -2 -
1
2
8.已知函数 f(x)=ax3+bx2+c,其导数 f′(x)的图象如图 3-3
-7所示,则函数的极小值是________.
图 3-3-7
【解析】 由图象可知,
当 x<0时,f′(x)<0,
当 00,
故 x=0时,函数 f(x)取到极小值 f(0)=c.
【答案】 c
三、解答题
9.设 a 为实数,函数 f(x)=ex-2x+2a,x∈R,求 f(x)的单调区
间与极值.
【解】 由 f(x)=ex-2x+2a,x∈R,知 f′(x)=ex-2,x∈R.
令 f′(x)=0,得 x=ln 2.于是当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情
况如下表:
x (-∞,ln 2) ln 2 (ln 2,+∞)
f′(x) - 0 +
f(x) 2(1-ln 2+a)
故 f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 2),单调递增区间是(ln 2,+
∞).
所以 f(x)在 x=ln 2 处取得极小值,极小值为 f(ln 2)=eln 2-2ln 2
+2a=2(1-ln 2+a).
10.函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 的图象如图 3-3-8所示,且与 y
=0在原点相切,若函数的极小值为-4,求 a,b,c 的值.
图 3-3-8
【解】 ∵函数的图象经过(0,0)点,∴c=0.
又图象与 x 轴相切于(0,0)点,且 f′(x)=3x2+2ax+b.
∴f′(0)=0,即 0=3×02+2a×0+b,得 b=0.
∴f(x)=x3+ax2.
令 f(x)=x3+ax2=0,得 x=0或 x=-a,由图象知 a<0.
令 f′(x)=3x2+2ax=x(3x+2a)=0,
∴当 0-2
3
a 时,f′(x)>0.
∴当 x=-
2
3
a 时,函数有极小值-4.
即
-
2
3
a 3+a
-
2
3
a 2=-4,解得 a=-3.
∴a=-3,b=0,c=0.
[能力提升]
1.设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,以下
结论一定正确的是( )
A.∀x∈R,f(x)≤f(x0)
B.-x0是 f(-x)的极小值点
C.-x0是-f(x)的极小值点
D.-x0是-f(-x)的极小值点
【解析】 不妨取函数为 f(x)=x3-3x,则 f′(x)=3(x-1)(x+1),
易判断 x0=-1为 f(x)的极大值点,但显然 f(x0)不是最大值,故排除
A;
因为 f(-x)=-x3+3x,f′(-x)=-3(x+1)(x-1),易知-x0=1
为 f(-x)的极大值点,故排除 B;
又-f(x)=-x3+3x,[-f(x)]′=-3(x+1)(x-1),易知-x0=1
为-f(x)的极大值点,故排除 C;
∵-f(-x)的图象与 f(x)的图象关于原点对称,由函数图象的对称
性,可得-x0应为函数-f(-x)的极小值点.故 D正确.
【答案】 D
2.如图 3-3-9所示是函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的大致图象,
则 x21+x 22等于( )
图 3-3-9
A.2
3
B.4
3
C.8
3
D.12
3
【解析】 函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的图象过点(0,0),(1,0),
(2,0),得 d=0,b+c+1=0,4b+2c+8=0,则 b=-3,c=2,f′(x)
=3x2+2bx+c=3x2-6x+2,且 x1,x2是函数 f(x)=x3+bx2+cx+d
的两个极值点,即 x1,x2是方程 3x2-6x+2=0的实根,x21+x22=(x1
+x2)2-2x1x2=4-4
3
=
8
3
.
【答案】 C
3.已知函数 f(x)=x3+3ax2+3bx+c 在 x=2处有极值,其图象
在 x=1处的切线平行于直线 6x+2y+5=0,则极大值与极小值之差
为________. 【导学号:26160090】
【解析】 ∵f′(x)=3x2+6ax+3b,
∴
3×22+6a×2+3b=0,
3×12+6a×1+3b=-3
⇒
a=-1,
b=0.
∴f′(x)=3x2-6x,
令 3x2-6x=0,得 x=0或 x=2,
∴f(x)极大值-f(x)极小值=f(0)-f(2)=4.
【答案】 4
4.若函数 f(x)=2x3-6x+k 在 R 上只有一个零点,求常数 k 的
取值范围.
【解】 f(x)=2x3-6x+k,
则 f′(x)=6x2-6,
令 f′(x)=0,得 x=-1或 x=1,
可知 f(x)在(-1,1)上是减函数,
f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,
f(x)的极大值为 f(-1)=4+k,f(x)的极小值为 f(1)=-4+k.
要使函数 f(x)只有一个零点,
只需 4+k<0或-4+k>0(如图所示),
即 k<-4或 k>4.
∴k 的取值范围是(-∞,-4)∪(4,+∞).
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