高中数学第一章空间向量与立体几何1-1-1空间向量及其运算课件新人教B版选择性必修第一册 1 50页

1 . 1 . 1 　 空间向量及其运算 核心 素养 1 . 理解空间向量的概念 , 掌握空间向量的表示方法 .( 数学抽象 ) 2 . 学会空间向量的线性运算及它们的运算律 .( 数学运算 ) 3 . 能用空间向量的线性运算解决简单的立体几何问题 .( 逻辑推理 ) 4 . 理解空间向量夹角的概念 , 并掌握两个向量数量积的定义、性质及运算律 .( 数学抽象 ) 5 . 能用两个向量的数量积解决立体几何中的角度和长度等问题 .( 逻辑推理 ) 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 一天 , 梭子鱼、虾和天鹅发现路上有一辆车 , 上面装满了好吃的东西 , 于是就想把车子从路上拖下来 , 三个家伙一齐铆足了劲 , 使出了平生的力气一起拖车 , 可是 , 无论它们怎样用力 , 小车还是在老地方一步也动不了 . 原来 , 天鹅使劲往天上提 , 虾一步步向后倒拖 , 梭子鱼又朝着池塘拉去 . 同学们 , 你们知道这样拉车 , 车子为什么不动吗 ? 激趣诱思 知识点拨 1 . 空间向量的 概念 空间向量 空间中既有 大小 , 又有 方向 的量 零向量、单位向量 始点和终点相同的向量称为零向量 , 记为 0. 模等于 1 的向量称为单位向量 , 一般记为 e 向量的模 ( 或长度 ) 表示向量 a 的有向线段的长度 , 记作 |a| 相等向量 大小 相等 、方向 相同 的向量 平行 向量 ( 或共线向量 ) 方向 相同 或者 相反 的两个非零向量 共面向量 空间中的多个向量 , 如果表示它们的有向线段通过平移之后 , 都能在 同一平面 内 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1) 两个有共同始点且相等的向量 , 其终点必相同 .( 　　 ) (2) 两个有公共终点的向量 , 一定是共线向量 .( 　　 ) (3) 在空间中 , 任意一个向量都可以进行平移 .( 　　 ) 答案 : (1) √ 　 (2)× 　 (3) √ 微练习 在平行六面体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , 与向量 AD 相等的向量 共有 ( 　 ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案 : C 激趣诱思 知识点拨 2 . 空间向量的线性运算及其运算 律 (3) 数乘 : λ a , ① 当 λ ≠0, a ≠ 0 时 , | λ a |= | λ || a | , 而且 λ a 的方向 : 当 λ > 0 时 , λ a 与 a 方向 相同 ; 当 λ < 0 时 , λ a 与 a 方向 相反 ; ② 当 λ = 0 或 a = 0 时 , λ a = 0 . 激趣诱思 知识点拨 (4) 线性运算律 ① 加法交换律 : a+b= b+a ; ② 加法结合律 :( a+b ) +c= a+ ( b+c ) ; ③ 分配律 :( λ + μ ) a = λ a + μ a , λ ( a+b ) = λ a + λ b . 名师点析 空间向量的线性运算中 , 加法满足三角形法则和平行四边形法则 , 减法满足三角形法则 . ( 2) 以向量 a , b 对应的有向线段为邻边的平行四边形中 , a+b 与 a-b 对应的有向线段所表示的是两条对角线 , |a+b| 与 |a-b| 为两条对角线的长度 . (3) 三个不共面的向量和 , 等于以这三个向量对应的有向线段为邻边的平行六面体中 , 与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量 . 激趣诱思 知识点拨 微判断 空间中两个非零向量相加时 , 可以在空间中任取一点作为它们的共同始点 . ( 　　 ) 答案 : √ 微练习 1 　　　　　　　　 A. a+b+c 　 B. a+b-c C. a-b-c D . -a+b+c 答案 : C 激趣诱思 知识点拨 微练习 2 微思考 首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形 , 它们的和向量有什么特点 ? 提示 : 和向量为 0 . 激趣诱思 知识点拨 3 . 空间向量的 夹角 激趣诱思 知识点拨 微判断 答案 : × 微思考 两个非零向量共线时 , 其夹角分别是多少 ? 提示 : 两个非零向量共线且同向时 , = 0; 两个非零向量共线且反向时 , = π . 激趣诱思 知识点拨 4 . 空间向量的数量积 (1) 定义 : 空间中已知两个非零向量 a , b , 则 |a||b| cos 叫做 a , b 的数量积 ( 也称为内积 ), 记作 a · b. 即 a · b=|a||b| cos . (2) 规定零向量与任意向量的数量积为 0 . 微判断 若非零向量 a , b 为共线且同向的向量 , 则 a · b =| a || b |. ( 　　 ) 答案 : √ 微思考 两个向量的数量积与数乘向量有何不同 ? 提示 : 两个向量的数量积是它们的模与其夹角的余弦值的乘积 , 其结果是实数 ; 数乘向量是一个数与一个向量的乘积 , 其结果仍是一个向量 , 如 0 · a = 0, 而 0· a = 0 . 激趣诱思 知识点拨 5 . 空间向量的数量积的性质 (1) a ⊥ b ⇔ a · b= 0; (2) a · a=|a| 2 =a 2 ; (3) |a · b| ≤ |a||b| ; (4)( λ a )· b = λ ( a · b ); (5) a · b=b · a ( 交换律 ); (6)( a+b )· c=a · c+b · c ( 分配律 ) . 激趣诱思 知识点拨 名师点析 (1) 空间向量的数量积的运算符号是 “ · ”, 不能省略 , 更不能写成 “ × ”; (2) 空间向量的数量积 ( 内积 ) 是一个实数而不是一个向量 , 它有别于数乘向量 ; (3) 若 a · b =k , 不能得出 a = ; (4) a ⊥ b 的充要条件是 a · b = 0, 这是用向量证明空间中垂直关系的根本方法 , 同时也说明了命题 “ a · b= 0 ⇒ a=0 或 b = 0 ” 是错误的 . 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1) 对于非零向量 b , 由 a · b=b · c , 可得 a=c. ( 　　 ) (2) 对于向量 a , b , c , 有 ( a · b )· c=a ·( b · c ) . ( 　　 ) 答案 : (1)× 　 (2)× 微练习 已知 | a |= 1, | b |= , 且 a-b 与 a 垂直 , 则 a 与 b 的夹角为 ( 　　 ) A.60 ° 　　 B.30 ° 　　 C.135 ° 　　 D.45 ° 解析 : ∵ a-b 与 a 垂直 , ∴ ( a-b )· a= 0, ∴ a · a-a · b=|a| 2 -|a| · |b| ·cos < a , b > 答案 : D 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 空间向量的概念 例 1 给出下列命题 : ① 两个空间向量相等 , 则它们的起点相同 , 终点也相同 ; ② 若空间向量 a , b 满足 |a|=|b| , 则 a=b ; ③ 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , 必 有 ; ④ 若空间向量 m , n , p 满足 m=n , n=p , 则 m=p ; ⑤ 空间中任意两个单位向量必相等 . 其中正确的个数为 ( 　　 ) A.4 B.3 C.2 D.1 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 解决有关向量概念的问题 , 要熟练掌握空间向量的有关概念 , 注意区分向量与向量的模以及数量 . 相等向量只需方向相同 , 长度相等 , 与向量的起点和终点没有必然的联系 . 尤其要注意解决此类概念问题时 , 要多结合几何图形进行分析 , 并要与平面向量中的结论进行类比 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 1 下列关于空间向量的说法中正确的是 ( 　　 ) A. 空间向量不满足加法结合律 B. 若 |a|=|b| , 则 a , b 的长度相等而方向相同或 相反 D. 相等向量其方向必相同 解析 : A 中 , 空间向量满足加法结合律 ;B 中 , |a|=|b| 只能说明 a , b 的长度相等而方向不确定 ;C 中 , 向量作为矢量不能比较大小 , 故选 D. 答案 : D 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 空间向量的线性运算 例 2 如 图 , 已知长方体 ABCD-A'B'C'D' , 化简下列向量表达式 , 并在图中标出化简结果的向量 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 例 3 已知在平行六面体 ABCD - A'B'C'D' 中 , M 为 CC' 的中点 ( 如图 ) . 化简下列各表达式 , 并在图中标出化简结果的向量 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 (1) 对于借助几何图形的向量运算 , 应该在线性运算的基础上挖掘好几何体中本身的特征 , 如平行、垂直、相等等 . (2) 化归与转化思想意识要加强 , 除借助向量的运算律外 , 还可以将已知向量转化为与之相等的向量以方便其运算 , 如例 3 中第 (2) 问 将 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案 : A 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 求向量的数量 积 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 求两个向量 m , n 的数量积一般分为两个层次 : 一是结合图形确定向量 m , n 的模及 的大小 , 直接利用空间向量数量积的定义来求 , 此种情况下要注意向量夹角的正确性 ; 二是选定一组基向量表示向量 m , n , 从而把 m , n 的数量积通过运算转化为基向量之间的数量积来求 . 题目中没有明确基底的时候 , 合理选取基底是至关重要的 , 比如此题的基底选取既方便向量表示 , 又方便计算 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 4 如 图所示 , 在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中 , E , F 分别是 AB , AD 的中点 , 求 : 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 利用数量积证明垂直问题 例 5 如图所示 , 在四棱锥 P-ABCD 中 , 底面 ABCD 为平行四边形 , ∠ DAB= 60 ° , AB= 2 AD , PD ⊥ 底面 ABCD. 求证 : PA ⊥ BD. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 (1) 由数量积的性质 a ⊥ b ⇔ a · b= 0 可知 , 要证两直线垂直 , 可构造与两直线分别平行的向量 ( a , b 是非零向量 ), 只要证明这两个向量的数量积为 0 即可 . (2) 用向量法证明线面 ( 面面 ) 垂直 , 离不开线面 ( 面面 ) 垂直的判定定理 , 需将线面 ( 面面 ) 垂直转化为线线垂直 , 然后利用向量法证明线线垂直 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 5 如图所示 , 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , O 为 AC 与 BD 的交点 , G 为 CC 1 的中点 , 求证 : A 1 O ⊥ 平面 GBD. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 利用数量积求解距离或长度问题 例 6 平行四边形 ABCD 中 , AB= 2 AC= 2 且 ∠ ACD= 90 ° , 将它沿对角线 AC 折起 , 使 AB 与 CD 成 60 ° 角 , 求 B , D 间的距离 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 利用向量的数量积求两点间的距离 , 可以转化为求向量的模的问题 , 其基本思路是先选择以两点为端点的向量 , 将此向量表示为几个已知向量的和的形式 , 求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模 , 利用 公式 求解 即可 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 6 在平行六面体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , AB= 1, AD= 2, AA 1 = 3 , ∠ BAD= 90 ° , ∠ BAA 1 = ∠ DAA 1 = 60 ° , 求 AC 1 的长 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 易错点 —— 因将向量夹角与直线夹角混淆而致错 案例 如图 , 空间四边形 ABCD 中 , 每条边的长度和两条对角线的长度都等于 1, M , N 分别是 AB , AD 的中点 , 计算 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 1 . “ 两个非零空间向量的模相等 ” 是 “ 两个空间向量相等 ” 的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 : B 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案 : D 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 4 . 若 a , b , c 为空间两两夹角都是 60 ° 的三个单位向量 , 则 |a-b+ 2 c|= 　　　　 .  解析 : |a-b+ 2 c| 2 = ( a-b+ 2 c ) 2 =a 2 +b 2 + 4 c 2 - 2 a · b+ 4 a · c- 4 b · c = 5 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案 : 60 ° 　 1 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 6 . 已知空间四边形 OABC 中 , M , N , P , Q 分别为 BC , AC , OA , OB 的中点 , 若 AB=OC , 求证 : PM ⊥ QN.