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- 2021-06-30 发布
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2006年全国统一高考数学试卷Ⅱ（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 已知集合M＝{x|x<3}，N＝{x|log2x>1}，则M∩N＝（ ）
A.⌀ B.{x|00)，则f(x)的反函数为( )
A. y=ex+1(x∈R) B.y=ex-1(x∈R) C. y=ex+1(x>1) D. y=ex-1(x>1)
7. 如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为π4和π6．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A'、B'，则AB:A'B'=( )
A.2:1 B.3:1 C.3:2 D.4:3
8. 函数y=f(x)的图象与函数g(x)=log2x(x>0)的图象关于原点对称，则f(x)的表达式为（ ）
A.f(x)=1log2x(x>0) B.f(x)=1log2(-x)(x<0)
C.f(x)=-log2x(x>0) D.f(x)=-log2(-x)(x<0)
9. 已知双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线方程为y=43x，则双曲线的离心率为（ ）
A.53 B.43 C.54 D.32
10. 若f(sinx)=2-cos2x，则f(cosx)等于（ ）
A.2-sin2x B.2+sin2x C.2-cos2x D.2+cos2x
11. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3S6=13，则S6S12=( )
A.310 B.13 C.18 D.19
12. 函数f(x)=n=119|x-n|的最小值为（ ）
A.190 B.171 C.90 D.45
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13. 在(x4+1x)10的展开式中常数项为________（用数字作答）．
14. 已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为________．
15. 过点(1,2)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=________．
6 / 6
16. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500, 3000)（元）月收入段应抽出________人．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17. 已知向量a→=(sinθ,3)，b→=(1,cosθ)，θ∈(-π2，π2)．
（1）若a→⊥b→，求θ；
（2）求|a→+b→|的最大值．
18. 某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．
（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；
（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．
19. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．
6 / 6
（1）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；
（2）设AA1=AC=2AB，求二面角A1-AD-C1的大小．
20. 设函数f(x)=(x+1)ln(x+1)．若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．
21. 已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AF→=λFB→(λ>0)．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．
(Ⅰ)证明FM→.AB→为定值；
(Ⅱ)设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．
22. 设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1，n=1，2，3，…．
（1）求a1，a2；
（2）猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格的证明．
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参考答案与试题解析
2006年全国统一高考数学试卷Ⅱ（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.D
2.D
3.A
4.C
5.C
6.B
7.A
8.D
9.A
10.D
11.A
12.C
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13.45
14.3
15.22
16.25
三、解答题（共6小题，满分74分）
17.解：（1）因为a→⊥b→，所以sinθ+3cosθ=0
得tanθ=-3
又θ∈(-π2，π2)，
所以θ=-π3
（2）因为|a→+b→|2=(sinθ+1)2+(cosθ+3)2
=5+4sin(θ+π3)
所以当θ=π6时，|a→+b→|2的最大值为5+4=9
故|a→+b→|的最大值为3
18.由题意知抽检的6件产品中二等品的件数ξ＝0，1，2，3
P(ξ=0)=C42C52⋅C32C52=18100=950P(ξ=1)=C41C52⋅C32C52+C42C52⋅C31⋅C21C52=2450=1225P(ξ=2)=C41C52⋅C31⋅C21C52+C42C52⋅C22C52=1550P(ξ=3)=C41C52⋅C22C52=250=125，
∴ ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
950
2450
1550
250
∴ ξ的数学期望E(ξ)=0×950+1×2450+2×1550+3×250=1.2
∵ P(ξ＝2)=1550，P(ξ＝3)=250，这两个事件是互斥的
∴ P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=1550+250=1750
19.解：（1）设O为AC中点，连接EO，BO，则EO= // 12C1C，又C1C= // B1B，所以EO= // DB，EOBD为平行四边形，ED // OB．
∵ AB=BC，
∴ BO⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，
故BO⊥平面ACC1A1，
∴ ED⊥平面ACC1A1，ED⊥AC1，ED⊥CC1，
6 / 6
∴ ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．
（2）连接A1E，由AA1=AC=2AB可知，A1ACC1为正方形，
∴ A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面
ADC1⊥平面A1ACC1，
∴ A1E⊥平面ADC1．
作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1-AD-C1的平面角．
不妨设AA1=2，则AC=2，AB=2，ED=OB=1，EF=AE×EDAD=23，
tan∠A1FE=3，
∴ ∠A1FE=60∘．
所以二面角A1-AD-C1为60∘．
20.解法一：
令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax，
对函数g(x)求导数：g'(x)=ln(x+1)+1-a
令g'(x)=0，解得x=ea-1-1，
(I)当a≤1时，对所有x>0，g'(x)>0，所以g(x)在[0, +∞)上是增函数，
又g(0)=0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，
即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax．
(II)当a>1时，对于01时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．
综上，a的取值范围是(-∞, 1]．
解法二：
令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax，
于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．
对函数g(x)求导数：g'(x)=ln(x+1)+1-a
令g'(x)=0，解得x=ea-1-1，
当x>ea-1-1时，g'(x)>0，g(x)为增函数，
当-10．
x1+x2＝4k，x1x2＝-4
于是曲线4y＝x2上任意一点斜率为y'=x2，则易得切线AM，BM方程分别为y＝(12)x1(x-x1)+y1，y＝(12)x2(x-x2)+y2，其中4y1＝x12，4y2＝x22，联立方程易解得交点M坐标，xo=x1+x22=2k，yo=x1x24=-1，即M(x1+x22, -1)
从而，FM→=(x1+x22, -2)，AB→(x2-x1, y2-y1)
FM→⋅AB→=12(x1+x2)(x2-x1)-2(y2-y1)=12(x22-x12)-2[14(x22-x12)]＝0，（定值）命题得证．
这就说明AB⊥FM．
（2）由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=12|AB||FM|．
∵ AF→=λFB→(λ>0)，
6 / 6
∴ (-x1, 1-y1)＝λ(x2, y2-1)，即-x1=λx21-y1=λ(y2-1) ，
而4y1＝x12，4y2＝x22，
则x22=4λ，x12＝4λ，
|FM|=(x1+x22)2+(-2)2=14x12+14x22+12x1x2+4=λ+1λ+2=λ+1λ．
因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝-1的距离，所以
|AB|＝|AF|+|BF|＝y1+y2+2=14x12+14x22+2＝λ+1λ+2＝(λ+1λ)2．
于是S=12|AB||FM|=12(λ+1λ)3，
由λ+1λ≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．
22.解：（1）当n=1时，x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1，
于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0，解得a1=12．
当n=2时，x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2-12，
于是(a2-12)2-a2(a2-12)-a2=0，
解得a2=16．
（2）由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0，
Sn2-2Sn+1-anSn=0．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1，
代入上式得Sn-1Sn-2Sn+1=0．①
由（1）得S1=a1=12，S2=a1+a2=12+16=23．
由①可得S3=34．由此猜想Sn=nn+1，n=1，2，3，．
下面用数学归纳法证明这个结论．
(I)n=1时已知结论成立．
(II)假设n=k时结论成立，即Sk=kk+1，当n=k+1时，由①得Sk+1=12-Sk，即Sk+1=k+1k+2，故n=k+1时结论也成立．
综上，由(I)、(II)可知Sn=nn+1对所有正整数n都成立．
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