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  • 2021-06-30 发布

2015年湖北省高考数学试卷(理科)

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‎2015年湖北省高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)i为虚数单位,i607的共轭复数为(  )‎ A.i B.﹣i C.1 D.﹣1‎ ‎2.(5分)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为(  )‎ A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石 ‎3.(5分)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为(  )‎ A.212 B.211 C.210 D.29‎ ‎4.(5分)设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是(  )‎ A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)‎ C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t) D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)‎ ‎5.(5分)设a1,a2,…,an∈R,n≥3.若p:a1,a2,…,an成等比数列;q:(a12+a22+…+an﹣12)(a22+a32+…+an2)=(a1a2+a2a3+…+an﹣1an)2,则(  )‎ A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件 B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件 C.p是q的充分必要条件 D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 ‎6.(5分)已知符号函数sgnx=,f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),则(  )‎ A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=﹣sgnx C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]‎ ‎7.(5分)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记P1为事件“x+y≥”的概率,P2为事件“|x﹣y|≤”的概率,P3为事件“xy≤”的概率,则(  )‎ A.P1<P2<P3 B.P2<P3<P1 C.P3<P1<P2 D.P3<P2<P1‎ ‎8.(5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则(  )‎ A.对任意的a,b,e1>e2‎ B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2‎ C.对任意的a,b,e1<e2‎ D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2‎ ‎9.(5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为(  )‎ A.77 B.49 C.45 D.30‎ ‎10.(5分)设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得[t]=1,[t2]=2,…,[tn]=n同时成立,则正整数n的最大值是(  )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.‎ ‎11.(5分)已知向量⊥,||=3,则•=  .‎ ‎12.(5分)函数f(x)=4cos2cos(﹣x)﹣2sinx﹣|ln(x+1)|的零点个数为  .‎ ‎13.(5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=  m.‎ ‎14.(5分)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.‎ ‎(1)圆C的标准方程为  ;‎ ‎(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:‎ ‎①=; ②﹣=2; ③+=2.‎ 其中正确结论的序号是  .(写出所有正确结论的序号)‎ ‎ ‎ 选修4-1:几何证明选讲 ‎15.(5分)如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且BC=3PB,则=  .‎ ‎ ‎ 选修4-4:坐标系与参数方程 ‎16.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ﹣3cosθ)=0,曲线C的参数方程为( t为参数),l与C相交于A,B两点,则|AB|=  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表:‎ ωx+φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx+φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎﹣5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为(,0),求θ的最小值.‎ ‎18.(12分)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.‎ ‎(1)求数列{an},{bn}的通项公式 ‎(2)当d>1时,记cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎19.(12分)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P﹣ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.‎ ‎(1)证明:PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;‎ ‎(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,求的值.‎ ‎20.(12分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为 W ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ P ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是一个随机变量.‎ ‎(1)求Z的分布列和均值;‎ ‎(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.‎ ‎21.(14分)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3,当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C,以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设动直线l与两定直线l1:x﹣2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.‎ ‎22.(14分)已知数列{an}的各项均为正数,bn=n(1+)nan(n∈N+),e为自然对数的底数.‎ ‎(1)求函数f(x)=1+x﹣ex的单调区间,并比较(1+)n与e的大小;‎ ‎(2)计算,,,由此推测计算的公式,并给出证明;‎ ‎(3)令cn=(a1a2…an),数列{an},{cn}的前n项和分别记为Sn,Tn,证明:Tn<eSn.‎ ‎ ‎ ‎2015年湖北省高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)(2015•湖北)i为虚数单位,i607的共轭复数为(  )‎ A.i B.﹣i C.1 D.﹣1‎ ‎【分析】直接利用复数的单位的幂运算求解即可.‎ ‎【解答】解:i607=i604+3=i3=﹣i,‎ 它的共轭复数为:i.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2015•湖北)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为(  )‎ A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石 ‎【分析】根据254粒内夹谷28粒,可得比例,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:由题意,这批米内夹谷约为1534×≈169石,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2015•湖北)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为(  )‎ A.212 B.211 C.210 D.29‎ ‎【分析】直接利用二项式定理求出n,然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可.‎ ‎【解答】解:已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,‎ 可得,可得n=3+7=10.‎ ‎(1+x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为:=29.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2015•湖北)设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是(  )‎ A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)‎ C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t) D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)‎ ‎【分析】直接利用正态分布曲线的特征,集合概率,直接判断即可.‎ ‎【解答】解:正态分布密度曲线图象关于x=μ对称,所以μ1<μ2,从图中容易得到P(X≤t)≥P(Y≤t).‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2015•湖北)设a1,a2,…,an∈R,n≥3.若p:a1,a2,…,an成等比数列;q:(a12+a22+…+an﹣12)(a22+a32+…+an2)=(a1a2+a2a3+…+an﹣1an)2,则(  )‎ A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件 B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件 C.p是q的充分必要条件 D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 ‎【分析】运用柯西不等式,可得:(a12+a22+…+an﹣12)(a22+a32+…+an2)≥(a1a2+a2a3+…+an﹣1an)2,讨论等号成立的条件,结合等比数列的定义和充分必要条件的定义,即可得到.‎ ‎【解答】解:由a1,a2,…,an∈R,n≥3.‎ 运用柯西不等式,可得:‎ ‎(a12+a22+…+an﹣12)(a22+a32+…+an2)≥(a1a2+a2a3+…+an﹣1an)2,‎ 若a1,a2,…,an成等比数列,即有==…=,‎ 则(a12+a22+…+an﹣12)(a22+a32+…+an2)=(a1a2+a2a3+…+an﹣1an)2,‎ 即由p推得q,‎ 但由q推不到p,比如a1=a2=a3=…=an=0,则a1,a2,…,an不成等比数列.‎ 故p是q的充分不必要条件.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2015•湖北)已知符号函数sgnx=,f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),则(  )‎ A.sgn[g(x)]=sgnx B.sgn[g(x)]=﹣sgnx C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)] D.sgn[g(x)]=﹣sgn[f(x)]‎ ‎【分析】直接利用特殊法,设出函数f(x),以及a的值,判断选项即可.‎ ‎【解答】解:由于本题是选择题,可以采用特殊法,符号函数sgnx=,f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)﹣f(ax)(a>1),‎ 不妨令f(x)=x,a=2,‎ 则g(x)=f(x)﹣f(ax)=﹣x,‎ sgn[g(x)]=﹣sgnx.所以A不正确,B正确,‎ sgn[f(x)]=sgnx,C不正确;D正确;‎ 对于D,令f(x)=x+1,a=2,‎ 则g(x)=f(x)﹣f(ax)=﹣x,‎ sgn[f(x)]=sgn(x+1)=;‎ sgn[g(x)]=sgn(﹣x)=,‎ ‎﹣sgn[f(x)]=﹣sgn(x+1)=;所以D不正确;‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2015•湖北)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记P1为事件“x+y≥”的概率,P2为事件“|x﹣y|≤”的概率,P3为事件“xy≤”的概率,则(  )‎ A.P1<P2<P3 B.P2<P3<P1 C.P3<P1<P2 D.P3<P2<P1‎ ‎【分析】作出每个事件对应的平面区域,求出对应的面积,利用几何概型的概率公式进行计算比较即可.‎ ‎【解答】解:分别作出事件对应的图象如图(阴影部分):‎ P1:D(0,),F(,0),A(0,1),B(1,1),C(1,0),‎ 则阴影部分的面积S1=1×1﹣=1﹣=,‎ S2=1×1﹣2×=1﹣=,‎ S3=1×+dx=+lnx|=﹣ln=+ln2,‎ ‎∴S2<S3<S1,‎ 即P2<P3<P1,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2015•湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则(  )‎ A.对任意的a,b,e1>e2‎ B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2‎ C.对任意的a,b,e1<e2‎ D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2‎ ‎【分析】分别求出双曲线的离心率,再平方作差,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:由题意,双曲线C1:c2=a2+b2,e1=;‎ 双曲线C2:c′2=(a+m)2+(b+m)2,e2=,‎ ‎∴=﹣=,‎ ‎∴当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2015•湖北)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为(  )‎ A.77 B.49 C.45 D.30‎ ‎【分析】由题意可得,A={(0,0),(0,1),(0,﹣1),(1,0),(﹣1,0),B={(0,0),(0,1),(0,2),(0,﹣1),(0,﹣2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,﹣1),(1,﹣2)(2,0),(2,1),(2,2)(2,﹣1),(2,﹣2),(﹣1,﹣2),(﹣1,﹣1),(﹣1,0),(﹣1,1),(﹣1,2),(﹣2,﹣2),(﹣2,﹣1),(﹣2,0),(﹣2,1),(﹣2,2)},根据定义可求 ‎【解答】解:解法一:‎ ‎∵A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z}={(0,0),(0,1),(0,﹣1),(1,0),(﹣1,0),‎ B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}={(0,0),(0,1),(0,2),(0,﹣1),(0,﹣2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,﹣1),(1,﹣2)(2,0),(2,1),(2,2)(2,﹣1),(2,﹣2),(﹣1,﹣2),(﹣1,﹣1),(﹣1,0),(﹣1,1),(﹣1,2),(﹣2,﹣2),(﹣2,﹣1),(﹣2,0),(﹣2,1),(﹣2,2)}‎ ‎∵A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},‎ ‎∴A⊕B={‎ ‎(0,0),(0,1),(0,2),(0,﹣1),(0,﹣2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,﹣1),(1,﹣2)(2,0),(2,1),(2,2),(2,﹣1),(2,﹣2),(﹣1,﹣2),(﹣1,﹣1),(﹣1,0),(﹣1,1),(﹣1,2),(﹣2,﹣2),(﹣2,﹣1),(﹣2,0),(﹣2,1),(﹣2,2),‎ ‎(﹣2,3),(﹣2,﹣3),(0,﹣3),(2,﹣3),(﹣1,3),(﹣1,﹣3),(1,3),(2,3),(0,3),(3,﹣1),(3,0)(3,1),(3,2),(3,﹣2)(﹣3,2)(﹣3,1),(1,﹣3),(﹣3,﹣1),(﹣3,0),(﹣3,﹣2)}共45个元素;‎ 解法二:‎ 因为集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},所以集合A中有5个元素,即图中圆中的整点,B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},中有5×5=25个元素,即图中正方形ABCD中的整点,A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点(除去四个顶点),即7×7﹣4=45个.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2015•湖北)设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得[t]=1,[t2]=2,…,[tn]=n同时成立,则正整数n的最大值是(  )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎【分析】由新定义可得t的范围,验证可得最大的正整数n为4.‎ ‎【解答】解:若[t]=1,则t∈[1,2),‎ 若[t2]=2,则t∈[,)(因为题目需要同时成立,则负区间舍去),‎ 若[t3]=3,则t∈[,),‎ 若[t4]=4,则t∈[,),‎ 若[t5]=5,则t∈[,),‎ 其中≈1.732,≈1.587,≈1.495,≈1.431<1.495,‎ 通过上述可以发现,当t=4时,可以找到实数t使其在区间[1,2)∩[,)∩[,)∩[,)上,‎ 但当t=5时,无法找到实数t使其在区间[1,2)∩[,)∩[,)∩[,)∩[,)‎ 上,‎ ‎∴正整数n的最大值4‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.‎ ‎11.(5分)(2015•湖北)已知向量⊥,||=3,则•= 9 .‎ ‎【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案.‎ ‎【解答】解:由⊥,得•=0,即•()=0,‎ ‎∵||=3,‎ ‎∴.‎ 故答案为:9.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2015•湖北)函数f(x)=4cos2cos(﹣x)﹣2sinx﹣|ln(x+1)|的零点个数为 2 .‎ ‎【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式,求出函数的定义域,画出函数的图象,求出交点个数即可.‎ ‎【解答】解:函数f(x)的定义域为:{x|x>﹣1}.‎ f(x)=4cos2cos(﹣x)﹣2sinx﹣|ln(x+1)|‎ ‎=2sinx﹣|ln(x+1)|‎ ‎=sin2x﹣|ln(x+1)|,‎ 分别画出函数y=sin2x,y=|ln(x+1)|的图象,‎ 由函数的图象可知,交点个数为2.‎ 所以函数的零点有2个.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2015•湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= 100 m.‎ ‎【分析】设此山高h(m),在△BCD中,利用仰角的正切表示出BC,进而在△ABC中利用正弦定理求得h.‎ ‎【解答】解:设此山高h(m),则BC=h,‎ 在△ABC中,∠BAC=30°,∠CBA=105°,∠BCA=45°,AB=600.‎ 根据正弦定理得=,‎ 解得h=100(m)‎ 故答案为:100.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2015•湖北)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.‎ ‎(1)圆C的标准方程为 (x﹣1)2+(y﹣)2=2 ;‎ ‎(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:‎ ‎①=; ②﹣=2; ③+=2.‎ 其中正确结论的序号是 ①②③ .(写出所有正确结论的序号)‎ ‎【分析】(1)取AB的中点E,通过圆C与x轴相切于点T,利用弦心距、半径与半弦长之间的关系,计算即可;‎ ‎(2)设M(cosα,sinα),N(cosβ,sinβ),计算出、、的值即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵圆C与x轴相切于点T(1,0),‎ ‎∴圆心的横坐标x=1,取AB的中点E,‎ ‎∵|AB|=2,∴|BE|=1,‎ 则|BC|=,即圆的半径r=|BC|=,‎ ‎∴圆心C(1,),‎ 则圆的标准方程为(x﹣1)2+(y﹣)2=2,‎ 故答案为:(x﹣1)2+(y﹣)2=2.‎ ‎(2)∵圆心C(1,),∴E(0,),‎ 又∵|AB|=2,且E为AB中点,‎ ‎∴A(0,﹣1),B(0,+1),‎ ‎∵M、N在圆O:x2+y2=1上,‎ ‎∴可设M(cosα,sinα),N(cosβ,sinβ),‎ ‎∴|NA|=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=,‎ ‎|NB|=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=,‎ ‎∴===,‎ 同理可得=,‎ ‎∴=,①成立,‎ ‎﹣=﹣()=2,②正确.‎ ‎+=+()=,③正确.‎ 故答案为:①②③.‎ ‎ ‎ 选修4-1:几何证明选讲 ‎15.(5分)(2015•湖北)如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且BC=3PB,则=  .‎ ‎【分析】利用切割线定理推出PA=2PB,利用相似三角形求出比值即可.‎ ‎【解答】解:由切割线定理可知:PA2=PB•PC,又BC=3PB,‎ 可得PA=2PB,‎ 在△PAB与△PAC中,∠P=∠P,∠PAB=∠PCA(同弧上的圆周角与弦切角相等),‎ 可得△PAB∽△PAC,‎ ‎∴==.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ 选修4-4:坐标系与参数方程 ‎16.(2015•湖北)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ﹣3cosθ)=0,曲线C的参数方程为( t为参数),l与C相交于A,B两点,则|AB|=  .‎ ‎【分析】化极坐标方程化直角坐标方程,参数方程化普通方程,联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标,由两点间的距离公式得答案.‎ ‎【解答】解:由ρ(sinθ﹣3cosθ)=0,得y﹣3x=0,‎ 由C的参数方程为( t为参数),两式平方作差得:x2﹣y2=﹣4.‎ 联立,得,即.‎ ‎∴A(),B(),‎ ‎∴|AB|=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(11分)(2015•湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表:‎ ωx+φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx+φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎﹣5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为(,0),求θ的最小值.‎ ‎【分析】(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=﹣.从而可补全数据,解得函数表达式为f(x)=5sin(2x﹣).‎ ‎(2)由(Ⅰ)及函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律得g(x)=5sin(2x+2θ﹣).令2x+2θ﹣=kπ,解得x=,k∈Z.令=,解得θ=,k∈Z.由θ>0可得解.‎ ‎【解答】解:(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=﹣.数据补全如下表:‎ ωx+φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx+φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎﹣5‎ ‎0‎ 且函数表达式为f(x)=5sin(2x﹣).‎ ‎(2)由(Ⅰ)知f(x)=5sin(2x﹣),得g(x)=5sin(2x+2θ﹣).‎ 因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z.‎ 令2x+2θ﹣=kπ,解得x=,k∈Z.‎ 由于函数y=g(x)的图象关于点(,0)成中心对称,令=,‎ 解得θ=,k∈Z.由θ>0可知,当K=1时,θ取得最小值.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2015•湖北)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.‎ ‎(1)求数列{an},{bn}的通项公式 ‎(2)当d>1时,记cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎【分析】(1)利用前10项和与首项、公差的关系,联立方程组计算即可;‎ ‎(2)当d>1时,由(1)知cn=,写出Tn、Tn的表达式,利用错位相减法及等比数列的求和公式,计算即可.‎ ‎【解答】解:(1)设a1=a,由题意可得,‎ 解得,或,‎ 当时,an=2n﹣1,bn=2n﹣1;‎ 当时,an=(2n+79),bn=9•;‎ ‎(2)当d>1时,由(1)知an=2n﹣1,bn=2n﹣1,‎ ‎∴cn==,‎ ‎∴Tn=1+3•+5•+7•+9•+…+(2n﹣1)•,‎ ‎∴Tn=1•+3•+5•+7•+…+(2n﹣3)•+(2n﹣1)•,‎ ‎∴Tn=2+++++…+﹣(2n﹣1)•=3﹣,‎ ‎∴Tn=6﹣.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2015•湖北)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P﹣ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.‎ ‎(1)证明:PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;‎ ‎(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,求的值.‎ ‎【分析】解法1)(1)直线与直线,直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF,DE∩FE=E,所以PB⊥平面DEF,即可判断DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,确定直角.‎ ‎(2)根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线.利用直线平面的垂直判断出DG⊥DF,DG⊥DB,根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角,转化到直角三角形求解即可.‎ 解法2)‎ ‎(1)以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系,运用向量的数量积判断即可.‎ ‎2)由PD⊥底面ABCD,所以=(0,0,1)是平面ACDB的一个法向量;由(Ⅰ)知,PB⊥平面DEF,所以=(﹣λ,﹣1,1)是平面DEF的一个法向量.根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案.‎ ‎【解答】解法1)(1)因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC,‎ 由底面ABCD为长方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,‎ 所以BC⊥平面PCD.而DE⊂平面PDC,所以BC⊥DE.‎ 又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥PC.‎ 而PC∩CB=C,所以DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC,所以PB⊥DE.‎ 又PB⊥EF,DE∩FE=E,所以PB⊥平面DEF.‎ 由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,‎ 即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.‎ ‎(2)如图1,‎ 在面BPC内,延长BC与FE交于点G,则DG是平面DEF与平面ACBD的交线.‎ 由(Ⅰ)知,PB⊥平面DEF,所以PB⊥DG.‎ 又因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥DG.而PD∩PB=P,所以DG⊥平面PBD.‎ 所以DG⊥DF,DG⊥DB 故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角,‎ 设PD=DC=1,BC=λ,有BD=,‎ 在Rt△PDB中,由DF⊥PB,得∠DGF=∠FDB=,‎ 则 tan=tan∠DPF===,解得.‎ 所以==‎ 故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时,=.‎ ‎(解法2)‎ ‎(1)以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系.设PD=DC=1,BC=λ,‎ 则D(0,0,0),P(0,0,1),B(λ,1,0),C(0,1,0),=(λ1,﹣1),点E是PC的中点,所以E(0,,),=(0,,),‎ 于是=0,即PB⊥DE.‎ 又已知EF⊥PB,而ED∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.‎ 因=(0,1,﹣1),=0,则DE⊥PC,所以DE⊥平面PBC.‎ 由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,‎ 即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠‎ DFB.‎ ‎(2)由PD⊥底面ABCD,所以=(0,0,1)是平面ACDB的一个法向量;‎ 由(Ⅰ)知,PB⊥平面DEF,所以=(﹣λ,﹣1,1)是平面DEF的一个法向量.‎ 若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,‎ 则运用向量的数量积求解得出cos==,‎ 解得.所以所以==‎ 故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时,=.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2015•湖北)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为 W ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ P ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是一个随机变量.‎ ‎(1)求Z的分布列和均值;‎ ‎(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.‎ ‎【分析】(1)设每天A,B两种产品的生产数量分别为x,y,相应的获利为z,列出可行域,目标函数,通过当W=12时,当W=15时,当W=18时,分别求出目标函数的最大获利,然后得到Z的分布列.求出期望即可.‎ ‎(2)判断概率类型是二项分布,然后求解所求概率即可.‎ ‎【解答】(12分)‎ 解:(1)设每天A,B两种产品的生产数量分别为x,y,相应的获利为z,则有 ‎,①如图1,目标函数为:z=1000x+1200y.‎ 当W=12时,①表示的平面区域如图1,三个顶点分别为A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0).‎ 将z=1000x+1200y变形为,‎ 当x=2.4,y=4.8时,直线l:在y轴上的截距最大,‎ 最大获利Z=Zmax=2.4×1000+4.8×1200=8160.‎ 当W=15时,①表示的平面区域如图2,三个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(7.5,0)..‎ 将z=1000x+1200y变形为,‎ 当x=3,y=6时,直线l:在y轴上的截距最大,‎ 最大获利Z=Zmax=3×1000+6×1200=10200.‎ 当W=18时,①表示的平面区域如图3,四个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).‎ 将z=1000x+1200y变形为:,‎ 当x=6,y=4时,直线l:y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大,最大获利Z=Zmax=6×1000+4×1200=10800.‎ 故最大获利Z的分布列为:‎ Z ‎8160‎ ‎10200‎ ‎10800‎ P ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ 因此,E(Z)=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708‎ ‎(2)由(Ⅰ)知,一天最大获利超过10000元的概率P1=P(Z>10000)=0.5+0.2=0.7,‎ 由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为:‎ ‎.‎ ‎ ‎ ‎21.(14分)(2015•湖北)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3,当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C,以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设动直线l与两定直线l1:x﹣2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.‎ ‎【分析】(1)根据条件求出a,b即可求椭圆C的方程;‎ ‎(2)联立直线方程和椭圆方程,求出原点到直线的距离,结合三角形的面积公式进行求解即可.‎ ‎【解答】解:(1)设D(t,0),|t|≤2,‎ N(x0,y0),M(x,y),由题意得=2,‎ 且||=||=1,‎ ‎∴(t﹣x,﹣y)=2(x0﹣t,y0),且,‎ 即,且t(t﹣2x0)=0,‎ 由于当点D不动时,点N也不动,∴t不恒等于0,‎ 于是t=2x0,故x0=,y0=﹣,‎ 代入x02+y02=1,得方程为.‎ ‎(2)①当直线l的斜率k不存在时,直线l为:x=4或x=﹣4,都有S△OPQ=,‎ ‎②直线l的斜率k存在时,直线l为:y=kx+m,(k),‎ 由消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣16=0,‎ ‎∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,‎ ‎∴△=64k2m2﹣4(1+4k2)(4m2﹣16)=0,即m2=16k2+4,①,‎ 由,可得P(,),同理得Q(,),‎ 原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=•|xP﹣xQ|,‎ 可得S△OPQ=|PQ|d=|m||xP﹣xQ|=|m|||=||②,‎ 将①代入②得S△OPQ=||=8||,‎ 当k2>时,S△OPQ=8()=8(1+)>8,‎ 当0≤k2<时,S△OPQ=8||=﹣8()=8(﹣1+),‎ ‎∵0≤k2<时,∴0<1﹣4k2≤1,≥2,‎ ‎∴S△OPQ=8(﹣1+)≥8,当且仅当k=0时取等号,‎ ‎∴当k=0时,S△OPQ的最小值为8,‎ 综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,三角形OPQ的面积存在最小值为8.‎ ‎ ‎ ‎22.(14分)(2015•湖北)已知数列{an}的各项均为正数,bn=n(1+)nan(n∈N+),e为自然对数的底数.‎ ‎(1)求函数f(x)=1+x﹣ex的单调区间,并比较(1+)n与e的大小;‎ ‎(2)计算,,,由此推测计算的公式,并给出证明;‎ ‎(3)令cn=(a1a2…an),数列{an},{cn}的前n项和分别记为Sn,Tn,证明:Tn<eSn.‎ ‎【分析】(1)求出f(x)的定义域,利用导数求其最大值,得到1+x<ex.取x=即可得到答案;‎ ‎(2)由bn=n(1+)nan(n∈N+),变形求得,,,由此推测=(n+1)n.然后利用数学归纳法证明.‎ ‎(3)由cn的定义、=(n+1)n、算术﹣几何平均不等式、bn的定义及,利用放缩法证得Tn<eSn.‎ ‎【解答】(1)解:f(x)的定义域为(﹣∞,+∞),f′(x)=1﹣ex.‎ 当f′(x)>0,即x<0时,f(x)单调递增;‎ 当f′(x)<0,即x>0时,f(x)单调递减.‎ 故f(x)的单调递增区间为(﹣∞,0),单调递减区间为(0,+∞).‎ 当x>0时,f(x)<f(0)=0,即1+x<ex.‎ 令,得,即.①‎ ‎(2)解:;=;‎ ‎.‎ 由此推测:=(n+1)n.②‎ 下面用数学归纳法证明②.‎ ‎(1)当n=1时,左边=右边=2,②成立.‎ ‎(2)假设当n=k时,②成立,即.‎ 当n=k+1时,,由归纳假设可得 ‎=.‎ ‎∴当n=k+1时,②也成立.‎ 根据(1)(2),可知②对一切正整数n都成立.‎ ‎(3)证明:由cn的定义,②,算术﹣几何平均不等式,bn的定义及①得 Tn=c1+c2+…+cn=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎<ea1+ea2+…+ean=eSn.‎ 即Tn<eSn.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:qiss;刘长柏;双曲线;maths;吕静;lincy;sxs123;cst;w3239003;sdpyqzh(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日