2021届高考数学一轮复习第六章不等式第3讲算术平均数与几何平均数课件 32页

第3讲 算术平均数与几何平均数 课标要求 考情风向标 1.探索并了解基本不等式 的证明过程. 2.会用基本不等式解决简 单的最大(小)值问题 新课标基本上没有考过基本不等式， 而其他省份屡见不鲜，复习应注意： (1)平时突出对基本不等式取等号的 条件及运算能力的强化训练； (2)训练过程中注意对等价转化、分类 讨论及逻辑推理能力的培养 2. 几个常用的重要不等式 (1) a ∈ R ， a 2 ≥0，| a |≥0，当且仅当 a ＝0 时取“＝”. (2) a ， b ∈ R ，则 a 2 ＋ b 2 ______2 ab . ≥ 1.若 a ， b ∈ R ，且 ab >0，则下列不等式中，恒成立的是 ( ) A.有最大值 C.是增函数 B.有最小值 D.是减函数 D B 答案： A 4.已知 x >0， y >0，且 x ＋4 y ＝1，则 xy 的最大值为__ __ _. 考点 1 利用基本不等式求最值 ( 或取值范围 ) 例 1 ： (1) (2018 年天津 ) 已知 a ， b ∈ R ，且 a －3 b ＋6＝0，则 答案： 4 (3)(2019 年上海 ) 如图 6-3-1 ，已知正方形 OABC ，其中 OA 象交 AB 于点 Q ，当| AQ |＋| CP |最小时，则 a 的值为________. 图 6-3-1 考点 2 利用基本不等式求参数的取值范围 (2)(2017 年河南八市模拟 ) 已知关于 x 的不等式 2 x ＋ m ＋ 8 x －1 ( >0 对一切 x ∈(1，＋∞)恒成立，则实数 m 的取值范围是 ) A. m <－8 C. m >－8 B. m <－10 D. m >－10 答案： D 答案： 36 A.3 B.4 C.14 D.8 (当且仅当 a － b ＝ b － c 时取等号)，∴ n 的最大值为 4，故选 B. 答案： B 考点 3 利用逆代法求最值 答案： 8 (2)(2018 年江苏 ) 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，∠ ABC ＝120°，∠ ABC 的平分线交 AC 于点 D ，且 BD ＝1，则 4 a ＋ c 的最小值为________. 答案： 9 则实数 m 的取值范围是( ) A. m ≥4 或 m ≤－2 B. m ≥2 或 m ≤－4 C.－2< m <4 D.－4< m <2 ∴( x ＋2 y ) min ＝8，由题意知 m 2 ＋2 m －8<0，解得－4< m <2. 故选 D. 答案： D 【规律方法】 (1) 本题需要将 “1”灵活代入所求的代数式中， 这种方法叫做逆代法 . (2) 利用基本不等式及变式求函数的最值时，要注意到合理 拆分项或配凑因式，而拆与凑的过程中，①要考虑定理使用的 条件 ( 两数都为正 ) ；②要考虑必须使和或积为定值；③要考虑 等号成立的条件 ( 当且仅当 a ＝ b 时取 “ ＝ ” 号 ) ，即 “一正，二 定，三相等”. 难点突破 ⊙利用整体思想求最值 例题： (1)(2018 年河南南阳统考改编 ) 若实数 x ， y 满足 x 2 ＋ y 2 ＋ xy ＝1 ，则 x ＋ y 的取值范围是________. (2)已知 x ， y ∈ R 且满足 x 2 ＋2 xy ＋4 y 2 ＝6，则 z ＝ x 2 ＋4 y 2 的 取值范围为________. ∴ x 2 ＋4 y 2 ≥4(当且仅当 x ＝2 y 时取等号). 又∵( x ＋2 y ) 2 ＝6＋2 xy ≥0，即 2 xy ≥－6， ∴ z ＝ x 2 ＋4 y 2 ＝6－2 xy ≤12(当且仅当 x ＝－2 y 时取等号).综 上可知 4≤ x 2 ＋4 y 2 ≤12. 答案： [4,12] 【规律方法】 本题主要考查了均值不等式在求最值时的运 用 . 整体思想是思维点拨这类题目的突破口，即 x ＋ y 与 x 2 ＋ 4 y 2 分别是统一的整体，如何构造出只含 x ＋ y ( 构造 xy 亦可 ) 与 x 2 ＋ 4 y 2 ( 构造 x ·2 y 亦可 ) 形式的不等式是解本题的关键 . 【跟踪训练】 (2019 年广东珠海模拟 ) 已知 x >0， y >0， x ＋3 y ＋ xy ＝9，则 ) x ＋3 y 的最小值为( A.2 C.6 B.4 D.8 答案： C 数的最值时，要注意到合理拆分项或配凑因式，而拆与凑的过 程中，一要考虑定理使用的条件(两数都为正)；二要考虑必须 使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件(当且仅当 a ＝ b 时 取“＝”号)，即 “一正，二定，三相等”，在利用基本不等 式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符 号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的关键所在. 2.当用均值不等式求函数最值失效时，要转化为研究函数 的单调性，利用单调性求最值. 3.多次重复使用均值不等式求解时，在相加相乘时字母应 满足的条件及多次使用后等号成立的条件是否一致，若不一致， 则不等式中的等号不能成立.