高考数学模拟试卷3 (6) 16页

- 1 - 高考数学模拟训练题（第 42 套） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1．集合  | 2M x x   ，  2 1 0xN x   ，则  M C N R （ ） A． 0x x  B． | 2x x   C． | 2 0x x   D． | 2 0x x   2．若复数 i 1 i az   （i 为虚数单位， aR ）是纯虚数，则实数 a 的值是（ ） A． 1 B． 1 C． 1 2  D． 1 2 3．等差数列 na 前 n 项和为 nS ，若 4a ， 10a 是方程 2 8 1 0x x   的两根，则 13S （ ） A． 58 B． 54 C． 56 D． 52 4．已知两个单位向量 a 和 b 夹角为 60 ，则向量 a b 在向量a 方向上的投影为（ ） A． 1 B． 1 C． 1 2  D． 1 2 5．有 5名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相 邻，则不同的站法有（ ） A． 8 种 B． 16 种 C． 32种 D． 48 种 6．双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的一条渐近线与直线 2 1 0x y   平行，则它的离心率 为（ ） A． 5 B． 5 2 C． 3 D． 3 2 7．已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为 1，则该几何体的体积为 （ ） A． 64 4π B． 64 2π C． 64 3π D． 64 π 8．已知甲、乙、丙三人中，一人是军人，一人是工人，一人是农民．若乙的年龄比农民的年 - 2 - 龄大；丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则下列判断正确的是（ ） A．甲是军人，乙是工人，丙是农民 B．甲是农民，乙是军人，丙是工人 C．甲是农民，乙是工人，丙是军人 D．甲是工人，乙是农民，丙是军人 9．执行如图所示的程序框图，输出的 n 值为（ ） A． 6 B． 8 C． 2 D． 4 10．已知实数 x ， y 满足 3 0 2 0 0 x y x y x y           ，若  2 21z x y   ，则 z 的最小值为（ ） A． 1 B． 2 C． 2 D． 5 2 11．已知定义在 R 上的函数  f x 的导函数为  f x ，且     1f x f x  ，  1 0f  ，则 不等式   1e 11 0xf x    的解集是（ ） A． ,1 B． ,0 C．  0, D．  1, 12．已知抛物线 2 4x y 的焦点为 F ,双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的右焦点为  1 ,0F c ， 过点 F ， 1F 的直线与抛物线在第一象限的交点为 M ，且抛物线在点 M 处的切线与直线 3y x  垂直，则 ab 的最大值为（ ） A． 3 2 B． 3 2 C． 3 D．2 - 3 - 本 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13．计算定积分 2 1 1 dxx  __________． 14．一只蚊子在一个正方体容器中随机飞行，当蚊子在该正方体的内切球中飞行时属于安全 飞行，则这只蚊子安全飞行的概率是__________． 15．   8x y x y  的展开式中 2 7x y 的系数为__________（用数字作答）． 16．具有公共 y 轴的两个直角坐标平面  和  所成的二面角 y  轴  大小为 45，已知 在  内的曲线 C 的方程是 2 4 2y x ，曲线 'C 在平面  内射影的方程 2 2y px ，则 p 的 值是__________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12 分）如图，在圆内接四边形 ABCD 中， 8AB  ， 7BD  ， 5AD  ． （1）求 BCD 的大小； （2）求 BCD△ 面积的最大值． 18．（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 为正方形， PA  平面 ABCD ， PA AB ， M 是 PC 上一点，且 BM PC ． - 4 - （1）求证： PC 平面 MBD ； （2）求直线 PB 与平面 MBD 所成角的正弦值． 19．（12 分）针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中， 持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示： 支持 保留 不支持 50岁以下 8000 4000 2000 50岁以上（含 50岁） 1000 2000 3000 （1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取 n 个人，已知从持“不支持”态度的人中 抽取了 30人，求 n 的值； （2）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取 10 人看成一个总体，从这 10 人中任 意选取 3人，求 50岁以下人数  的分布列和期望； （3）在接受调查的人中，有 10 人给这项活动打出的分数如下：9.4，8.6 ，9.2，9.6，8.7 ， 9.3， 9.0， 8.2 ， 8.3 ， 9.7 ，把这 10 个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数， 求该数与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 概率． 20．（12 分）已知  2,0A  ，  2,0B ，点 C 是动点，且直线 AC 和直线 BC 的斜率之积为 3 4  ． （1）求动点C 的轨迹方程； （2）设直线 l 与（1）中轨迹相切于点 P ，与直线 4x  相交于点 Q ，判断以 PQ 为直径的 圆是否过 x 轴上一定点？ 21．（12 分）已知函数     2 2ln , 0xf x x a aa    R ． （1）讨论函数  f x 的单调性； - 5 - （2）若函数  f x 有两个零点 1x ， 2x  1 2x x ，且 2ea  ，证明： 1 2 2ex x  ． 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程是：  2 25 10x y   ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设过原点的直线 l 与曲线C 交于 A ， B 两点，且 2AB  ，求直线 l 的斜率． 23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】已知函数    3f x x x x   R ． （1）求  f x 的最大值 m ； （2）设 a ，b ， c R ，且 2 3 4a b c m   ，求证： 1 1 1 32 3 4a b c    ． - 6 - 高考数学模拟训练题答案（第 42 套） 1． 【答案】D 【解析】求解指数不等式可得：  0N x x  ，则：  | 0C N x x R ，    | 2 0M C N x x   R ，本题选择 D 选项． 2【答案】B 【解析】令  i i1 i az b b   R ，则：  i i 1 i ia b b b     ， 据此可得： 1 a b b      ， 1a b   ，本题选择 B 选项． 3．【答案】D 【解析】由韦达定理可得： 4 10 8a a  ， 4 10 1a a  ， 结合等差数列的性质可得： 1 13 4 10 8a a a a    ， 则：  1 13 13 13 13 8 522 2 a aS      ．本题选择 D 选项． 4．【答案】D 【解析】由题意可得： 1 a b ，且： 1cos60 2      a b a b ，   2 1 11 2 2        a a b a a b ， 则向量 a b 在向量 a 方向上的投影为：   1 12 1 2    a b a a ．本题选择 D 选项． 5． 【答案】B 【解析】首先将甲排在中间，乙、丙两位同学不能相邻，则两人必须站在甲的两侧， 选出一人排在左侧，有： 1 1 2 2C A 种方法， 另外一人排在右侧，有 1 2A 种方法， 余下两人排在余下的两个空，有 2 2A 种方法， 综上可得：不同的站法有 1 1 1 2 2 2 2 2C A A A 16 种．本题选择 B 选项． - 7 - 6．【答案】A 【解析】由双曲线的渐近线方程可得双曲线的渐近线方程为： by xa   ，其斜率为： b a  ， 其中一条渐近线与直线 2 1 0x y   平行，则： 2b a  ， 则双曲线的离心率： 2 1 1 4 5be a         ．本题选择 A 选项． 7． 【答案】B 【解析】由三视图可知该几何体是一个正方体挖去一个半圆柱形成的组合体， 其中正方体的棱长为 4 ，半圆柱的底面直径为 2 ，高为 4 ， 据此可得，几何体的体积为：  3 214 π 1 4 64 2π2       ．本题选择 B 选项． 8． 【答案】A 【解析】丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则甲丙均不是工人，故乙 是工人；乙的年龄比农民的年龄大，即工人的年龄比农民的年龄大，而工人的年龄比甲的年 龄小，故甲不是农民，则丙是农民；最后可确定甲是军人．本题选择 A 选项． 9． 【答案】B 【解析】程序流程图执行如下： 首先初始化数据： 0S  ， 1a  ， 1n  ，进入循环体执行循环： 第一次循环： 2S S a n    ，不满足 10S  ，执行： 1 2 2 aa   ， 2 2n n  ； 第二次循环： 14 2S S a n    ，不满足 10S  ，执行： 1 2 4 aa   ， 2 4n n  ； 第三次循环： 38 4S S a n    ，不满足 10S  ，执行： 1 2 8 aa   ， 2 8n n  ； 第四次循环： 716 8S S a n    ，满足 10S  ， 此时跳出循环，输出 8n  ．本题选择 B 选项． 10【答案】C 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数的几何意义为可行域内的点与点  1,0 之间距离的平方， 如图所示数形结合可得，当目标函数过点  2,1P 时取得最小值， 最小值为：    2 22 2 min 1 2 1 1 2z x y       ．本题选择 C 选项． - 8 - 11．【答案】A 【解析】令    1 1e e 1x xg x f x    ，则：       1e 1xg x f x f x    ， 由题意可知：   0g x  ，则函数  g x 在 R 上单调递增， 且  1 1 0 1 1 0g      ，不等式   1e 11 0xf x    即  1 1e 1e 0x xf x    ， 即：    1g x g ，结合函数的单调性可得不等式的解集为： 1x  ， 表示为区间形式即为 ,1 ．本题选择 A 选项． 12【答案】B 【解析】由题可知抛物线 2 4x y 的焦点为  0,1F ， 1 1 0 1 0FFk c c     ，过 F ， 1F 的直线方程为  1 11 0 1y x y xc c         ， 联立方程组 2 2 1 1 4 4 4 y x x xc cx y          2 4 4 0cx x c    ， 22 2 1 cx c     ， 由题可知， 2 1 2 2 1 cx c    ， 2 2 2 2 1 cx c    （舍去）， 又由 2 14 ' 2x y y x   ，因此  22 2 11 2 c k c      21 1 c c    ， 又由题可知  21 1 3 1 3c cc          ，即得 2 2 3a b  ， 又 2 2 32 3 2 2a b ab ab ab      ，当且仅当 6 2a b  时取等号，即 max 3 2ab  ，故 选 B． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13．【答案】 ln2 - 9 - 【解析】由题意结合微积分基本定理可得：  2 2 11 1 ln ln 2dx xx   ．故答案为： ln2 ． 14．【答案】 π 6 【解析】设正方体的棱长为 2a ，其体积  2 3 1 2 8V a a  ， 内切球直径为 2a ，其体积： 3 3 2 4 4π π3 3V R a  ， 利用几何概型公式结合题意可得这只蚊子安全飞行的概率是： 2 1 π 6 Vp V   ． 15．【答案】 20 【解析】 8x y 展开式的通项公式为：    8 8 1 8 8CC 1r rr r r r r rT x y x y       ， 令 7r  ，则展开项为： 7 7 8 7 7 7 8C1 8x y xy   ， 令 6r  ，则展开项为： 6 6 8 6 6 2 6 81 2C 8x y x y  ， 据此可得展开式中 2 7x y 的系数为 8 28 20   ． 16． 【答案】 2 【解析】结合题中所给的示意图可知：曲线 'C 的方程是 2 4 2y x ，则 2OF  ， 作 F  平面 于点 F ，由于平面 和  所成的二面角 y  轴  大小为 45， 故 2cos45 1OF   ，即曲线C 在平面 内射影所形成的抛物线的焦距为1， 故 2 1 2p    ．故答案为：2． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．【答案】（1）120 ；（2） 49 3 12 ． 【解析】（1）在 ABD△ 中，由余弦定理得 2 2 2 cos 2 AB AD BDBAD AB AD     2 2 28 5 7 1 2 8 5 2     ， 解得 60BAD   ，注意到 180BAD BCD     ，可得 120BCD  ． （2）法 1：在 BCD△ 中，由余弦定理得 2 2 2 2 cosBD BC DC BC DC BCD     ， - 10 - 即 2 2 27 2 cos120BC DC BC DC     2 2BC DC BC DC    ， ∵ 2 2 2BC DC BC DC   ，∴3 49BC DC  ，即 49 3BC DC  ． ∴ 1 1 3 49 3sin sin1202 2 4 12BCDS BD DC BCD BC DC BC DC            ． 当且仅当 BC CD ， BCD△ 为等腰三角形时等号成立，即 BCD△ 面积的最大值为 49 3 12 ． 法 2：如图，当 C 为弧 BCD 中点时， BD 上的高最大，此时 BCD△ 是等腰三角形，易得 30CBD CDB     ，作 BD 上的高 CE ， 在 Rt BCE△ 中，由 30B   ， 7 2BE  ，得 7 2 3 CE  ， 可得 7 7 49 3 2 122 3BCDS BE CE    △ ，综上知，即 BCD△ 面积的最大值为 49 3 12 ． 18． 【答案】（1）证明见解析；（2） 6 3 ． 【解析】（1）连接 AC ，由 PA  平面 ABCD ， BD  平面 ABCD 得 BD PA ， 又 BD AC ， PA AC A ，∴ BD  平面 PAC ，得 PC BD ， 又 PC BM ， BD BC B ，∴ PC  平面 MBD ． （2）法 1：由（1）知 PC  平面 MBD ，即 PBM 是直线 PB 与平面 MBD 所成角，易证 PB BC ，而 BM PC ， 不妨设 1PA  ，则 1BC  ， 3PC  ， 2PB  ， - 11 - 在 Rt PBC△ 中，由射影定理得 2 2: : 2:1PM MC PB BC  ， 可得 2 2 3 3 3PM PC  ，所以 6sin 3 PMPBM PB    ， 故直线 PB 与平面 MBD 所成角的正弦值为 6 3 ． 法 2：取 A 为原点，直线 AB ， AD ， AP 分别为 x ， y ， z 轴，建立坐标系 A xyz ，不妨 设 1PA AB  ，则 0,0,1)P（ ，  1,0,0B ，  1,1,0C ， 由（1）知平面 MBD 得法向量  1,1, 1PC   ，而  1,0, 1PB   ， ∴    1,0, 1 1,1, 1 6cos , 32 3 PB PC         ， 故直线 PB 与平面 MBD 所成角的正弦值为 6 3 ． 19． 【答案】（1）120；（2）分布列见解析，1.2；（3） 3 10 ． 【解析】（1）参与调查的总人数为8000 4000 2000 1000 2000 3000 20000      ， 其中从持“不支持”态度的人数 2000 3000 5000  中抽取了30人， 所以 3020000 1205000n    ． （2）在持“不支持”态度的人中，50岁以下及50岁以上人数之比为 2:3，因此抽取的10人中， 50岁以下与 50岁以上人数分别为 4 人和 6 人， 0  ，1，2，3，   3 6 3 10 10 6 Cp C     ，   1 2 4 6 3 10 11 2 C Cp C     ，   2 1 4 6 3 10 32 10 C Cp C     ，   3 4 3 10 13 30 Cp C     ， - 12 -  0 1 2 3 p 1 6 1 2 3 10 1 30 1 1 3 10 1 2 3 1.26 2 10 30E          ． （3）总体的平均数为  1 9.4 8.6 9.2 9.6 8.7 9.3 9.0 8.2 8.3 9.7 910x            ， 那么与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的数有8.2 ，8.3 ，9.7 ，所以任取1个数与总体平均 数之差的绝对值超过 0.6 的概率为 3 10 ． 20． 【答案】（1）   2 2 1 04 3 x y y   ；（2）  1,0 ． 【解析】（1）设  ,C x y ，则依题意得 3 4AC BCk k   ，又  2,0A  ，  2,0B ，所以有  3 02 2 4 y y yx x      ，整理得   2 2 1 04 3 x y y   ，即为所求轨迹方程． （2）法 1：设直线l ： y kx m  ，与 2 23 4 12x y  联立得  223 4 12x kx m   ，即 2 2 23 4 8 4 12 0k x kmx m     ， 依题意     2 2 28 4 3 4 4 12 0km k m      ，即 2 23 4k m  ， ∴ 1 2 2 8 3 4 kmx x k    ，得 1 2 2 4 3 4 kmx x k    ， ∴ 2 2 4 3,3 4 3 4 km mP k k       ，而 2 23 4k m  ，得 4 3,kP m m      ，又  4,4Q k m ， 设  ,0R t 为以 PQ 为直径的圆上一点，则由 0RP RQ   ， 得  4 3, 4 ,4 0k t t k mm m          ，整理得   24 1 4 3 0k t t tm      ， 由 k m 的任意性得 1 0t   且 2 4 3 0t t   ，解得 1t  ， 综上知，以 PQ 为直径的圆过 x 轴上一定点  1,0 ． 法 2：设  0 0,P x y ，则曲线C 在点 P 处切线 PQ ： 0 0 14 3 x x y y  ，令 4x  ，得 - 13 - 0 0 3 34, xQ y       ，设  ,0R t ，则由 0RP RQ   得    0 04 3 3 0x t t x      ，即  2 01 4 3 0t x t t     ， 由 0x 的任意性得1 0t  且 2 4 3 0t t   ，解得 1t  ， 综上知，以 PQ 为直径的圆过 x 轴上一定点  1,0 ． 21．【答案】（1）当 0a  时，知  f x 在  0, 上递减；当 0a  时，  f x 在 0, a 上递 减，在 ,a  上递增；（2）证明见解析． 【解析】（1）   2 2' xf x a x   ， 0x  ， 当 0a  时，  ' 0f x  ，知  f x 在 0, 上是递减的； 当 0a  时，     2 ' x a x a f x ax    ， 知  f x 在 0, a 上是递减的，在 ,a  上递增的． （2）由（1）知， 0a  ，    min 1 lnf x f a a   ， 依题意1 ln 0a  ，即 ea  ， 由 2ea  得，     2 2 2lne 0xf x x x   ，  1 0,ex  ，  2 e,x   ， 由  2e 2 2ln 2 0f    及  2 0f x  得， 2 2ex  ，即  2 e,2ex  ， 欲证 1 2 2ex x  ，只要 1 22ex x  ， 注意到  f x 在 0,e 上是递减的，且  1 0f x  ， 只要证明  22e 0f x  即可， 由   2 2 2 22 2lne 0xf x x   得 2 2 2 22e lnx x ， 所以         2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2e 4e 4e2e 2ln 2e 2lne e 2ex x xf x x x          - 14 -     2 2 2 2 2 2 2 22 4e 4e 2e ln 42ln 2e 4 2ln 2ln 2ee e x x xx x x         ，  2 e,2ex  ， 令    44 2ln 2ln 2e etg t t t     ，  e,2et  ， 则       24 e4 2 2' 02e e 2ee tg t t t t t        ， 知  g t 在  e,2e 上 是 递 增 的 ， 于 是     0eg t g  ，即  22e 0f x  ，综上， 1 2 2ex x  ． 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22． 【答案】（1） 2 10 cos 15 0     ；（2） 3 4k   ． 【解析】（1）曲线 C ： 2 25 10x y   ，即 2 2 10 15 0x y x    ， 将 2 2 2x y   ， cosx   代入得，曲线C 的极坐标方程为 2 10 cos 15 0     ． （2）法 1：由圆的弦长公式 2 22 2r d  及 2 10r  ，得圆心  5,0C 到直线l 距离 3d  ， 如图，在 Rt OCD△ 中，易得 3tan 4DOC  ，可知直线l 的斜率为 3 4  ． 法 2：设直线l ： cos sin x t y t        （t 为参数），代入 2 25 10x y   中得    2 2cos 5 sin 10t t    ，整理得 2 10 cos 15 0t t    ， 由 2AB  得 1 2 2t t  ，即  210cos 4 15 2    ， 解得 4cos 5    ，从而得直线l 的斜率为 3tan 4    ． - 15 - 法 3：设直线l ： y kx ，代入 2 25 10x y   中得    2 25 10x kx   ，即  2 21 10 15 0k x x    ， 由 2AB  得 2 1 21 2k x x   ，即  2 2 2 2 10 60 1 1 21 k k k     ， 解得直线l 的斜率为 3 4k   ． 法 4：设直线l ： y kx ，则圆心  5,0C 到直线l 的距离为 2 5 1 kd k   ， 由圆的弦长公式 2 22 2r d  及 2 10r  ，得圆心  5,0C 到直线l 距离 3d  ， 所以 2 5 3 1 k k   ，解得直线l 的斜率为 3 4k   ． 23．【答案】（1） 3m  ；（2）证明见解析． 【解析】（1）法 1：由   3, 0 2 3,0 3 3, 3 x f x x x x         知    3,3f x   ，即 3m  ． 法 2：由三角不等式   3 3 3f x x x x x       得，即 3m  ． 法 3：由绝对值不等式的几何意义知     3 3,3f x x x x     R ，即 3m  ． （2）法 1：∵  2 3 4 3 , , 0a b c a b c    ， ∴  1 1 1 1 1 1 12 3 42 3 4 3 2 3 4a b ca b c a b c           1 2 3 2 4 3 43 33 3 2 4 2 4 3 a b a c b c b a c a c b                           ． 当且仅当 2 3 4a b c  ，即 1 2a  ， 1 3b  ， 1 4c  时取等号，即 1 1 1 32 3 4a b c    ． 法 2：∵  2 3 4 3 , , 0a b c a b c    ， ∴由柯西不等式得 1 1 1 1 1 13 2 3 4 2 3 4 2 3 42 3 4 a b c a b c a b ca b c             ， - 16 - 整理得 1 1 1 32 3 4a b c    ，当且仅当 2 3 4a b c  ，即 1 2a  ， 1 3b  ， 1 4c  时取等号．