高中数学必修1教案：第四章（第17课时）两角和差的正弦余弦正切（6） 6页

课 题：46两角和与差的正弦、余弦、正切（6）‎ 教学目的：‎ 进一步熟悉有关技巧，继续提高学生综合应用能力 教学重点：两角和与差的余弦、正弦、正切公式 教学难点：灵活应用和、差角公式进行化简、求值、证明 ‎ 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎1．两角和与差的正、余弦公式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二、讲解范例： ‎ 例1 若tana=3x，tanb=3-x, 且a-b=，求x的值 ‎ 解：tan(a-b)=tan= ∵tana=3x，tanb=3-x ‎∴‎ ‎∴3•3x-3•3-x=2 即：‎ ‎∴(舍去) ∴‎ 例2 已知锐角a, b, g 满足sina+sing=sinb, cosa-cosg=cosb, 求a-b的值 ‎ 解： ∵sina+sing=sinb ∴sina -sinb = -sing <0 ①‎ ‎ ∴sina 0，xÎ[0,]时，‎ ‎-5≤f (x)≤1，设g(t)=at2+bt-3，tÎ[-1,0]，求g(t)的最小值 ‎ 解： f (x)=-acos2x-asin2x+2a+b=-2a[sin2x+cos2x]+2a+b ‎ =-2asin(2x+)+2a+b ‎ ∵xÎ[0,] ∴ ‎ ‎∴‎ ‎ 又 a>0 ∴-2a<0 ∴‎ ‎ ∴ ‎ ‎∴‎ ‎ ∵-5≤f (x)≤1 ∴‎ ‎ ∴g(t)=at2+bt-3=2t2-5t-3=2(t-)2- ‎ ‎∵tÎ[-1,0]‎ ‎ ∴当t=0时，g(t)min=g(0)=-3‎ 三、课堂练习：‎ ‎1 在△ABC中，ÐC>90°，则tanAtanB与1的关系适合………………（B）‎ ‎(A) tanAtanB>1 (B) tanAtanB>1 (C) tanAtanB =1 (D)不确定 解：在△ABC中 ∵ÐC>90° ∴A, B为锐角 即tanA>0, tanB>0‎ 又tanC<0 于是：tanC = -tan(A+B) = <0‎ ‎∴1 - tanAtanB>0 即：tanAtanB<1‎ ‎ 又解：在△ABC中 ∵ÐC>90° ∴C必在以AB为直径的⊙O内（如图）‎ A C D h h'‎ C’‎ ‎ 过C作CD^AB于D，DC交⊙O于C’，‎ ‎ 设CD = h，C’D = h’，AD = p，BD = q，‎ ‎ p ‎ q B ‎ 则tanAtanB ‎ ‎2．设a，bÎ(,)，tana、tanb是一元二次方程的两个根，求 a + b 解：由韦达定理：‎ ‎∴‎ 又由a，bÎ(,)且tana，tanb < 0 (∵tana+tanb<0, tanatanb >0)‎ 得a + bÎ (-p, 0) ∴a + b = ‎ 四、小结 有关解题技巧：化弦、辅助角、角变换、公式逆用、正余弦和积互换 五、课后作业：‎ ‎1求证： ‎ 证明：左边＝＝右边 或：右边＝tan（x－）‎ ‎＝＝左边 ‎2若0＜α＜β＜，sinα＋cosα＝，sinβ＋cosβ＝b，则 Aab＜1 Ba＞b Ca＜b Ｄab＞2 解：sinα＋cosα＝sin（α＋）＝a sinβ＋cosβ＝sin（β＋）＝b 又∵0＜α＜β＜‎ ‎∴0＜α＋＜β＋＜‎ ‎∴sin（α＋）＜sin（β＋） ‎∴＜b 答案：C 六、板书设计（略）‎ 七、课后记：‎ ‎1tan2A·tan（30°－A）＋tan2Atan（60°－A）＋tan（30°－A）tan（60°－A）＝  解：原式＝tan2A［tan（30°－A）＋tan（60°－A）］＋［tan(30°－A)tan（60°－A）］‎ ‎＝tan2Atan［（30°－A）＋（60°－A）］［1－tan（30°－A）tan（60°－A）］＋［tan（30°－A）tan（60°－A）］‎ ‎＝tan2Atan（90°－2A）［1－tan（30°－A）tan（60°－A）］＋［tan（30°－A）tan（60°－A）］‎ ‎＝tan2A·cot2A［1－tan(30°－A）tan(60°－A）］＋［tan(30°－A）tan（60°－A）］＝1‎ 先仔细观察式子中所出现的角，灵活应用公式进行变形，然后化简、求值 ‎2已知tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的两个根,求sin2（α＋β）－3sin（α＋β）cos（α＋β）－3cos2（α＋β）的值 解：由题意知 ‎∴‎ sin2（α＋β）－3sin（α＋β）cos（α＋β）－3cos2（α＋β）‎ ‎＝cos2（α＋β）［tan2（α＋β）－3tan（α＋β）－3］‎ ‎＝［tan2（α＋β）－3tan（α＋β）－3］‎ ‎＝‎ ‎3已知α、β为锐角，cosα＝，tan（α－β）＝－，求Cosβ的值 ‎ 解：由α为锐角，cosα＝，∴sinα＝ 由α、β为锐角，又tan（α－β）＝－‎ ‎∴cos（α－β）＝‎ sin（α－β）＝－‎ ‎∴cosβ＝cos［α－（α－β）］＝cosα·cos（α－β）＋sinα·sin（α－β） ‎＝ ‎