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- 2021-06-30 发布
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三 反证法与放缩法
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数( )
A．两个都是偶数
B．一个是奇数，一个是偶数
C．至少一个是偶数
D．恰有一个是偶数
解析：假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少一个为偶数．
答案：C
2．设x>0，y>0，A＝，B＝＋，则A与B的大小关系为( )
A．A≥B B．A≤B
C．A>B D．A1 D．M与1大小关系不定
解析：M是210项求和，M＝＋＋＋…＋<＋＋＋…＋＝1，故选B.
答案：B
5
5．若f(x)＝x，a，b都为正数，A＝f，G＝f()， H＝f，则( )
A．A≤G≤H B．A≤H≤G
C．G≤H≤A D．H≤G≤A
解析：∵a，b为正数，∴≥＝≥＝，
又∵f(x)＝x为单调减函数，
∴f≤f()≤f，
∴A≤G≤H.
答案：A
6．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求证：
|f(x1)－f(x2)|<.那么它的假设应该是________．
答案：|f(x1)－f(x2)|≥
7．已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是________．
解析：m＝≤＝1，
n＝≥＝1.
答案：m≤n
8．设a>0，b>0，M＝，N＝＋，则M与N的大小关系是________．
解析：∵a>0，b>0，
∴N＝＋>＋＝＝M.
∴M1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
证明：假设a，b，c，d都是非负数．
由a＋b＝c＋d＝1知：a，b，c，d∈[0,1]．
从而ac≤≤，bd≤≤.
5
∴ac＋bd≤＝1.即ac＋bd≤1.与已知ac＋bd>1矛盾，∴a，b，c，d中至少有一个是负数．
10．求证：1＋＋＋＋…＋<3(n∈N＋)．
证明：由<＝(k是大于2的自然数)，
得1＋＋＋＋…＋<1＋1＋＋＋＋…＋＝
1＋＝3－<3.
∴原不等式成立．
[B组 能力提升]
1．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)．试证：数列{xn}或者对任意正整数n都满足xnxn＋1.当此题用反证法否定结论时，应为( )
A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1
B．存在正整数n，使xn＝xn＋1
C．存在正整数n，使xn≥xn－1且xn≥xn＋1
D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0
解析：“xnxn＋1”的对立面是“xn＝xn＋1”，“任意一个”的反面是“存在某一个”．
答案：B
2．若α∈，M＝|sin α|，N＝|cos α|，P＝|sin α＋cos α|，
Q＝ ，则它们之间的大小关系为( )
A．M>N>P>Q B．M>P>N>Q
C．M>P>Q>N D．N>P>Q>M
解析：∵α∈(π，π)，∴0>sin α>cos α.
∴|sin α|<|cos α|，
∴P＝|sin α＋cos α|＝(|sin α|＋|cos α|)
5
>(|sin α|＋|sin α|)＝|sin α|＝M.
P＝|sin α|＋|cos α|
< (|cos α|＋|cos α|)＝|cos α|＝N.
∴N>P>M.
对于Q＝ ＝ <＝P.
而Q＝> ＝|sin α|＝M.
∴N>P>Q>M.
答案：D
3．用反证法证明“已知平面上有n(n≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d，距离为d的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n条”时，假设的内容为________．
解析：对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n＋1条”．
答案：直径的数目至少为n＋1条
4．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少有一个值c，使f(c)>0, 则实数p的取值范围是________．
解析：假设在 [－1,1]内没有值满足f(c)>0，
则所以
所以p≤－3或p≥，取补集为p∈.
故实数p的取值范围是.
答案：
5．已知01且y(2－z)>1且z(2－x)>1均成立，
则三式相乘有：xyz(2－x)(2－y)(2－z)>1.
①
由于01且y(2－z)>1且z(2－x)>1.
∴＋＋>3.
③
又＋＋≤＋＋＝3④
④与③矛盾，故假设不成立．
∴原题设结论成立．
6．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝22·an(n∈N＋)，
(1)求a2，a3并求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝，求证：c1＋c2＋c3＋…＋cn<.
解析：(1)∵a1＝2，an＋1＝2(1＋)2·an(n∈N＋)，
∴a2＝2(1＋)2·a1＝16，a3＝2(1＋)2·a2＝72.
又∵＝2·，n∈N＋，
∴{}为等比数列．
∴＝·2n－1＝2n，
∴an＝n2·2n.
(2)证明：cn＝＝，
∴c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝＋＋＋…＋<＋＋＋·(＋＋…＋)
＝＋·<＋·＝＋
＝＝<＝，所以结论成立．
5
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