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  • 2021-06-30 发布

【2020年高考数学预测题、估测题】天津市试卷(理工类)3【附详细答案和解析_可编辑】

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‎【2020年高考数学预测题、估测题】天津市试卷(理工类)3【附详细答案和解析 可编辑】‎ 真水无香陈 tougao33‎ 学校:__________ 班级:__________ 姓名:__________ 考号:__________‎ ‎ 一、 选择题 (本题共计 9 小题 ,每题 5 分 ,共计45分 , ) ‎ ‎ ‎ ‎1. 已知R是实数集,集合A={-1,0,1},B={x|2x-1≥0}‎,则A∩(‎∁‎RB)=‎(        ) ‎ A.‎{-1,0}‎ B.‎{1}‎ C.‎[‎1‎‎2‎,1]‎ D.‎‎(-∞,‎1‎‎2‎)‎ ‎ ‎ ‎2. 设变量x,y满足约束条件x+2≥0,‎x-y+3≥0,‎‎2x+y-3≤0,‎则目标函数z=x+6y的最大值为‎(                )‎ ‎ A.‎3‎ B.‎4‎ C.‎18‎ D.‎‎40‎ ‎ ‎ ‎3. 设a‎→‎,b‎→‎是非零向量,则“‎|a‎→‎+b‎→‎|‎=‎|a‎→‎|-|b‎→‎|‎”是“a‎→‎‎ // ‎b‎→‎”的( ) ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎ ‎4. 执行如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的a的值为(        ) ‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎1‎‎3‎ D.‎‎-2‎ ‎ ‎ ‎5. 过抛物线y‎2‎‎=2px(p>0)‎的焦点F作倾斜角为‎60‎‎∘‎的直线l,若直线l与抛物线在第一象限的交点为A,并且点A也在双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0, b>0)‎的一条渐近线上,则双曲线的离心率为‎(‎        ‎)‎ ‎ A.‎13‎ B.‎21‎‎3‎ C.‎2‎‎3‎‎3‎ D.‎‎5‎ ‎ ‎ ‎6. 若a=‎2‎‎1.1‎,b=‎1‎‎2‎‎-0.9‎,c=log‎5‎ 4‎,则a,b,c的大小关系为(        ) ‎ A.c>b>a B.a>c>b C.a>b>c D.‎c>a>b ‎ ‎ ‎7. 关于函数fx=sin|x|+|sinx|‎有下述四个结论: ①fx是偶函数 ②fx在区间π‎2‎‎,π单调递增 ③fx在‎[-π,π]‎有‎4‎个零点 ④fx的最大值为‎2‎,正确的为(        ) ‎ A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③‎ ‎ ‎ ‎8. 已知函数f(x)=xlnx+ax+3,g(x)=x‎3‎-‎x‎2‎,若 ‎∀x‎1‎,x‎2‎∈[‎1‎‎3‎,2]‎,f(x‎1‎)-g(x‎2‎)≥0‎,则实数a的取值范围为(        ) ‎ A.‎[0, +∞)‎ B.‎[1, +∞)‎ C.‎[2, +∞)‎ D.‎‎[3, +∞)‎ ‎ ‎ ‎9. 已知O是平面内一点,A、B、C是平面内不共线的三点,,动点P满足OP‎→‎‎=OA‎→‎+λAB‎→‎‎|AB‎→‎|‎‎+‎AC‎→‎‎|AC‎→‎|‎(λ∈[0,+∞))‎,则点P的轨迹一定通过‎△ABC的(        ) ‎ A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 ‎ 二、 填空题 (本题共计 5 小题 ,每题 5 分 ,共计25分 , ) ‎ ‎ ‎ ‎10. 已知复数玄满足‎|z+2-2i|=1‎,则z-2-2i的最小值为________(i是虚数单位). ‎ ‎ ‎ ‎11. 多项式‎3xy‎2‎-4x‎3‎y+12‎的项________次数是________,三次项系数是________. ‎ ‎ ‎ ‎12. 若三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎的体积为‎12‎,点P为棱AA‎1‎上一点,则四棱锥P-BCC‎1‎B‎1‎的体积为________. ‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎ ‎ ‎13. 直线(t为参数)被圆(θ为参数)所截得的弦长为________. ‎ ‎ ‎ ‎14. 函数 f(x)=x‎2‎+‎1‎x‎2‎‎-1‎(x>1)‎ 的最小值为________. ‎ ‎ 三、 解答题 (本题共计 6 小题 ,每题 13 分 ,共计78分 , ) ‎ ‎ ‎ ‎15. 在‎△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5‎,c=6‎,sinB=‎‎3‎‎5‎. ‎ ‎(1)‎求b和sinA的值;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎求sin(2A+π‎4‎)‎的值.‎ ‎ ‎ ‎16. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,假设每局比赛中,甲胜乙的概率为‎1‎‎2‎,甲胜丙、乙胜丙的概率都为‎2‎‎3‎,各局比赛的结果都相互独立,第‎1‎局甲当裁判. ‎ ‎(1)‎求第‎3‎局甲当裁判的概率;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎记前‎4‎局中乙当裁判的次数为X,求X的概率分布与数学期望.‎ ‎ ‎ ‎17. 如图,在直四棱柱ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中,底面ABCD为等腰梯形,AB // CD,AB=4‎,AA‎1‎=2‎,BC=CD=2‎,E,F,E‎1‎是AA‎1‎,AB,AD的中点. ‎ ‎(1)‎证明:直线EE‎1‎ // ‎平面FCC‎1‎;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎求直线BF与面FC‎1‎C所成角的大小;‎ ‎ ‎ ‎(3)‎求二面角B-FC‎1‎-C的平面角的余弦值.‎ ‎ ‎ ‎18. 已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的离心率为‎1‎‎2‎,以原点O为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+‎6‎=0‎相切. ‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎ ‎ ‎(2)若直线L:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点,且kOA‎⋅kOB=-‎b‎2‎a‎2‎,求证:‎△AOB的面积为定值.‎ ‎ ‎ ‎19. 设公差不为‎0‎的等差数列‎{an}‎的首项为‎1‎,且a‎2‎,a‎5‎,a‎14‎构成等比数列. ‎ ‎(1)求数列‎{an}‎的通项公式;‎ ‎ ‎ ‎(2)若数列‎{bn}‎满足b‎1‎a‎1‎‎+b‎2‎a‎2‎+…+bnan=1-‎‎1‎‎2‎n,n∈‎N‎*‎,求‎{bn}‎的前n项和Tn.‎ ‎ ‎ ‎20. 已知函数 f(x)=ex-lnx-(a-1)x(其中e为自然对数的底数). ‎ ‎(1)‎若 a=e,求f(x)‎ 的单调区间; ‎ ‎ ‎ ‎(2)‎若 a=1‎ ,求证: f(x)>‎3‎‎2‎+ln‎3‎‎2‎.‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 参考答案与试题解析 ‎【2020年高考数学预测题、估测题】天津市试卷(理工类)3【附详细答案和解析 可编辑】‎ 一、 选择题 (本题共计 9 小题 ,每题 5 分 ,共计45分 ) ‎ ‎1.【答案】‎ A ‎【解答】‎ 解:∵ B={x|x≥‎1‎‎2‎}‎, ∴ ‎∁‎RB={x|x<‎1‎‎2‎}‎,A={-1,0,1}‎, ∴ A∩(‎∁‎RB)={-1,0}‎. 故选A.‎ ‎2.【答案】‎ C ‎【解答】‎ 解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分) 由z=x+6y得y=-‎1‎‎6‎x+‎1‎‎6‎z, 平移直线y=-‎1‎‎6‎x+‎1‎‎6‎z, 由图象可知当直线y=-‎1‎‎6‎x+‎1‎‎6‎z经过点A时,直线y=-‎1‎‎6‎x+‎1‎‎6‎z的截距最大, 此时z最大. 由x-y+3=0,‎‎2x+y-3=0,‎解得x=0,‎y=3,‎即A(0,3)‎. 将A(0,3)‎的坐标代入目标函数z=x+6y, 得z=3×6=18‎. 即z=x+6y的最大值为‎18‎. 故选C.‎ ‎3.【答案】‎ A ‎【解答】‎ 由‎|a‎→‎+b‎→‎|‎=‎|a‎→‎|-|b‎→‎|‎,可得a‎→‎与b‎→‎共线反向, 由a‎→‎‎ // ‎b‎→‎,可得‎|a‎→‎+b‎→‎|‎=‎|a‎→‎|-|b‎→‎|‎或‎|a‎→‎+b‎→‎|‎=‎|a‎→‎|+|b‎→‎|‎, ∴ “‎|a‎→‎+b‎→‎|‎=‎|a‎→‎|-|b‎→‎|‎”是“a‎→‎‎ // ‎b‎→‎”的充分而不必要条件.‎ ‎4.【答案】‎ C ‎【解答】‎ 解:当a=-2‎,n=1‎时, 则:a=1-‎1‎‎-2‎=‎‎3‎‎2‎, 当n=2‎时, 则:a=1-‎2‎‎3‎=‎‎1‎‎3‎, 当n=3‎时, 则:a=1-3=-2‎, 故关系式的周期为‎3‎, 又‎2018=3×672+2‎, 故输出a=‎‎1‎‎3‎. 故选C.‎ ‎5.【答案】‎ B ‎【解答】‎ 解:如图, ‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎ 设A(x‎0‎,y‎0‎)‎,则‎|AF|=2‎x‎0‎‎-‎p‎2‎. 又∵ ‎|AF|=x‎0‎+‎p‎2‎, ∴ ‎2x‎0‎‎-‎p‎2‎=x‎0‎+‎p‎2‎, 解得x‎0‎‎=‎3‎‎2‎p,y‎0‎‎=‎3‎‎2‎|AF|=‎3‎‎2‎⋅2p=‎3‎p. 又∵ A‎3‎‎2‎p,‎3‎p在双曲线的一条渐近线上, ∴ ‎3‎p=ba⋅‎3‎‎2‎p,∴ b‎2‎‎=‎‎4‎‎3‎a‎2‎, 由a‎2‎‎+b‎2‎=‎c‎2‎,得a‎2‎‎+‎4‎‎3‎a‎2‎=‎c‎2‎,∴ c‎2‎a‎2‎‎=‎‎7‎‎3‎, ∴ 双曲线的离心率e=ca=‎‎21‎‎3‎. 故选B.‎ ‎6.【答案】‎ C ‎【解答】‎ 解:b=‎1‎‎2‎‎-0.9‎=‎‎2‎‎0.9‎,‎2‎‎0‎‎<‎2‎‎0.9‎<‎‎2‎‎1‎, 所以‎12‎. 所以a>b>c. 故选C.‎ ‎7.【答案】‎ C ‎【解答】‎ ‎∵ x∈R,f‎-x=sin|-x|+|sin‎-x|=sin|x|+|sinx|=fx,∴ fx为偶函数,①正确;当x∈‎π‎2‎‎,π时,fx=sin|x|+|sinx|=2sinx,在区间‎-π‎2‎,π上单调递减,故②错误;当x∈(0,π]‎时,fx=2sinx,结合fx为偶函数可画出其大致图象,可知fx在‎[-π,π]上有‎3‎个零点,故③错误;根据函数fx的图象可得fx的最大值为‎2‎,故④正确.故选C. ‎ ‎8.【答案】‎ B ‎【解答】‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 解:函数g(x)‎的导数g'(x)=3x‎2‎-2x=x(3x-2)‎, ∴ 函数g(x)‎在‎[‎1‎‎3‎, ‎2‎‎3‎]‎上递减,则‎[‎2‎‎3‎, 2]‎上递增, g(‎1‎‎3‎)=‎1‎‎27‎-‎1‎‎9‎=-‎‎2‎‎27‎,g(2)=8-4=4‎, 若‎∀x‎1‎,x‎2‎∈[‎1‎‎3‎,2]‎,f(x‎1‎)-g(x‎2‎)≥0‎成立, 即当‎1‎‎3‎‎≤x≤2‎时,f(x)≥4‎恒成立, 即ax‎+xlnx≥1‎恒成立, 即a≥x-x‎2‎lnx在‎1‎‎3‎‎≤x≤2‎上恒成立, 令h(x)=x-x‎2‎lnx, 则h'(x)=1-2xlnx-x,h''(x)=-3-2lnx, 当‎1‎‎3‎‎≤x≤2‎时,h''(x)=-3-2lnx<0‎, 即h'(x)=1-2xlnx-x在‎1‎‎3‎‎≤x≤2‎上单调递减, 由于h'(1)=0‎, ∴ 当‎1‎‎3‎‎≤x<1‎时,h'(x)>0‎,h(x)‎单调递增, 当‎11‎,所以x‎2‎‎-1>0‎, f(x)=x‎2‎+‎‎1‎x‎2‎‎-1‎  ‎=x‎2‎-1+‎1‎x‎2‎‎-1‎+1 ‎‎≥2+1=3‎, 当且仅当x‎2‎‎-1=‎‎1‎x‎2‎‎-1‎,即x=‎‎2‎时等号成立. 故答案为:‎3‎.‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 三、 解答题 (本题共计 6 小题 ,每题 13 分 ,共计78分 ) ‎ ‎15.【答案】‎ 解:‎(1)‎在‎△ABC中,因为a>b, 故由sinB=‎‎3‎‎5‎,可得cosB=‎‎4‎‎5‎. 由已知及余弦定理, 得b‎2‎‎=a‎2‎+c‎2‎-2accosB=13.‎ 所以b=‎‎13‎. 由正弦定理asinA‎=‎bsinB, 得sinA=asinBb=‎‎3‎‎13‎‎13‎.‎ ‎(2)‎由‎(1)‎及ab, 故由sinB=‎‎3‎‎5‎,可得cosB=‎‎4‎‎5‎. 由已知及余弦定理, 得b‎2‎‎=a‎2‎+c‎2‎-2accosB=13.‎ 所以b=‎‎13‎. 由正弦定理asinA‎=‎bsinB, 得sinA=asinBb=‎‎3‎‎13‎‎13‎.‎ ‎(2)‎由‎(1)‎及a0‎,得‎4k‎2‎-m‎2‎+3>0‎. y‎1‎y‎2‎‎=(kx‎1‎+m)(kx‎2‎+m)=k‎2‎x‎1‎x‎2‎+km(x‎1‎+x‎2‎)+m‎2‎ ‎‎=k‎2‎⋅‎4m‎2‎-12‎‎3+4‎k‎2‎+km⋅(-‎8km‎3+4‎k‎2‎)+m‎2‎=‎‎3m‎2‎-12‎k‎2‎‎3+4‎k‎2‎. ∵ kOA‎⋅kOB=-b‎2‎a‎2‎=-‎‎3‎‎4‎, ∴ y‎1‎y‎2‎x‎1‎x‎2‎‎=-‎‎3‎‎4‎,即y‎1‎y‎2‎‎=-‎‎3‎‎4‎x‎1‎x‎2‎. ∴ ‎3m‎2‎-12‎k‎2‎‎3+4‎k‎2‎‎=-‎3‎‎4‎⋅‎‎4m‎2‎-12‎‎3+4‎k‎2‎,即‎2m‎2‎-4k‎2‎=3‎. ∵ ‎|AB|=‎(1+k‎2‎)[(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4x‎1‎x‎2‎]‎=‎‎(1+k‎2‎)⋅‎‎48(4k‎2‎-m‎2‎+3)‎‎(3+4‎k‎2‎‎)‎‎2‎ ‎=‎48(1+k‎2‎)‎‎(3+4‎k‎2‎‎)‎‎2‎‎⋅‎‎3+4‎k‎2‎‎2‎=‎‎24(1+k‎2‎)‎‎3+4‎k‎2‎. 又O点到直线y=kx+m的距离d=‎‎|m|‎‎1+‎k‎2‎, ∴ S‎△AOB‎=‎1‎‎2‎d|AB|=‎‎1‎‎2‎‎|m|‎‎1+‎k‎2‎‎24(1+k‎2‎)‎‎3+4‎k‎2‎ ‎=‎1‎‎2‎m‎2‎‎1+‎k‎2‎‎⋅‎‎24(1+k‎2‎)‎‎3+4‎k‎2‎=‎1‎‎2‎‎3+4‎k‎2‎‎2‎‎⋅‎‎24‎‎3+4‎k‎2‎=‎‎3‎为定值.‎ ‎【解答】‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎(1)解:由题意得‎  ‎ca‎=‎‎1‎‎2‎c‎2‎‎=a‎2‎-‎b‎2‎b=‎‎|0-0+‎6‎|‎‎2‎‎⇒a‎2‎=4‎,b‎2‎‎=3‎. ∴ 椭圆的方程为:x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎;‎ ‎(2)证明:设A(x‎1‎, y‎1‎)‎,B(x‎2‎, y‎2‎)‎, 则A,B的坐标满足x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎y=kx+m,消去y化简得:‎(3+4k‎2‎)x‎2‎+8kmx+4m‎2‎-12=0‎. x‎1‎‎+x‎2‎=-‎8km‎3+4‎k‎2‎,x‎1‎x‎2‎=‎‎4m‎2‎-12‎‎3+4‎k‎2‎, 由‎△>0‎,得‎4k‎2‎-m‎2‎+3>0‎. y‎1‎y‎2‎‎=(kx‎1‎+m)(kx‎2‎+m)=k‎2‎x‎1‎x‎2‎+km(x‎1‎+x‎2‎)+m‎2‎ ‎‎=k‎2‎⋅‎4m‎2‎-12‎‎3+4‎k‎2‎+km⋅(-‎8km‎3+4‎k‎2‎)+m‎2‎=‎‎3m‎2‎-12‎k‎2‎‎3+4‎k‎2‎. ∵ kOA‎⋅kOB=-b‎2‎a‎2‎=-‎‎3‎‎4‎, ∴ y‎1‎y‎2‎x‎1‎x‎2‎‎=-‎‎3‎‎4‎,即y‎1‎y‎2‎‎=-‎‎3‎‎4‎x‎1‎x‎2‎. ∴ ‎3m‎2‎-12‎k‎2‎‎3+4‎k‎2‎‎=-‎3‎‎4‎⋅‎‎4m‎2‎-12‎‎3+4‎k‎2‎,即‎2m‎2‎-4k‎2‎=3‎. ∵ ‎|AB|=‎(1+k‎2‎)[(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4x‎1‎x‎2‎]‎=‎‎(1+k‎2‎)⋅‎‎48(4k‎2‎-m‎2‎+3)‎‎(3+4‎k‎2‎‎)‎‎2‎ ‎=‎48(1+k‎2‎)‎‎(3+4‎k‎2‎‎)‎‎2‎‎⋅‎‎3+4‎k‎2‎‎2‎=‎‎24(1+k‎2‎)‎‎3+4‎k‎2‎. 又O点到直线y=kx+m的距离d=‎‎|m|‎‎1+‎k‎2‎, ∴ S‎△AOB‎=‎1‎‎2‎d|AB|=‎‎1‎‎2‎‎|m|‎‎1+‎k‎2‎‎24(1+k‎2‎)‎‎3+4‎k‎2‎ ‎=‎1‎‎2‎m‎2‎‎1+‎k‎2‎‎⋅‎‎24(1+k‎2‎)‎‎3+4‎k‎2‎=‎1‎‎2‎‎3+4‎k‎2‎‎2‎‎⋅‎‎24‎‎3+4‎k‎2‎=‎‎3‎为定值.‎ ‎19.【答案】‎ 解:(1)设等差数列‎{an}‎的公差为d(d≠0)‎, ∵ a‎2‎,a‎5‎,a‎14‎构成等比数列, ∴ a‎5‎‎2‎‎=‎a‎2‎a‎14‎,即‎(1+4d‎)‎‎2‎=(1+d)(1+13d)‎, 解得d=0‎(舍去),或d=2‎. ∴ an‎=1+(n-1)×2=2n-1‎.‎ ‎(2)由已知,b‎1‎a‎1‎‎+b‎2‎a‎2‎+…+bnan=1-‎‎1‎‎2‎n,n∈‎N‎*‎, 当n=1‎时,b‎1‎a‎1‎‎=‎‎1‎‎2‎; 当n≥2‎时,bnan‎=1-‎1‎‎2‎n-(1-‎1‎‎2‎n-1‎)=‎‎1‎‎2‎n. ∴ bnan‎=‎‎1‎‎2‎n,n∈‎N‎*‎. 由(1),知an‎=2n-1‎,n∈‎N‎*‎, ∴ bn‎=‎‎2n-1‎‎2‎n,n∈‎N‎*‎. 又Tn‎=‎1‎‎2‎+‎3‎‎2‎‎2‎+‎5‎‎2‎‎3‎+...+‎‎2n-1‎‎2‎n, 则‎1‎‎2‎Tn‎=‎1‎‎2‎‎2‎+‎3‎‎2‎‎3‎+...+‎2n-3‎‎2‎n+‎‎2n-1‎‎2‎n+1‎. 两式相减,得‎1‎‎2‎Tn‎=‎1‎‎2‎+(‎2‎‎2‎‎2‎+‎2‎‎2‎‎3‎+...+‎2‎‎2‎n)-‎2n-1‎‎2‎n+1‎=‎3‎‎2‎-‎1‎‎2‎n-1‎-‎‎2n-1‎‎2‎n+1‎, ∴ Tn‎=3-‎‎2n+3‎‎2‎n.‎ ‎【解答】‎ 解:(1)设等差数列‎{an}‎的公差为d(d≠0)‎, ∵ a‎2‎,a‎5‎,a‎14‎构成等比数列, ∴ a‎5‎‎2‎‎=‎a‎2‎a‎14‎,即‎(1+4d‎)‎‎2‎=(1+d)(1+13d)‎, 解得d=0‎(舍去),或d=2‎. ∴ an‎=1+(n-1)×2=2n-1‎.‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎(2)由已知,b‎1‎a‎1‎‎+b‎2‎a‎2‎+…+bnan=1-‎‎1‎‎2‎n,n∈‎N‎*‎, 当n=1‎时,b‎1‎a‎1‎‎=‎‎1‎‎2‎; 当n≥2‎时,bnan‎=1-‎1‎‎2‎n-(1-‎1‎‎2‎n-1‎)=‎‎1‎‎2‎n. ∴ bnan‎=‎‎1‎‎2‎n,n∈‎N‎*‎. 由(1),知an‎=2n-1‎,n∈‎N‎*‎, ∴ bn‎=‎‎2n-1‎‎2‎n,n∈‎N‎*‎. 又Tn‎=‎1‎‎2‎+‎3‎‎2‎‎2‎+‎5‎‎2‎‎3‎+...+‎‎2n-1‎‎2‎n, 则‎1‎‎2‎Tn‎=‎1‎‎2‎‎2‎+‎3‎‎2‎‎3‎+...+‎2n-3‎‎2‎n+‎‎2n-1‎‎2‎n+1‎. 两式相减,得‎1‎‎2‎Tn‎=‎1‎‎2‎+(‎2‎‎2‎‎2‎+‎2‎‎2‎‎3‎+...+‎2‎‎2‎n)-‎2n-1‎‎2‎n+1‎=‎3‎‎2‎-‎1‎‎2‎n-1‎-‎‎2n-1‎‎2‎n+1‎, ∴ Tn‎=3-‎‎2n+3‎‎2‎n.‎ ‎20.【答案】‎ ‎(1)‎解:若 a=e,则f(x)=ex-lnx-(e-1)x, 所以f‎'‎‎(x)=ex-‎1‎x-e+1(x>0)‎, f‎'‎‎(x)‎在‎(0,+∞)‎ 上是增函数,且 f‎'‎‎(1)=0‎, 所以x∈(0,1)‎时,f‎'‎‎(x)<0,f(x)‎是减函数; x∈(1,+∞)‎时,f‎'‎‎(x)>0,f(x)‎是增函数, 所以f(x)‎的递减区间为 ‎(0,1)‎ ,递增区间为 ‎(1,+∞)‎.‎ ‎(2)‎证明:若a=1‎,则f(x)=ex-lnx,f‎'‎(x)=ex-‎‎1‎x, f‎'‎‎(x)‎在‎(0,+∞)‎ 上是增函数,且 f‎'‎‎(‎1‎‎2‎)=e-2<0‎, f‎'‎‎(‎2‎‎3‎)=e‎2‎‎3‎-‎3‎‎2‎=(e‎2‎‎)‎‎1‎‎3‎-(‎‎27‎‎8‎‎)‎‎1‎‎3‎, 由e‎2‎‎>4>‎‎27‎‎8‎,可得 f‎'‎‎(‎2‎‎3‎)>0‎, 所以存在x‎0‎‎∈(‎1‎‎2‎,‎2‎‎3‎)‎ ,使得 f‎'‎‎(x‎0‎)=0‎,即ex‎0‎‎=‎‎1‎x‎0‎. x∈(0,x‎0‎)‎时,f‎'‎‎(x)<0,f(x)‎是减函数; x∈(x‎0‎,+∞)‎时,f‎'‎‎(x)>0,f(x)‎ 是增函数, 所以 f(x)≥f(x‎0‎)=ex‎0‎-lnx‎0‎=‎1‎x‎0‎-lnx‎0‎. 设g(x)=‎1‎x-lnx(‎1‎‎2‎g(‎2‎‎3‎)=‎3‎‎2‎+ln‎3‎‎2‎, 所以f(x)≥f(x‎0‎)>‎3‎‎2‎+ln‎3‎‎2‎.‎ ‎【解答】‎ ‎(1)‎解:若 a=e,则f(x)=ex-lnx-(e-1)x, 所以f‎'‎‎(x)=ex-‎1‎x-e+1(x>0)‎, f‎'‎‎(x)‎在‎(0,+∞)‎ 上是增函数,且 f‎'‎‎(1)=0‎, 所以x∈(0,1)‎时,f‎'‎‎(x)<0,f(x)‎是减函数; x∈(1,+∞)‎时,f‎'‎‎(x)>0,f(x)‎是增函数, 所以f(x)‎的递减区间为 ‎(0,1)‎ ,递增区间为 ‎(1,+∞)‎.‎ ‎(2)‎证明:若a=1‎,则f(x)=ex-lnx,f‎'‎(x)=ex-‎‎1‎x, f‎'‎‎(x)‎在‎(0,+∞)‎ 上是增函数,且 f‎'‎‎(‎1‎‎2‎)=e-2<0‎, f‎'‎‎(‎2‎‎3‎)=e‎2‎‎3‎-‎3‎‎2‎=(e‎2‎‎)‎‎1‎‎3‎-(‎‎27‎‎8‎‎)‎‎1‎‎3‎, 由e‎2‎‎>4>‎‎27‎‎8‎,可得 f‎'‎‎(‎2‎‎3‎)>0‎, 所以存在x‎0‎‎∈(‎1‎‎2‎,‎2‎‎3‎)‎ ,使得 f‎'‎‎(x‎0‎)=0‎,即ex‎0‎‎=‎‎1‎x‎0‎. x∈(0,x‎0‎)‎时,f‎'‎‎(x)<0,f(x)‎是减函数; x∈(x‎0‎,+∞)‎时,f‎'‎‎(x)>0,f(x)‎ 是增函数, 所以 f(x)≥f(x‎0‎)=ex‎0‎-lnx‎0‎=‎1‎x‎0‎-lnx‎0‎. 设g(x)=‎1‎x-lnx(‎1‎‎2‎g(‎2‎‎3‎)=‎3‎‎2‎+ln‎3‎‎2‎, 所以f(x)≥f(x‎0‎)>‎3‎‎2‎+ln‎3‎‎2‎.‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页