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- 2021-06-30 发布
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2014 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)
理科数学
第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.已知全集 , { | 0}, { | 1}U R A x x B x x ,则集合 ()UC A B ( )[来源:学.科.网]
A.{ | 0}xx B.{ | 1}xx C.{ | 0 1}xx D.{ | 0 1}xx
2.设复数 z 满足( 2 )(2 ) 5z i i ,则 z ( )
A. 23i B. 23i C.32i D.32i
3.已知
1
32a
, 21
2
11log , log33bc,则( )
A. abc B. a c b C.c a b D. c b a
4.已知 m,n 表示两条不同直线, 表示平面,下列说法正确的是( )
A.若 / / , / / ,mn则 //mn B.若 m , n ,则 mn
C.若 , ,则 //n D.若 //m , ,则 n
5.设 ,,abc是非零向量,已知命题 P:若 0ab, 0bc,则 0ac;命题 q:若 / / , / /a b b c ,则 //ac,
则下列命题中真命题是( )
A. pq B. pq C.( ) ( )pq D. ()pq
6.6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的做法种数为( )
A.144 B.120 C.72 D.24
7.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.82 B.8 C.8 2
D.8 4
8.设等差数列{}na 的公差为 d,若数列 1{2 }naa 为递减数列,则( )[来源:学&科&网 Z&X&X&K]
A. 0d B. 0d C. 1 0ad D. 1 0ad
9.将函数 3sin(2 )3yx的图象向右平移
2
个单位长度,所得图象对应的函数( )[来源:学,科,网 Z,X,X,K]
A.在区间 7[ , ]12 12
上单调递减
B.在区间 上单调递增
C.在区间[ , ]63
上单调递减
D.在区间 上单调递增
10.已知点 ( 2,3)A 在抛物线 C: 2 2y px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B,记 C 的
焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( )
A. 1
2 B. 2
3 C. 3
4 D. 4
3
11.当 [ 2,1]x 时,不等式 324 3 0ax x x 恒成立,则实数 a 的取值范围是( )
A.[ 5, 3] B. 9[ 6, ]8 C.[ 6, 2] D.[ 4, 3]
12.已知定义在[0,1] 上的函数 ()fx满足:
① (0) (1) 0ff;
②对所有 , [0,1]xy ,且 xy ,有 1| ( ) ( ) | | |2f x f y x y .
若对所有 ,| ( ) ( ) |f x f y k,则 k 的最小值为( )[来源:Z*xx*k.Com]
A. 1
2 B. 1
4 C. 1
2 D. 1
8
第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.执行右侧的程序框图,若输入 9x ,则输出 y .
14.正方形的四个顶点 ( 1, 1), (1, 1), (1,1), ( 1,1)A B C D 分别在抛物线 2yx 和
2yx 上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中,则质点落在阴影区
域的概率是 .
15.已知椭圆 C:
22
194
xy,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B,线段
MN 的中点在 C 上,则| | | |AN BN .
16.对于 0c ,当非零实数 a,b 满足 224 2 4 0a ab b c ,且使| 2 |ab 最大时, 3 4 5
a b c的最小值
为 .
三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分 12 分)
在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边 a,b,c,且 ac ,已知 2BA BC, 1cos 3B , 3b ,求:
(1)a 和 c 的值;
(2)cos( )BC 的值.
18. (本小题满分 12 分)
一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示:[来源:学,科,网]
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个的概率;
(2)用 X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望 ()EX 及方差 ()DX .
19. (本小题满分 12 分)
如图, ABC 和 BCD 所在平面互相垂直,且 2AB BC BD , 0120ABC DBC ,E、F 分别
为 AC、DC 的中点.
(1)求证: EF BC ;
(2)求二面角 E BF C的正弦值.
20. (本小题满分 12 分)
圆 224xy的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为 P(如图),
双曲线
22
1 22:1xyC ab过点 P 且离心率为 3 .
(1)求 1C 的方程;
(2)椭圆 2C 过点 P 且与 有相同的焦点,直线l 过 的右焦点且与 交于 A,B 两点,若以线段 AB 为
直径的圆心过点 P,求 的方程.
21. (本小题满分 12 分)
已知函数 8( ) (cos )( 2 ) (sin 1)3f x x x x x , 2( ) 3( )cos 4(1 sin )ln(3 )xg x x x x x .
证明:(1)存在唯一 0 (0, )2x ,使 0( ) 0fx ;
(2)存在唯一 1 ( , )2x ,使 1( ) 0gx ,且对(1)中的 01xx.
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用 2B 铅笔在答
题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.
22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
如图,EP 交圆于 E、C 两点,PD 切圆于 D,G 为 CE 上一点且 PG PD ,连接 DG 并延长交圆于点 A,作弦
AB 垂直 EP,垂足为 F.
(1)求证:AB 为圆的直径;
(2)若 AC=BD,求证:AB=ED.
23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
将圆 221xy上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C.
(1)写出 C 的参数方程;
(2)设直线 : 2 2 0l x y 与 C 的交点为 12,PP,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系,
求过线段 12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.
24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
设函数 ( ) 2 | 1| 1f x x x , 2( ) 16 8 1g x x x ,记 ( ) 1fx 的解集为 M, ( ) 4gx 的解集为 N.
(1)求 M;
(2)当 x M N 时,证明: 221( ) [ ( )] 4x f x x f x.
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